第21章一元二次方程 小结与复习课件-2024—2025学年人教版数学九年级上册

小结与复习 第21章 一元二次方程 1.能够认识一元二次方程，并且能用配方法、公式法、因式分解的方法求解一元二次方程，能够利用根与系数的关系解决一些问题； 2.经历一元二次方程的复习过程，培养学生归纳总结能力、独立思考的习惯和合作交流意识； 3、通过一元二次方程的复习运用，锻炼学生的动手动脑能力。 教学目标 一元二次方程的定义 例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A. A 1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 针对训练 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 一元二次方程的解法   A A 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）. 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）. 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1. 例3 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m= . -1 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<0 A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值. 解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A. Δ 5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有实数根，则m的值可能是　　（写出一个即可）． D 0 针对训练 总结常见根与系数的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 10 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝ ． 25 解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 针对训练   A 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 一元二次方程的应用 例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解: 设公司每天的销售价为x元. （1）销售量=原来销售量 — 销售减少量 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.   =80─2x （2）其等量关系是： 总利润=(售价-进价）×销售量. 由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25 答：该公司想要每天获得150元的销售利润，售价应当为25元. （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5（1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%. 平均变化率问题 用直接开平方法解方程 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式： Δ=b2-4ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题、握手问题 课堂小结 20 32 x x 解：设道路的宽为x米 例8：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？ (32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50 当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去. ∴取x=2 答：道路的宽为2米. 面积问题 见章末练习 课后作业 $$