第1章 1.3 第3课时 直线方程的一般式和直线方程的点法式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第3课时　直线方程的一般式和直线方程的点法式 学业标准 素养目标 1．理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系． 2．能根据所给条件求直线的方程，并能在几种形式间相互转化．(难点) 3．理解直线方程的点法式，并能灵活应用．(重点) 1．通过直线方程的一般式、点法式的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．在求直线方程的过程中提升数学运算、直观想象等核心素养. [对应学生用书P11] 导学1　直线方程的一般式 　每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都表示一条直线吗？为什么？ [提示]　能表示一条直线．原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线．当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0，即x＝－，它表示与y轴平行或重合的一条直线． 　平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？ [提示]　都可以．原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠，直线的斜率k存在，直线可表示成y＝kx＋b，即kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)直线和y轴平行(包括重合)时：此时倾斜角α＝，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，可以把它认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. ◎结论形成 直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)斜率：当B≠0时，直线的斜率为　－　，在y轴上的截距　－　，当B＝0时，这条直线垂直于x轴，不存在斜率． 导学2　直线方程的点法式 　直线l经过点P(1,2)，且它的一个法向量为n＝(3,4)，如何求直线l的方程呢？ [提示]　设l上任意一点M(x，y)，则⊥n，故3(x－1)＋4(y－2)＝0为所求的直线方程． ◎结论形成 1．直线的法向量 与方向向量__垂直__的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的__方向__． 2．直线方程的点法式 若直线l经过点P(x0，y0)，且一个法向量为n＝(A，B)，则直线l的方程的点法式为：__A(x－x0)＋B(y－y0)＝0__． [对应学生用书P11] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．(　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．(　　) (4)直线经过点(x0，y0)且一个方向向量为r＝(A，B)，则该直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　 (4)× 2．直线＋＝1，化为一般式方程为(　　) A．y＝－x＋4　　　　　 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 解析　直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0. 答案　C 3．直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2 C．k＝－，b＝－3 D．k＝－，b＝2 解析　把3x＋2y＋6＝0化为斜截式得： y＝－x－3，故k＝－，b＝－3. 答案　C 4．直线l经过点P(－2，－1)且一个法向量为n＝(6,8)，则直线l的一般式方程为________． 解析　由直线方程的点法式得l的方程6(x＋2)＋8(y＋1)＝0，即6x＋8y＋20＝0，即3x＋4y＋10＝0. 答案　3x＋4y＋10＝0 [对应学生用书P12] 题型一　求直线方程的一般式、点法式 　根据下列条件求解直线的一般式方程． (1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4； (5)直线l经过点A(1，－2)且与P1(－1,0)，P2(3，2)两点的连线垂直． [解析]　(1)因为k＝2，且经过点A(1,3)，由直线的点斜式可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4.故直线的斜截式为y＝x＋4， 整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)由直线的两点式可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. (4)由直线的截距式可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. (5)直线l的一个法向量＝(4,2)，由直线方程的点法式得4(x－1)＋2(y＋2)＝0，即一般式方程2x＋y＝0. 利用直线的点斜式， 斜截式，两点式，截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式． [触类旁通] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率为，且经过点A(5,3)； (2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴； (3)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴； (5)经过点(1,2)与直线x＋2y＝0垂直． 解析　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，整理得x－y＋3－5＝0. (2)x＝－3，即x＋3＝0. (3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0. (4)y＝3，即y－3＝0. (5)由x＋2y＝0得y＝－x，即该直线的斜率为k＝－，即一个方向向量r＝为所求直线的一个法向量，故所求直线方程为1×(x－1)－(y－2)＝0，即2x－y＝0. 题型二　由直线的方向向量、法向量求直线的一般式方程 　求下列直线的方程． (1)经过点(2,1)，且一个法向量为v＝(2，－3)； (2)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2,4)． [解析]　(1)∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)，∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，代入点(2,1)得4－3＋C＝0，解得C＝－1，∴直线的方程为2x－3y－1＝0. (2)解法一　∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，∴k＝＝2， 故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)， 即2x－y－7＝0. 解法二　∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)， 故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，解得C＝－14， ∴所求直线方程为4x－2y－14＝0， 即2x－y－7＝0. 已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路 (1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代入点求C． (2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量． [触类旁通] 2．直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝________. 解析　由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2,1)，所以a⊥v，所以2m－6＝0，解得m＝3. 答案　3 题型三　直线方程一般式的应用一题多变 　(1)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　) A．m≠0　　　 B．m≠－ C．m≠1 D．m≠1，m≠－，m≠0 (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. ①已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； ②已知直线l的斜率为1，求m的值． (1)[解析]　因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0，不能同时成立，解得m≠1.选C． [答案]　C (2)[解析]　①令y＝0，则x＝， 所以＝－3， 得m＝－或m＝3(舍去)．所以m＝－. ②由直线l化为斜截式方程得 y＝x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)． 所以m＝－2. [母题变式] 1．(变条件)把本例(2)中的方程改为“2x＋(m－3)y－2m＋6＝0(m≠3)”，其他条件不变，应如何解答？ 解析　①令y＝0得，x＝m－3，由题意得m－3＝－3，解得m＝0. ②因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2. 由题意得－＝1，解得m＝1. 2．(变条件)对于本例(2)中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 解析　因为直线l与y轴平行， 所以 解得m＝. [素养聚焦]　在解决含参数的一般式方程的有关问题的过程中，体现了数学运算、直观想象等核心素养． 含参数的一般式方程求参数范围(值)的步骤 [触类旁通] 3．设直线l的方程为x＋(a－1)y－2－a＝0，若直线l不过第三象限，则实数a的取值范围是________． 解析　①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3.该直线不过第三象限，符合； ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a＞1.由①②可知a≥1. 答案　[1，＋∞) 知识落实 技法强化 1．直线的一般式方程． 2．直线的一般式方程与其他四种形式的区别与联系以及相互转化． 3．直线的法向量与一般式方程的关系． 4．直线的一般式方程的应用. 1．注意直线方程各种形式的使用范围． 2．若直线的一般式方程中含有字母，转化为其他四种形式时不要忽视讨论斜率不存在的情况. 学科网（北京）股份有限公司 $$