第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式和直线方程的截距式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　直线方程的两点式和直线方程的截距式 [对应学生用书P8] 导学　直线方程的两点式和截距式 　已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？ [提示]　因为x1≠x2，所以直线的斜率k＝，由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)．因为y1≠y2，得＝. 　已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？ [提示]　将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1. ◎结论形成 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 其中x1≠x2 且y1≠y2 ＝其 中x1≠x2，y1≠y2 斜率存在 __且不为0__ 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0 　＋＝1　 __与两坐标轴不平行且不过原点__ [对应学生用书P8] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　) (2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) (3)已知两点的坐标，只能用两点式求直线方程．(　　) (4)任何直线都可以用＋＝1表示．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(　　) A．＝ B．＝ C．(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) D．y－y＝(x－x1) 解析　当经过(x1，y1)，(x2，y2)的直线不与x，y轴平行时，所有直线均可以用＝，由于x1，x2可能相等，所以只有选项C满足包括与x，y轴平行的直线． 答案　C 3．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A．＋＝1　　　 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 解析　由截距式方程可得，所求直线方程为＋＝1. 答案　A 4．过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为________． 解析　因为直线过点A(－2,1)，B(3，－3)，所以过该两点的直线方程为＝，化简可得4x＋5y＋3＝0. 答案　4x＋5y＋3＝0 [对应学生用书P9] 题型一　直线的两点式方程 　在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解析]　(1)BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝， 即y＝－x－2， 故BC边的方程是y＝－x－2(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以M. 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即y＝－x－， 所以BC边上的中线所在直线的方程是y＝－x－. 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． [触类旁通] 1．(1)经过点A(－1,6)，B(0,2)的直线方程是(　　) A．x－4y－2＝0　　　　 B．4x－y－2＝0 C．x＋4y－2＝0 D．4x＋y－2＝0 (2)若光线由点P(2,3)射到x轴上，反射后过点Q(1,1)，则反射光线所在的直线方程是________． 解析　(1)因为直线经过点A(－1,6)，B(0,2)，利用两点式得直线的方程为＝，整理得4x＋y－2＝0. (2)P(2,3)关于x轴的对称点P′(2，－3)在反射光线上，所以＝，整理得4x＋y－5＝0. 答案　(1)D　(2)4x＋y－5＝0 题型二　直线的截距式方程 　(1)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为________． (2)若直线经过点A(1,1)且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为________． [解析]　(1)若直线l经过原点，则其斜率为－，故其方程为y＝－x，即x＋2y＝0； 若直线l不经过原点，设其方程为－＝1，又其过点(2，－1)，则＋＝1， 解得a＝3，故直线l方程为－＝1，整理可得x－y－3＝0； 综上所述，满足题意的直线方程为x＋2y＝0或x－y－3＝0. (2)设所求直线的方程为＋＝1，则有解得a＝b＝2， 所以直线方程为＋＝1，即x＋y－2＝0. [答案]　(1)x＋2y＝0或x－y－3＝0　(2)x＋y－2＝0 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [触类旁通] 2．(1)已知直线＋＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别是(　　) A．， B．－，－ C．，7 D．－，－7 (2)经过点P(2,3)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为________． 解析　(1)＋＝－1可化为＋＝1，所以直线在x，y轴上的截距分别为－，－7，故a＝－，b＝－7. (2)设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为2a.当a＝0时，直线l过点(0,0)，又直线l过点P(2,3)，故直线l的斜率k1＝＝， 故直线l的方程为y－0＝(x－0)， 即3x－2y＝0； 当a≠0时，直线l的方程为＋＝1， 即x＋2y－2a＝0， ∵直线l过点P(2,3)， ∴2＋2×3－2a＝0，∴a＝4， ∴直线l的方程为x＋2y－8＝0. 综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0. 答案　(1)D　(2)3x－2y＝0或x＋2y－8＝0 题型三　直线方程的综合应用一题多变 　过点M(2,1)作直线l，若l分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B，当M为AB中点时，求直线l的方程． [解析]　不妨设A(a,0)，B(0，b)，且a＞0，b＞0，则直线l的方程为＋＝1， 因为M(2,1)为AB中点，所以a＝4，b＝2， 由截距式可知，直线l的方程为＋＝1， 即x＋2y－4＝0. [母题变式] (变条件)若将本例中“当M为AB中点时”改为“设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时”，其他条件不变，求直线l的方程． 解析　因为M(2,1)在直线l上，所以＋＝1， 所以由均值不等式可知，＋＝1≥2⇒ab≥8， 当且仅当＝，即a＝4，b＝2时，ab有最小值为8， 故S△AOB＝ab≥4， 所以当△AOB的面积最小时，a＝4，b＝2， 此时直线l的方程为＋＝1， 即x＋2y－4＝0. [素养聚焦]　本题通过直线方程的综合应用，突出培养直观想象和数学运算核心素养． (1)使用待定系数法求直线方程的一般步骤是：①设方程，②求系数，③代入方程求得直线方程． (2)若已知直线在两个坐标轴上的截距或题目中涉及截距，一般优先选择设截距式方程． (3)涉及直线与三角形的面积或其最小值问题，一般要把直线的方程设为截距式，并用截距表示三角形的面积，再利用均值不等式或函数的性质求其最值． [触类旁通] 3．在同一平面直角坐标系中，两直线－＝1与－＝1的图象可能是(　　) 解析　直线－＝1化为＋＝1在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为－n；直线－＝1化为＋＝1在x轴上的截距为n，在y轴上的截距为－m， 所以两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距互为相反数， 对于A选项：两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数，不满足题意； 对于B选项：两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数，不满足题意； 对于C选项：两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数，不满足题意； 对于D选项：两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号，满足题意；故选D． 答案　D 知识落实 技法强化 1．直线的两点式方程． 2．直线的截距式方程. 1．由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标． 2．选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $$