第1章 1.3 第1课时 直线方程的点斜式和直线方程的斜截式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．3　直线的方程 学业标准 素养目标 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会利用它们求直线的方程．(重点) 2．掌握直线方程的两点式和截距式，会选择适当的形式求直线方程．(重点、难点) 3．掌握直线方程的一般式和点法式并会求直线方程. 1．通过直线方程的几种形式的学习，培养直观想象、数学抽象等核心素养． 2．通过选择适当的形式求直线的方程，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 第1课时　直线方程的点斜式和直线方程的斜截式 [对应学生用书P5] 导学1　直线的方程 　已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一． ①已知l1的斜率不存在；②已知l1的斜率不存在且l1过点A(1,2)；③已知l2的斜率为2；④已知l2的斜率为2且过点B(2,3)． [提示]　显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都满足方程y－3＝2(x－2)，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上． ◎结论形成 直线的方程 如果一条直线l上的每一点的__坐标__都是一个方程的解，并且以这个方程的解为__坐标的点都在直线l上__，那么这个方程称为直线l的方程． 导学2　直线方程的点斜式和斜截式 　直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系等式？该关系等式是直线l的方程吗？ [提示]　由斜率公式得k＝(x≠x0)，该等式不是直线l的方程．由k＝得y－y0＝k(x－x0)，是直线l的方程． 　直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？ [提示]　不是，是直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标，截距b的取值范围是R. ◎结论形成 直线方程的点斜式和斜截式 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 点斜式 点P(x0，y0)和斜率k __y－y0＝k(x－x0)__ 斜率存在的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b __y＝kx＋b__ 斜率存在的直线 特殊地：直线l经过P(x0，y0)． (1)当k＝0时，l的方程为__y＝y0__. (2)当k不存在时，l的方程为__x＝x0__. [对应学生用书P5] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(　　) (2)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(　　) (3)直线方程的斜截式y＝kx＋b是一次函数．(　　) (4)过点(1,1)的直线都可以用斜截式方程表示．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．经过点(－2,0)的所有直线 B．经过点(2,0)的所有直线 C．经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．经过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析　易验证直线经过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 答案　C 3．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为，则此直线方程为(　　) A．y＝x＋　　　 B．y＝－x＋ C．y＝－x－ D．y＝x－ 解析　直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式直接写方程． 答案　A 4．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 解析　由方程知，已知直线的斜率为，∴所求直线的斜率是.由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)． 答案　C [对应学生用书P6] 题型一　利用点斜式求直线的方程 　(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为______． (3)直线l1过点A(2，－3)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，求这条直线l1的点斜式方程． (1)[解析]　因为直线平行于y轴，所以直线斜率不存在，所以方程为x＝－5. [答案]　x＝－5 (2)[解析]　直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3，4)在直线l上，由点斜式方程式，直线l的方程为y－4＝－(x－3)． [答案]　y－4＝－(x－3) (3)[解析]　由点斜式方程可知直线l2的斜率为，所以其倾斜角为30°，所以直线l1的倾斜角为60°，其斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的点斜式可得，直线l1的方程为y＋3＝(x－2)． 当直线的斜率存在时，已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线的点斜式方程表示．直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0. [触类旁通] 1．求下列各条件下的直线方程． (1)经过点(，－3)，倾斜角为30°的直线； (2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线； (3)经过点(－7,2)且平行于y轴的直线． 解析　(1)由题意知：k＝tan 30°＝， ∴直线方程为y－(－3)＝(x－)． 整理得y＋3＝x－1，即y＝x－4. (2)∵直线垂直于y轴，∴直线斜率为0， ∴方程为y＝1. (3)∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在， ∴方程为x＝－7. 题型二　利用斜截式求直线的方程 　根据条件写出下列直线方程的斜截式． (1)斜率为－，在y轴上截距为－2； (2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解析]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程的斜截式为y＝－x－2. (2)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程的斜截式为y＝x＋3或y＝x－3. 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一． [触类旁通] 2．已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能是(　　) 解析　由l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，可知直线l1的斜率为k，纵截距为b，l2的斜率为b，纵截距为k， 对于选项A：l1中k＜0，b＞0，l2中b＞0，k＞0，不成立； 对于选项B：l1中k＞0，b＜0，l2中b＞0，k＞0，不成立； 对于选项C：l1中k＞0，b＞0，l2中b＞0，k＞0，成立； 对于选项D：l1中k＜0，b＞0，l2中b＜0，k＜0，不成立；故选C． 答案　C 题型三　直线的点斜式、斜截式方程的应用一题多变 　已知直线l经过点P(－2,3)，且与坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． [解析]　显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则构不成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为＝4， 即(2k＋3)＝±8. 若(2k＋3)＝8， 则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解． 若(2k＋3)＝－8， 则整理得4k2＋20k＋9＝0， 解得k＝－或k＝－， 所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)， 即y＝－x＋2或y＝－x－6. [母题变式] 1．(变条件)若将本例中“直线l经过点P(－2,3)”改为“直线l的斜率为－2”，其他条件不变，求直线l的斜截式方程． 解析　设直线方程为y＝－2x＋b，则令x＝0得y＝b；令y＝0得x＝，由题意得|b|·＝4，即|b|2＝16，所以b＝±4，所以直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－2x－4. 2．(变条件)若将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为4”改为“且在两坐标轴上的截距相等”，其他条件不变，求直线l的斜截式方程． 解析　依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0得纵截距为y＝2k＋3，令y＝0得横截距为x＝－－2，依题意得，2k＋3＝－－2，解得k＝－或k＝－1，所以直线方程为y＝－x或y＝－x＋1. [素养聚焦]　直观想象、数学运算等核心素养在求直线的方程过程中得以体现． (1)直线的斜截式方程y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b. (2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法． [触类旁通] 3．过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程． 解析　易知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y－1＝k(x－3)，即y＝kx＋1－3k. 在直线AB的方程中，令x＝0，可得y＝1－3k； 令y＝0，可得x＝. 所以点A，B(0,1－3k)． 由已知条件可得解得k＜0. △AOB的面积为 S＝×(1－3k)×＝≥×＝6. 当且仅当－9k＝－(k＜0)，即k＝－时，等号成立． 所以直线AB的方程为y＝－x＋2. 知识落实 技法强化 1．直线的方程与方程的直线． 2．直线的点斜式方程． 3．直线的斜截式方程. 1．点斜式和斜截式表示直线时斜率一定存在，在设直线时要注意讨论斜率存在与不存在的情况． 2．截距不是距离，是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标的数值. [必备知识·基础巩固] 1．已知直线l的斜率为3，且经过点A(2,1)，则l的点斜式方程为(　　) A．y＋1＝3(x＋2)　　　 B．y－1＝3(x－2) C．y－1＝3(x＋2) D．y＋1＝3(x－2) 解析　∵直线l的斜率为3，且经过点A(2,1)，∴l的点斜式方程为y－1＝3(x－2)． 答案　B 2．直线y＝ax－的图象可能是(　　) 解析　由y＝ax－可知，斜率和直线在y轴上的截距必须异号，故B正确． 答案　B 3．经过两点A(－3,2)，B(0，－3)的直线的方程为(　　) A．y＝x－3 B．y＝－x－3 C．y＝x－3 D．y＝－x－3 解析　∵k＝＝－，∴直线的方程为y－2＝－(x＋3)⇒y＝－x－3，故选D． 答案　D 4．已知直线l经过点P(1,2)，且直线l的方向向量a＝(2,4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________． 解析　∵直线l经过点P(1,2)，且直线l的方向向量a＝(2,4)，则直线l的斜率为＝2，∴直线l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案　2　2x－y＝0 5．直线l经过点P(1，－1)，且它的倾斜角是直线y＝x＋2的倾斜角的2倍，那么直线l的方程是________． 解析　直线y＝x＋2的倾斜角是45°，从而直线l的倾斜角是90°，其斜率k不存在，直线l的方程是x＝1. 答案　x＝1 6．求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(－4,1)； (2)在y轴上的截距为－10. 解析　由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为k＝. (1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4)，即y＝x＋4＋1. (2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝x－10. [关键能力·综合提升] 7．已知ab＜0，bc＜0，则直线y＝－x＋通过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 解析　因为ab＜0，bc＜0，所以－＞0，＜0，即直线y＝－x＋过第一、三、四象限． 答案　C 8．(多选)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是(　　) A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)表示同一条直线 D．直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 解析　对于A，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错误；对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，正确；对于C，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故错误；对于D，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，正确． 答案　BD 9．已知光线经过点A(4,6)，经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为________． 解析　点A(4,6)关于x轴的对称点为A1(4，－6)，则直线A1B即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为3x＋y－6＝0，令x＝0，得y＝6，所以反射光线经过y轴上的点的坐标为(0,6)． 答案　(0,6) 10．已知直线经过两点A(2＋a2,1＋a2)，B(－1，－5)． (1)若a＝1，求直线AB的斜截式方程； (2)求当斜率kAB最大时，直线AB的点斜式方程． 解析　(1)当a＝1时，A(2＋a2,1＋a2)⇒A(3,2)，又因为B(－1，－5)，所以kAB＝＝，由直线的点斜式方程得y－2＝(x－3)，即y＝x－. (2)因为点A(2＋a2,1＋a2)，B(－1，－5)，所以kAB＝＝1＋，当a2＝0，即a＝0时，kAB取得最大值2，此时直线AB的点斜式方程为y＋5＝2(x＋1)或y－1＝2(x－2)． [核心价值·探索创新] 11．直线l的方程为y＝ax＋. (1)证明：直线l恒经过第一象限； (2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围． (1)证明　直线l：y＝ax＋，可化为y－＝a， 所以直线l过定点P，又点P在第一象限，故直线l恒经过第一象限． (2)解析　因为直线l过点P且点P在第一象限，故只需l在y轴上的截距大于0即可，即＞0得a＜3.故a的取值范围是(－∞，3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$