第2章 3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．2 D． 4 解析　首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值．抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去)． 故选B． 答案　B 2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析　由抛物线的定义可知，＋2＝3，所以p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在此抛物线上，所以y＝8.于是|OM|＝＝2. 答案　B 3．点M是抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，点F为抛物线的焦点，FM⊥x轴，且|OM|＝，则抛物线的准线方程为(　　) A．x＝－1 B．x＝－2 C．y＝－1 D．y＝－2 解析　抛物线y2＝2px的焦点为F， ∵点M为抛物线上的点，且FM⊥x轴， ∴M.又|OM|＝，∴2＋p2＝5， 解得p＝2或p＝－2(舍)， ∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故选A． 答案　A 4．抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F间的距离|PF|＝________. 解析　由于点P到x轴的距离为12， 可知点P的纵坐标为12， ∴点P的横坐标x＝＝＝9. 由抛物线的定义知|PF|＝x＋＝9＋4＝13. 答案　13 5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝________. 解析　抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为， 椭圆＋＝1的焦点坐标(±，0)． 由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8. 答案　8 6．如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，且两曲线的公共点为A，B，且AB的连线过焦点F，求椭圆的离心率． 解析　由题意得，抛物线的焦点F坐标为，AB是抛物线的通径，则|AB|＝2p，且A.由于椭圆右焦点是抛物线的焦点，则＝c，p＝2c，从而得到A的坐标是(c,2c)．由于A在椭圆上，把A的坐标(c,2c)代入椭圆中，得＋＝1，化简得4a2c2＝b2(a2－c2)＝b4，整理得2ac＝b2，而b2＝a2－c2，所以2ac＝a2－c2，即c2＋2ac－a2＝0，两边同时除以a2，得e2＋2e－1＝0，解得e＝－1或e＝－－1(舍)，综上，椭圆的离心率是－1. [关键能力·综合提升] 7．(多选)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　) A．y2＝－4x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析　抛物线焦点坐标为，直线l的方程为y＝2.令x＝0，得y＝－，故△OAF的面积为S＝·＝＝4，故a＝±8.故选BD． 答案　BD 8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A(3，y)作准线l的垂线，垂足为B．若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x 解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，准线l交x轴于点C．∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，在Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos 60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3＋＝2p，∴p＝2， ∴抛物线的标准方程是y2＝4x.故选D． 答案　D 9．已知抛物线y2＝mx的焦点F为(2,0)，则m＝________，若点P在抛物线上，点A(5,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为________． 解析　抛物线y2＝mx的焦点F为(2,0)， 可得＝2，即m＝8， 则抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2， 过P作直线x＝－2的垂线，垂足为C， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PC|≥|AC|， 当A，P，C三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，且为|AC|＝5－(－2)＝7. 答案　8　7 10．如图，直线l1，l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，|BN|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程． 解析　如图，以线段MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设曲线方程为y2＝2px(p＞0，xA≤x≤xB，y＞0)． 由|AM|＝，|AN|＝3得 解得xA＝. 又|AN|＝xA＋＝3，∴＋＝3， 解得p＝2或p＝4. 由△AMN为锐角三角形，∴ ∴8＜p2＜26，∴p＝4. ∴xA＝＝1.又|BN|＝xB＋＝6，∴xB＝4. 故所求曲线方程为y2＝8x(1≤x≤4，y＞0)． [核心价值·探索创新] 11．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　) A．C的准线方程为y＝－1 B．线段PQ的长度最小值为4 C．M的坐标可能为(3,2) D．·＝－3恒成立 解析　由题意，抛物线C：y2＝2px(p＞0)，可得焦点F到准线的距离即为p＝2，所以抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，A项错误． 当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1,2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，B项正确． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1， 联立方程组消去x可得y2－4my－4＝0，可得y1＋y2＝4m， 则x1＋x2＝my1＋my2＋2＝4m2＋2， 当m＝1时，可得M(3,2)，所以C正确， 又由y1y2＝－4，可得x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，所以D正确． 答案　BCD 学科网（北京）股份有限公司 $$