精品解析：2023届江西省三校生高考数学仿真模拟试题（11）

“三校生”高考数学仿真模拟试题（十一） 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出选择，对的写正确，错的写错误．） 1. 集合{一条边长为6，一个角为50°的等腰三角形}元素的个数为4（ ） 2. 的解集用区间表示为.（ ） 3. 和表示同一函数.（ ） 4. “”是“”的充分而不必要条件.（ ） 5. 在数列1，3，7，15，31，x，中，根据规律可能等于63.（ ） 6. 已知向量对于平面内任意一点O，都有.（ ） 7. 若直线的倾斜角为，则此直线的斜率为．（ ） 8. 若一直线和平面内无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（ ） 9. “明天是晴天”是必然事件.（ ） 10. 平面内与两个定点，距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆.（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 11. 离心率恒等于的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 12. 6人排成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排队种数为（ ） A B. C. D. 13. 函数图象是（ ） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 以上都不对 14. 已知数列，，，，，，那么应是它的第（ ）项 A. B. C. D. 15. 若，且，则的一个坐标是（ ） A. B. C. D. 16. 与“”等价的命题是（ ） A. B. 且 C. 或 D. ， 17. 与不等式同解的不等式是（ ） A. B. C. D. 18. 若，则函数最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 19. 若，则a的取值范围是______． 20. 二次函数的值域是______． 21. 若集合、满足，则与的关系是______． 22. 已知是偶函数，且，则______，若为奇函数且，则______． 23. 若，，则______． 24. 过圆上一点的切线方程是______． 四、解答题（本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分，解答应写出计算过程或演算步骤．） 25. 设函数的定义域为A，不等式的解集为B，若，求实数a的取值范围． 26. 等比数列中，，且前项的积为，求数列的通项公式及前项和． 27. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个．求： （1）至少有2个一等品的概率. （2）至多有一个二等品概率. 28. 已知函数，试求的最值. 29. 平面内有一个以为直径的圆，，点在圆周上移动（与不重合），点分别是点在，上的射影，求证： （1）平面平面； （2） 是二面角的平面角． 30. 已知函数． （1）求的定义域. （2）判断的奇偶性，并加以证明. （3）求使的实数x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “三校生”高考数学仿真模拟试题（十一） 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出选择，对的写正确，错的写错误．） 1. 集合{一条边长为6，一个角为50°的等腰三角形}元素的个数为4（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据集合的特点分类讨论易得答案. 【详解】因为是等腰三角形， 所以第一种腰为，顶角为， 第二种腰为，底角为， 第三种底边为，顶角为， 第四种底边为，底角为， 所以集合的元素的个数为. 故答案为：正确. 2. 的解集用区间表示为.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的解法与区间的表示可求. 【详解】，，则，解集为，故正确. 故答案为：正确. 3. 和表示同一函数.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由函数相等的定义即可得解. 【详解】因为与的定义域都为，，所以与的对应关系也相同，所以为同一个函数. 故答案为：正确. 4. “”是“”的充分而不必要条件.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据充分性和必要性概念结合举例即可说明. 【详解】令，满足， 此时，故充分性不成立， 令，则，满足， 此时，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故答案为：错误. 5. 在数列1，3，7，15，31，x，中，根据规律可能等于63.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】在这个数列中，分析相邻数字之间的关系找到规律即可得解. 【详解】观察数列规律，有，，，， 由此可以推出，解得. 故答案为：正确. 6. 已知向量对于平面内任意一点O，都有.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由向量减法的运算法则即可得解. 【详解】根据三角形法则可知. 故答案为：正确. 7. 若直线的倾斜角为，则此直线的斜率为．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义，判断即可. 【详解】当时，无意义，直线的斜率不存在． 故答案为：错误. 8. 若一直线和平面内无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质易得答案. 【详解】当一直线和平面内无数条平行的直线垂直时，线面不一定垂直. 故答案为：错误. 9. “明天是晴天”是必然事件.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由必然事件、随机事件的定义即可判断. 【详解】天气是不断变化的，“明天是晴天”这个事件是随机事件，不是必然事件. 故答案为：错误 10. 平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据椭圆的定义易得答案. 【详解】平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆. 故答案为：错误. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 11. 离心率恒等于的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据四种方程的离心率易得答案. 【详解】圆的离心率为， 椭圆的离心率， 抛物线的离心率为， 双曲线的离心率， 所以离心率恒等于的曲线是双曲线. 故选：D. 12. 6人排成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排队种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理和相邻捆绑法求解即可. 【详解】因为甲、乙、丙三人必须站在一起，所以方法数为种， 所以甲乙丙此时看为一个人和剩下三个人进行全排列，方法数为种， 即甲、乙、丙三人必须站在一起的排队种数为种. 故选：D. 13. 函数的图象是（ ） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数的图象性质与定义域易得答案. 【详解】因为函数是一次函数，又， 所以图象是线段. 故选：C. 14. 已知数列，，，，，，那么应是它的第（ ）项 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察得到该数列的被开方数是以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】依题意，，，，，， 可见各项的被开方数成等差数列， 所以该数列的通项为，， 因为， 所以，解得. 故选：B 15. 若，且，则的一个坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算和向量的模的坐标表示，列式求解即可. 【详解】设， 因为，，所以，则， 又，所以， 联立，解得或. 故选：D. 16. 与“”等价的命题是（ ） A. B. 且 C. 或 D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由推出或，逐项判断即可得解. 【详解】因为，则或， 选项，且，为一种特殊情况，与命题不等价，故错误， 选项，且，为的一种特殊情况，与命题不等价，故错误， 选项，或，与命题等价，故正确， 选项，，为为的部分情况，与命题不等价，故错误， 故选：. 17. 与不等式同解的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解题干的不等式的解集，再依次求解选项的不等式的解集判断即可. 【详解】不等式可化为， 所以有，即解集为， 对A：不等式，解得，解集为，故A错误； 对B：不等式，解得，解集为，故B正确； 对C：不等式可化为， 所以有，即解集为，故C错误； 对D：不等式，解得，解集为，故D错误. 故选：B. 18. 若，则函数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数解析式化为的二次式，配方后结合已知条件求解即可. 【详解】因为.所以. 又因为. 所以当时，函数. 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 19. 若，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论对数函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于的不等式即可得解. 【详解】因为， 当时，函数在其定义域内为增函数， 所以，此时a的取值范围为空集， 当时，函数在其定义域内为减函数， 所以，此时a的取值范围为， 综上所述：a的取值范围为. 故答案为：. 20. 二次函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，求函数最值即可求解. 【详解】因二次函数的二次项系数，所以此函数图象开口向上， 即二次函数有最小值. 由，即当时，二次函数的最小值为. 所以二次函数的值域为. 故答案为： 21. 若集合、满足，则与的关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】由交集的定义及并集的定义分析可得. 【详解】集合、满足，则集合、的元素相同即. 故答案为：. 22. 已知是偶函数，且，则______，若为奇函数且，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由偶函数满足即可求解； （2）由奇函数满足即可求解 【详解】若是偶函数，则， 所以，即. 若为奇函数，则， 所以，即. 故答案为：. 23. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数的运算性质即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案： 24. 过圆上一点的切线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程得出圆心坐标与半径，根据两条直线垂直斜率的关系及直线的点斜式方程即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 所以点与圆心的连线的斜率为，所以切线的斜率为， 所以过点的切线方程. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25~28小题每小题8分，29~30小题每小题9分，共50分，解答应写出计算过程或演算步骤．） 25. 设函数的定义域为A，不等式的解集为B，若，求实数a的取值范围． 【答案】. 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的定义域求出，根据指数函数的单调性求出解集，利用即可得解. 【详解】函数的定义域为，所以， 不等式，因为函数为增函数，所以， 解得，所以， 因为，所以， 所以实数a的取值范围. 26. 等比数列中，，且前项的积为，求数列的通项公式及前项和． 【答案】，. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列方程组求首项和公比即可求解. 【详解】设等比数列的公比，由，且前项的积为， 得， 由得，即，解得， 由得，即得， 所以， ， 即，. 27. 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个．求： （1）至少有2个一等品的概率. （2）至多有一个二等品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意利用古典概型及组合数公式分别求出有两个一等品一个二等品的概率和三个都是一等品的概率即可得解. （）利用古典概型及组合数公式分别求出没有二等品的概率和两个一等品一个二等品的概率即可得解. 【小问1详解】 根据题意可知，有两个一等品的概率为， 三个都是一等品的概率为， 所以有两个一等品的概率为. 【小问2详解】 没有二等品的概率为， 有一个二等品的概率为， 所以至多有一个二等品的概率为. 28. 已知函数，试求的最值. 【答案】最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】利用换元法将函数转化成二次函数，结合余弦函数的值域易得答案. 【详解】令，则，， 由题意得，则开口向上，对称轴为， 所以的最小值为， 当或时，的最大值为， 所以的最小值为，最大值为. 29. 平面内有一个以为直径的圆，，点在圆周上移动（与不重合），点分别是点在，上的射影，求证： （1）平面平面； （2） 是二面角的平面角． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角判定线线垂直，再利用平面与平面垂直的判定定理即可证明； （2）利用射影的定义判定线线垂直，再利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直，进而转化为直线与直线垂直，利用二面角的定义即可证明. 【小问1详解】 因为为直径， 所以， 因为，， 所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为点分别是点B在，上的射影， 所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 所以， 即是二面角的平面角． 30. 已知函数． （1）求的定义域. （2）判断奇偶性，并加以证明. （3）求使的实数x的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（）根据对数型复合函数的定义域列出不等式即可得解. （）根据偶函数的定义即可得解. （）判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 要使函数有意义，则， 解得， 所以函数定义域为. 【小问2详解】 因为的定义域为关于原点对称， ， 所以函数为偶函数. 【小问3详解】 因为函数为增函数， 所以， 则，解得， 所以实数x的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$