精品解析：2023届江西省三校生高考数学仿真模拟试题（1）

“三校生”高考数学仿真模拟试题（一） 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出选择，对的写“正确”，错的写“错误”．） 1. （ ） 2. 已知，则x的取值集合是（ ） 3. a、b、c成等差数列的充要条件为（ ） 4. 函数的最小正周期（ ） 5. 函数在定义域上单调递减（ ） 6. 直线倾斜角为（ ） 7 过平面外一点，可以作无数条直线和这个平面平行．（ ） 8. 若，且，则（ ） 9. 展开式常数项的值为6（ ） 10. 双曲线的离心率（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 11. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 12. 在命题①；②；③；④若，为单位向量，则；⑤若函数在上最大值与最小值之和为3，则中假命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 13. 已知角的终边经过点，，则（ ） A B. C. D. 14. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 15. 现有老师3人，学生7人，从中抽出5人组成文艺组，则至少抽到一位老师的概率是（ ） A. B. C. D. 16. 在中，，则是（ ）三角形 A. 等腰 B. 直角 C. 等腰直角 D. 等腰或直角 17. 已知三顶点，，，则（ ） A. B. C. D. 18. 若m、n为不同的直线，、为不同的平面，则正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则m，n异面 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 19. 抛物线的准线方程为______． 20. 已知，则的最小值是______________． 21. 已知集合，，则______． 22. 过点且与圆相切的直线方程是______. 23. 已知函数是偶函数，则______． 24. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为__． 四、解答题（本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50分，解答应写出计算过程或演算步骤．） 25. 已知，． （1）当时，求的值； （2）若，求x的值． 26. 在数列中，已知，． （1）求数列的通项； （2）记数列前n项和为，问n为何值时，有最大值，最大值是多少？ 27. 已知二次函数的最小值为，且它的图象经过点． （1）求的解析式； （2）若时，的值域为，求m的取值范围． 28. 在中，，，，求和AB的值． 29. 已知椭圆C与抛物线有一个公共焦点，且长轴长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆C的另一个焦点为，过且倾斜角为的直线l交椭圆C于P，Q两点，求的面积． 30. 在长方体中，，，． （1）若点P在上，求证平面； （2）求点到BD的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “三校生”高考数学仿真模拟试题（一） 第Ⅰ卷（选择题 共70分） 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．对每小题的命题作出选择，对的写“正确”，错的写“错误”．） 1. （ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据对数的运算即可解得. 【详解】由题， ， 故答案为：正确 2. 已知，则x的取值集合是（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据集合具有互异性判断即可. 【详解】若x取1，则集合为，不满足集合具有互异性，所以错误. 故答案为：错误. 3. a、b、c成等差数列的充要条件为（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据等差数列的定义即可解得. 【详解】由题，成等差数列，则， 即， 故答案为：错误. 4. 函数的最小正周期（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，然后利用周期公式可判断. 【详解】，最小正周期为，故正确； 故答案为：正确. 5. 函数在定义域上单调递减（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用反比例函数单调性可求. 【详解】，定义域为，即， 由反比例函数性质可知，在单调递减，在单调递减； 但不能说在定义域上单调递减，例如. 故答案为：错误. 6. 直线的倾斜角为（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，再求解斜率即可得倾斜角. 【详解】直线化为斜截式为， 斜率为，倾斜角记作，则， 因为， 所以倾斜角为. 故答案为：正确. 7. 过平面外一点，可以作无数条直线和这个平面平行．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据线面平行的判定，即可得出结论. 【详解】由线面平行的判定可得， 过平面外一点，可以作无数条直线和这个平面平行. 故答案为：正确. 8. 若，且，则（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示可求. 【详解】因为，，且； 则，解得：； 故答案为：错误. 9. 展开式常数项的值为6（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用二项式的通项公式可求. 【详解】设第项为常数项； 则； 因为是常数项，所以，； 则系数为，故展开式常数项的值为6； 故答案为：正确. 10. 双曲线的离心率（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据双曲线的方程和离心率公式即可解得. 【详解】由题，双曲线，则， 故， 则， 故离心率， 故答案为：错误. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 11. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的性质将移入根号内进行化简即可解得. 【详解】由题，， 即， ， 故选：D 12. 在命题①；②；③；④若，为单位向量，则；⑤若函数在上的最大值与最小值之和为3，则中假命题有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂、对数函数的性质、向量内积运算律、单位向量的概念和指数函数单调性即可解得. 【详解】①当时，错误. ②定义域为，定义域为，错误. ③向量内积运算不满足结合律，错误. ④单位向量方向可能不相等，错误. ⑤是单调函数，，解得，正确. 共有四个假命题， 故选：A 13. 已知角的终边经过点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边上点的坐标即可解得. 【详解】由题，当时， ， 当时， ， 所以. 故选：B. 14. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 15. 现有老师3人，学生7人，从中抽出5人组成文艺组，则至少抽到一位老师的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的计算和古典概型的概率即可解得. 【详解】由题，学生和老师一共人， 从这人中抽取人，有种抽法， 全抽学生的抽法有种， 则至少抽一位老师的抽法有种， 故至少抽一位老师的概率为， 故选：D 16. 在中，，则是（ ）三角形 A. 等腰 B. 直角 C. 等腰直角 D. 等腰或直角 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为中，， 利用正弦定理有，， 所以，则， 因为，所以， 所以是等腰三角形. 故选：A. 17. 已知三顶点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标求出向量，再求出向量的夹角即可解得. 【详解】由题，， ， ， 则， 又知三角形内角范围为， 则， 故选：B 18. 若m、n为不同的直线，、为不同的平面，则正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则m，n异面 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中直线、平面的位置关系可判断. 【详解】如图， ，，但，故A选项错误； 如图，，，但，故B选项错误； 如图，若，，则，C选项正确； 如图，，，但，D选项错误； 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 19. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的准线方程即可得解. 【详解】抛物线. 所以即. 所以抛物线的准线方程为. 故答案为:. 20. 已知，则的最小值是______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求得最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是5． 故答案为：5． 21. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合补集和交集的运算即可解得. 【详解】由题，， 则， 则， 故答案为： 22. 过点且与圆相切的直线方程是______. 【答案】和 【解析】 【分析】分类讨论斜率是否存在，然后利用直线与圆相切圆心到直线距离等于半径可求. 【详解】当斜率存在时，设过点且与圆相切的直线方程为 ，即； 圆半径，圆心， 则，化简得，，解得， 直线方程为； 当斜率不存在时，过点的直线方程为， 圆心到的距离为， 故直线与圆相切； 综上直线方程是和； 故答案：和. 23. 已知函数是偶函数，则______． 【答案】1 【解析】 分析】利用偶函数关于轴对称可求. 【详解】函数是偶函数， 则对称轴为，即，解得：； 故答案为：. 24. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出异面直线与所成的角，再求出三角形某个内角即得. 【详解】在正方体中，连接， 正方体的对角面是矩形，则， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 而，即正三角形，则， 所以异面直线与所成的角为. 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，25～28小题每小题8分，29～30小题每小题9分，共50分，解答应写出计算过程或演算步骤．） 25. 已知，． （1）当时，求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算得到，再由模长公式计算即可. （2）根据向量垂直的坐标表示求解参数即可. 【小问1详解】 因为，， 当时，，得 ， 则. 【小问2详解】 若，则. 所以，x的值为. 26. 在数列中，已知，． （1）求数列的通项； （2）记数列的前n项和为，问n为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】（1）利用已知证明为等差数列，然后求通项公式即可； （2）求出的项，然后利用等差数列前项和公式可求. 【小问1详解】 因为，变形得，又因为， 可知为首项，公差的等差数列， 则； 【小问2详解】 由（1）知，为递减等差数列； 要想使有最大值，需将大于等于零的项相加即可； 令，即，解得：； 可知第六项为零，即， 则，皆为最大值；即当或时，有最大值； 最大值为. 27. 已知二次函数的最小值为，且它的图象经过点． （1）求的解析式； （2）若时，的值域为，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最值和图象过的点求解析式即可. （2）先求解使得函数值为的x的值，再根据对称轴即可求解m的取值范围. 【小问1详解】 因为二次函数时，最小值为， 所以，且， 所以， 因为图象过点，即， 所以有，解得 所以. 【小问2详解】 二次函数在时取得最小值为， 令，解得，或， 在的值域， 所以，即m的取值范围为. 28. 在中，，，，求和AB的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角和的余弦公式可求解的值，再由同角三角函数的平方关系结合正弦定理即可求解AB的值. 【详解】， ， ，,， ，， ，， ， 则， ，， 由正弦定理得， ∴. 综上所述，，. 29. 已知椭圆C与抛物线有一个公共焦点，且长轴长为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆C的另一个焦点为，过且倾斜角为的直线l交椭圆C于P，Q两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程和椭圆的性质即可解得. （2）设出直线方程与椭圆进行联立，由韦达定理和三角形面积公式即可解得. 【小问1详解】 由题，抛物线焦点为， 故，又知长轴长为，即， 则， 故椭圆方程为 【小问2详解】 由（1）可知，设， 又知过的直线斜率为， 则设直线，即， 联立， 可得， 由韦达定理， ， 故三角形面积为. 30. 在长方体中，，，． （1）若点P在上，求证平面； （2）求点到BD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接,根据长方体的几何性质得出为平行四边形，再由面面平行的判定定理证明出平面平面，再由面面平行的性质即可证明平面. （2）过点作的垂线，交于点，根据线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的定义可得，得到为到BD的距离，再根据勾股定理与等面积法求值即可. 【小问1详解】 连接，因为为长方体， 所以，且，即为平行四边形， 且不在平面中，平面， 所以平面， 同理，且，为为平行四边形， 且不在平面中，平面， 所以平面， 且与为平面中两条相交的直线， 所以平面平面， 又有平面，所以平面. 【小问2详解】 过点作的垂线，交于点，连接， 因为为长方体，所以平面， 因为平面，所以， 又，且与为平面中的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，即为到BD的距离， 已知，，， 所以， 则，即， 所以，. 所以点到BD距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$