专题27.2.3 用相似三角形综合应用（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题27.2.3 用相似三角形综合应用（5个考点） 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 1．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放置一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，测得，则该古城墙的高度是（　　） A．3m B．4.5m C．8m D．5m 2．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为C．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（    ）      A． B． C． D． 3．如图，小明为了测量树的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度是1.6米，则树的高度为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是 ． 5．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．    6．如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（点B，P，D在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面，大树高，当小明与平面镜相距 m时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端． 7．检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长 米． 8．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 9．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 10．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，灯泡到平面镜的水平距离，木板到平面镜的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度． 11．在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔的高，如图，他们在塔周围平地上找到塔尖的影子点，并在点处竖立一根3米长的标杆，测得影长为2米，随后后退到点处放置了一个小平面镜，小华站在点处正好看到镜子中的塔尖，点、、、在同一条直线上，已知小华的身高为1.62米，为1.8米，为4.4米，求古塔的高．（平面镜的厚度忽略不计）    12．长安塔是西安世园会四大标志性建筑之一，该塔在设计上保持了隋唐时期方形古塔的神韵，同时增加了现代元素，既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是绿色建筑技术和建筑艺术的完美结合小亮同学想利用所学数学知识来测量长安塔的高度，如图，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平而镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为247.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 13．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（   ） A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 15．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处，测得自己影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯的高度是（    ）    A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 16．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ）    A． B． C． D． 17．如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高米，灯柱的高米，两灯柱之间的距离米，王华在两路灯之间行走时（O、A、三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和的长为（    ）米． A．6 B．5 C．4 D．3 18．如图，小明想用太阳光测量房子的高，发现对面墙上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点D处竖立一根长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高，，（点B，D，F在同一条直线上），则房子的高为（    ） A． B． C． D． 19．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 20．如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 21．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 22．小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为 m． 23．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 24．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 25．小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．）经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 26．某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 27．学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为1.8米的标杆垂直立于地面上的点处，当树的最高点、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，接着沿斜坡从走到点处，此时测得树的最高点处仰角，到地面的距离为9米，为12米，求古树的高度．    28．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    29．龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． 30．如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 31．如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．． 32．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 33．某校社会实践小组为测量一建筑物（图2）的高度，测量示意图如图1所示，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好又在同一直线上，这时测得米，米，已知点、点、点、点与该建筑物底部的点在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该建筑物的高度．    34．如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 35．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 36．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛与纸筒的距离为（    ）      A． B． C． D． 37．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D． 38．已知，与相交于点，若，，与间的距离为2.1，则点到的距离为 ． 39．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 40．如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 41．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.2.3 用相似三角形综合应用（5个考点） 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 1．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点P处放置一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，若，测得，则该古城墙的高度是（　　） A．3m B．4.5m C．8m D．5m 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该古城墙的高度是4.5m， 故选：B． 2．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为C．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴ ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 3．如图，小明为了测量树的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度是1.6米，则树的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质定理，根据相似三角形的判定定理证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由光的反射原理可得：， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴（米）． 故选：B． 4．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度． 【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，， 又， ， 所以 即， 解得米． 故答案为：8 5．如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为 m．    【答案】16 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 6．如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明站在B点处去观测外的位于D点处的一棵大树，所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（点B，P，D在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面，大树高，当小明与平面镜相距 m时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端． 【答案】2 【分析】根据平面镜的反射原理：入射角等于入射角证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故小明与平面镜相距时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端． 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，掌握平面镜得原理，会利用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键． 7．检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长 米． 【答案】0.32 【分析】如图：作，垂足为D，并延长交于E，然后证明，可得，最后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：作，垂足为D，并延长交于E， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（米）． ∴镜长至少为0.32米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确做出辅助线构造相似三角形成为解答本题的关键． 8．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，测得，，，则该古城墙的高是？ 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，结合镜面反射角度相等，证明，列出比例式，求解即可． 【详解】解：由题意，结合镜面反射原理知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴该古城墙的高度是． 9．周末，小英与小淇同学逛公园时注意到一棵树，她们打算利用所学知识测量树高，为此找来了平面镜、直木棍、皮尺等工具．如图，小英先将平面镜（厚度不计）平放在水平地面的点D处，小淇站在点B处，通过平面镜从点A观察到树的顶端点M，随后小英在点D处竖直放置一根木棍，小淇从点A观察到术棍顶端点C与树的底端点N在同一直线上．已知，图中所有点均在同一平面内，求树的高．（光的反射角等于入射角） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据 ，可得，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ， ． 代入数据，得①，②， 解得， ∴树的高为． 10．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，灯泡到平面镜的水平距离，木板到平面镜的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点A，B，C，D在同一条直线上，求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明，利用相似三角形的性质得出的长，再证明，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴，即， 解得：， ∵光在镜面反射中的反射角等于入射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 11．在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔的高，如图，他们在塔周围平地上找到塔尖的影子点，并在点处竖立一根3米长的标杆，测得影长为2米，随后后退到点处放置了一个小平面镜，小华站在点处正好看到镜子中的塔尖，点、、、在同一条直线上，已知小华的身高为1.62米，为1.8米，为4.4米，求古塔的高．（平面镜的厚度忽略不计）    【答案】古塔的高为米 【分析】设古塔的高，根据相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：设古塔的高， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即古塔的高为9.9米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 12．长安塔是西安世园会四大标志性建筑之一，该塔在设计上保持了隋唐时期方形古塔的神韵，同时增加了现代元素，既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是绿色建筑技术和建筑艺术的完美结合小亮同学想利用所学数学知识来测量长安塔的高度，如图，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平而镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为247.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度． 【答案】的高度为99米 【分析】根据光线入射角等于折射角得知，再根据相似求解线段． 【详解】由题意知， 又∵， ∴， ∴，即， 解得米， ∴长安塔的高度为99米． 【点睛】本题考查相似三角形在实际问题中的应用，证明三角形相似是本题关键． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 13．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了中心投影与三角形相似，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，作于E，交于F，如图，则，利用可得，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到的距离． 【详解】解：作于E，交于F，如图， 由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离是． 故选：B． 14．如图所示，电线杆上的路灯距离地面6m，身高 1.2m的小丽（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小丽的影子AM长约为（   ） A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：如图，设路灯底部为点，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：( m) ． 故选：B． 15．如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点处，测得自己影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯的高度是（    ）    A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 【答案】B 【分析】设米，米，先根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】设米，米， 则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， 解得， 经检验，是所列分式方程组的解， 则米， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 16．操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先需先求出旗杆全落在地面上的影子的长，即落在水平地面上的影长于落在操场的墙壁上的影长之和，同时测得一根高为的竹竿的影长是，根据同一时刻物高与影长的比值相等，即可列出方程求出答案． 【详解】解：由题意可知，墙壁上的影高为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，设这段影子在地面上的长为，可得： ， ， 旗杆落在地面上的影子的长是：， 设旗杆的高度为,根据题意可得： ， ， 旗杆的高度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例列方程是解题关键． 17．如图所示，王华晚上在路灯下散步，已知王华的身高米，灯柱的高米，两灯柱之间的距离米，王华在两路灯之间行走时（O、A、三点在一条直线上），则他身子前后的两个影子之和的长为（    ）米． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】证明，得，则，证，得到，则，根据，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 即的长为5米． 故选：B 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 18．如图，小明想用太阳光测量房子的高，发现对面墙上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点D处竖立一根长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高，，（点B，D，F在同一条直线上），则房子的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长、交于一点H，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：延长、交于一点H，如图所示： 设，由题意可知：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， 经检验是方程的解， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 20．如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 【答案】(1)灯杆的高度为6米 (2)能，小丽落在墙上的影长为0.6米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形对应成比例即可求出的长． （2）将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，证明，求得，说明小丽的影子不能完全落在地面上，证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴灯杆的高度为6米； （2）解：将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，如图所示． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小丽的影子不能完全落在地面上． 同理，可得出， ∴，即，∴． ∴小丽落在墙上的影长为米． 21．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 【答案】(1) (2)乙树的高度为米 (3)丙树的高度为米 【分析】（1）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （2）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； （3）根据同一时刻物体的高度与影长比例相同解答即可； 本题考查了同一时刻物体的高度与影长比例相同，熟练运用同一时刻物体的高度与影长比例相同是解题的关键． 【详解】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得， ， 解得：， ∴甲树的高度为米， 故答案为米； （2）解：如图，设为乙树的高度， ∵米，米， ∴米 ， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴乙树的高度为米． （3）解：设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米； 设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米， 设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米， ∴丙树的高度为（米）． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 22．小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离，则铁塔的高度为 m． 【答案】16 【分析】设交于点，根据题意，证明，可得，代入数据即可求得． 【详解】如图，设交于点， ， ， ， ， ， ， ， 小明的手臂长，小尺长，点D到铁塔底部的距离， （m）， 故答案为：16. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，堪称中国唐朝佛教建筑艺术杰作，也是西安市著名的旅游景点．如图，小华拿着一部长为的手机（图中）站在广场上离大雁塔的点处（即），他把手机竖直并将手臂向前伸（即），手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到手机的距离为，，，图中所有的点都在同一平面内，求大雁塔的高度．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题知：，，， ， ， ，即， 解得：． 答：大雁塔的高度约为． 24．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 25．小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．）经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度． 【答案】大树的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用．根据相似三角形的性质“对应高是比等于相似比”列式计算求解即可． 【详解】解：． 根据题意，得．点到的距离即，点到的距离即， ∵， ，． ． ． ． 答：大树的高度为． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 26．某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】真身宝塔的高度为48米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 答：真身宝塔的高度为48米． 27．学完测高的知识后，学校数学社团的同学对公园里的一棵古树进行了实地测量．如图，先把长为1.8米的标杆垂直立于地面上的点处，当树的最高点、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，米，接着沿斜坡从走到点处，此时测得树的最高点处仰角，到地面的距离为9米，为12米，求古树的高度．    【答案】古树的高度米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，，，，作于，则四边形是矩形，得出米，，设，则米，米，由等腰直角三角形的性质得出米，表示出米，证明，利用相似三角形的性质求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， 如图，作于，   ， 则四边形是矩形， ∴米，， 设，则米，米， ∵，， ∴米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴米， 即古树的高度米． 28．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    【答案】4米 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 29．龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． 【答案】该龙形雕像的高度为 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及其性质是解题的关键． 根据题意，可得，，可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， 解得，则， 则，即， 解得：， 答：该龙形雕像的高度为． 30．如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在D处和F处树立标杆和，标杆的高都是20米，D，F两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆后退160米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？ 【答案】山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米． 31．如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．． 【答案】树的高度为8.8米 【分析】过作于，交于，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键． 【详解】解：过作于，交于， 则米，米， （米，（米， 由题意得，，， ， ， ， （米， 答：树的高度为米 32．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB． 【答案】古塔的高度为22米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，，因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为22米． 33．某校社会实践小组为测量一建筑物（图2）的高度，测量示意图如图1所示，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点、标杆的顶端点、该建筑物的顶部正好又在同一直线上，这时测得米，米，已知点、点、点、点与该建筑物底部的点在同一直线上，，，，请你根据以上数据，计算该建筑物的高度．    【答案】米 【分析】首先证明，由相似三角形的性质可得，代入数值可得；再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，易得，可解得的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意得米，米，米，米， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，解得米， ∴米． 【点睛】本题主要考查了运用相似三角形解决实际问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 34．如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为24米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：，且是方程的解， ∵， ∴， ∴，且是方程的解， 答：旗杆的高度为24米． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 35．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（    ） A．86 B．84 C．80 D．78 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 36．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛与纸筒的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，得到相似比，即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C．    37．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握相似、矩形的性质． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， 四边形是矩形， ， ∴， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：D． 38．已知，与相交于点，若，，与间的距离为2.1，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意设点到的距离为x，则点到的距离为，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵与间的距离为2.1 设点到的距离为x，则点到的距离为 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点到的距离为． 故答案为：． 39．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答． 【详解】解：如图所示，过A作于G，交与F， 因为， 所以，，米， 设， 则，即， 解得：， 米， 故答案为：6． 40．如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 41．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$