27.2.3 用相似三角形综合应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

27.2.3 用相似三角形综合应用 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【典例1】综合实践课上，小星在甲秀楼附近P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），示意图如图所示，他站在C处通过平面镜恰好能看到甲秀楼的顶端A点，此时测得小星的脚到平面镜的距离．已知平面镜到甲秀楼底部中心的距离，小星眼睛到地面的距离，点C、P、B在同一水平直线上，且、均垂直于水平地面．请你用光的反射定理，帮小星计算出甲秀楼的高度． 【变式1-1】如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ． 【变式1-2】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得光源距离地面高度米，米，米，三点在同一水平线上，求该古城墙的高度（为法线，平面镜的厚度忽略不计）.    【变式1-3】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】辽阳白塔属国家级文物保护单位，是东北地区最高的砖塔，也是全国六大高塔之一．小强想借助光的反射测量辽阳白塔的高度．如图2，小强在地面处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端，此时测得小强到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为177.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，，，在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小强计算出辽阳白塔的高度． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为　　m． 【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE． 【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为 　 　m． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度． 【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度． 【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB． 知识点2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离． 【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离． 1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 2．如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为1厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（   ）    A．3厘米 B．5厘米 C．7厘米 D．9厘米 3．如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 4．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为(    ) A． B． C． D． 6．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 7．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米 10．如图，路灯距离地面米，小明站在距离灯的底部（点）米的处，此时小明的影子长为米．则小明的身高为 米． 11．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是 12．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 13．如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 cm． 14．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为 ． 15．如图1，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小丽身高． (1)求灯杆的长； (2)若小丽从D处继续沿直线前进到达G处（如图2），求此时小丽的影长的长． 16．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 17．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 18．法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 19．如图所示，某测量工作人员头顶与标杆顶点、电视塔顶端在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为，标杆的长为，且测量人员与标杆的距离为，标杆与电视塔的距离为，，，，求电视塔的高．（结果精确到） 20．如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，竖起一根长的竹竿，测得竹影长为，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起长的竹竿，测得影长正好为，求路灯的高度为多少米？    21．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 22．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2.3 用相似三角形综合应用 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【考点5 利用相似三角形测量距离】 知识点1 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【考点1 利用相似三角形测量高度-平面镜测量法】 【典例1】综合实践课上，小星在甲秀楼附近P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），示意图如图所示，他站在C处通过平面镜恰好能看到甲秀楼的顶端A点，此时测得小星的脚到平面镜的距离．已知平面镜到甲秀楼底部中心的距离，小星眼睛到地面的距离，点C、P、B在同一水平直线上，且、均垂直于水平地面．请你用光的反射定理，帮小星计算出甲秀楼的高度． 【答案】甲秀楼的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由光的反射定理易证，得到，即可求出． 【详解】解：由光的反射定理得，． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． ∴． 因此，甲秀楼的高度为． 【变式1-1】如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ． 【答案】12.8 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 【变式1-2】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得光源距离地面高度米，米，米，三点在同一水平线上，求该古城墙的高度（为法线，平面镜的厚度忽略不计）.    【答案】该古城墙的高度为米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则，代入数值，即可作答． 【详解】解：∵三点在同一水平线上，为法线， ∴ ∴ ∴ ∵米，米，米， ∴ 解得（米） ∴该古城墙的高度为米． 【变式1-3】【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】辽阳白塔属国家级文物保护单位，是东北地区最高的砖塔，也是全国六大高塔之一．小强想借助光的反射测量辽阳白塔的高度．如图2，小强在地面处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端，此时测得小强到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为177.5米，小亮眼睛到地面的距离为1.6米，，，在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小强计算出辽阳白塔的高度． 【答案】辽阳白塔的高度是71米． 【分析】本题主要考查以物理反射光线为背景的相似三角形问题．利用相似三角形模型可以解决，入射角反射角，可以直接证明，在利用对应边之比，即可求出的长度． 【详解】解：由光的反射定律得到：； ∵，均垂直于； ∴； ∴； ∴； ∴； ∴（米）； 答：辽阳白塔的高度是71米． 【考点2 利用相似三角形测量高度-影子测量法】 【典例2】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【答案】19.8米． 【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， （2）∵△ABC∽△ADE， ∴， 即， ∴DC＝19.8（米）， ∴古塔的高度为19.8米． 【变式2-1】（2022秋•滨海新区校级期末）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD＝4m，BD＝12m，则旗杆AB的高为　8　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵OD＝4m，BD＝14m， ∴OB＝OD+BD＝18m， 由题意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O为公共角， ∴△OCD∽△OAB， ∴＝， 即＝， 解得AB＝8， 即旗杆AB的高为8m． 故答案为：8． 【变式2-2】（2022秋•武侯区校级期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】A 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：＝． 解得x＝6． 即蜡烛火焰的高度是6cm． 故选：A． 【变式2-3】（2022秋•铁西区校级期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP． 【答案】路灯的高度OP是m． 【解答】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴＝，即＝， ∴OP＝（m）． 答：路灯的高度OP是m． 【考点3 利用相似三角形测量高度-手臂测量法】 【典例3】（2023•横山区模拟）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE． 【答案】城墙的高度DE为12米． 【解答】解：由题意可作出下图： 由题意得，AF＝60厘米＝0.6米，AG＝EN＝30米，BC＝24厘米＝0.24米， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝12， ∴城墙的高度DE为12米． 【变式3-1】（2022•滨海县校级三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝40m，则铁塔的高度为 　16　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图， 则CH＝DA＝40m，CP＝50cm＝0.5m，EF＝20cm＝0.2m， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CBA， ∴， 即＝， ∴AB＝16（m）， 即铁塔的高度为16m． 故答案为：16． 【考点4 利用相似三角形测量高度-标杆测量法】 【典例4】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【答案】树高CD为6.5米． 【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G， 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米， ∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米）， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴， ∴， 解得：CH＝4.8， ∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）， 答：树高CD为6.5米． 【变式4-1】（2022秋•惠来县期末）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度． 【答案】17.5米． 【解答】解：如图： 过点A作AH⊥MN于点H，交CD于点E，则四边形ABDE，四边形ABNH都是矩形． ∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米， ∵CD＝4米， ∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米）， ∵CE∥MH， ∴△ACE∽△AMH， ∴＝， ∴＝， ∴MH＝15.9（米）， ∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）． 答：这栋教学楼MN的高度是17.5米． 【变式4-2】（2023•榆林一模）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度． 【答案】25m． 【解答】解：设BE＝ym，由题意可知， ∵EF∥AB，GH∥AB， ∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC， ∴，， ∵EF＝HG＝2， ∴， ∴， 解得：y＝23， 则，即， 解得：AB＝25， 答：该古建筑AB的高度为25m． 【变式4-3】（2023•临渭区二模）庆安寺塔（图1），位于临渭区交斜镇东堡村南，当地人又称其为来化塔．如图2，某校社会实践小组为了测量庆安寺塔的高度AB，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，庆安寺塔的塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算庆安寺塔的高度AB． 【答案】30米． 【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°， ∵∠DEC＝∠BEA， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝， ∴＝， ∵∠HFG＝∠BFA， ∴△HFG∽△BFA， ∴＝， ∴＝， ∴＝， ∴BD＝42， ∴＝， ∴AB＝30（米）， 答：庆安寺塔的高度AB为30米 知识点2 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【考点5 利用相似三角形测量距离】 【典例5】（2022春•港闸区校级月考）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连结AC并延长到点D，使CD＝AC，连结BC并延长到点E，使CE＝BC，连结DE．量得DE的长为15米，求池塘两端A，B的距离． 【答案】池塘两端A，B的距离为30米． 【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC， ∴＝，＝， ∴＝， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴△DCE∽△ACB， ∴＝＝， ∵DE＝15， ∴AB＝30（米）， 答：池塘两端A，B的距离为30米． 【变式5-1】（2023春•新泰市期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【答案】C 【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴， ∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m， ∴， 解得：AB＝40， 【变式5-2】（2022•柳北区模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B间的大致距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可得：∠ABD＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC， 则△ABD∽△ECD， 故＝， 即＝， 解得：AB＝100． 答：A、B间的距离为100m． 1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 2．如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为1厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（   ）    A．3厘米 B．5厘米 C．7厘米 D．9厘米 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由实际问题构建出相似三角形．如图，，推出，利用相似三角形的性质比例式解答即可． 【详解】解：如图：   ，表示蜡烛火焰的高，表示蜡烛火焰所成像的高度， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光屏上火焰所成像的高度为． 故选：A． 3．如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 4．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（   ）米．    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出． 【详解】解：如图，，，，    ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴， 即旗杆的高度为． 故选：D 5．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意证明，得出比例式求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， 解得， 即蜡烛的长为， 故选：D． 6．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 7．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∴ ， ∴， ∴ 故选：B． 8．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 答：旗杆的高度为米． 故选：A． 10．如图，路灯距离地面米，小明站在距离灯的底部（点）米的处，此时小明的影子长为米．则小明的身高为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的相似比，即可求出小明的身高． 【详解】解：如图： 则，，， ∴， 根据题意可得， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 11．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是 【答案】10 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得，再根据三角形高的比等于相似比，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10 12．图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 13．如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，先证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，然后再证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ，， ， ， ， ∵， ，， ， ， ， 解得：， 像高为， 故答案为：12． 14．同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图1，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小丽身高． (1)求灯杆的长； (2)若小丽从D处继续沿直线前进到达G处（如图2），求此时小丽的影长的长． 【答案】(1)灯杆的高度为 (2)此时小丽的影长的长是 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． （1）根据题意得出，由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果． （2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可． 【详解】（1）解：如图1，根据题意得：，（米， ， ， 即， 解得：（米； 答：灯杆的高度为； （2）如图2，根据题意得：，（米， ， ， 即， 解得：（米； 答：此时小丽的影长的长是． 16．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为14米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．求出，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据旗杆的高度代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ， ， 即， 解得， ，，， ， 四边形是矩形， ， （米）． 答：旗杆的高度为14米． 17．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】47米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题．先证明，利用相似比得到，再证明，利用相似比得到，利用等量代换得到，进而得到，解得的长，据此求解即可求出的长． 【详解】解：由题知，，， ， ． 由题知，，， ， ． ， ． 米，米，米， ， 米． ， ， 米， 答：真身宝塔的高度为47米． 19．如图所示，某测量工作人员头顶与标杆顶点、电视塔顶端在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为，标杆的长为，且测量人员与标杆的距离为，标杆与电视塔的距离为，，，，求电视塔的高．（结果精确到） 【答案】电视塔的高约为 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，作出合适的辅助线构建相似三角形，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：过点作分别交于点，交于点， 如图所示． ∴，，． ∵， ∴， ， 即， 解得． ． 答：电视塔的高约为． 20．如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，竖起一根长的竹竿，测得竹影长为，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起长的竹竿，测得影长正好为，求路灯的高度为多少米？    【答案】路灯高度为10米 【分析】考查了相似三角形的应用，有关中心投影的题目，可利用直角三角形和相似三角形的性质求解．设路灯高度为米，由题意，可知，，，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：设路灯高度为米， 由题意，可知，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：路灯高度为10米． 21．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的相似，正确得出的长是解题的关键．根据题意构造直角三角形，求得的长，进而得出答案； 【详解】解：分别延长、相交于点F, 根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 答：旗杆的高度为25.5m． 22．如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米． (1)求明德楼的高； (2)求塑像的影长． 【答案】(1)12米 (2)4米 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质， (1)根据，米，得到米，根据，得，列比例式，计算即可． (2)根据，得，列比例式，计算即可． 【详解】（1）∵，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，塑像高米， ∴， 解得(米) 答：明德楼的高为12米． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：塑像的影长为4米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$