特训05 全等三角形高频考点-手拉手模型-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

特训05 全等三角形高频考点——手拉手模型 【基本模型】 （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. 【特训过关】 1．如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接、 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，，，，B、D、E三点共线，，， 则（　　） A． B． C． D．无法计算 3．如图，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，若，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋 转得到，交于点F，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 5．如图，已知：，，，，现有下列结论： ①；②；③；④．其中不正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 6．如图，和均为等边三角形，且，，连接，，分别交， 于点G，连接，．下列结论：①；②平分；③直线； ④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 7．如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作 于点F，则下列结论正确的为（　　） ①可由绕点B旋转而得到； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 8．如图，，，要使，则需再添加一个条件是 　 　（写 出一个即可）． 9．如图所示，，，，，，则　 　． 10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转能与重合，若，则 　 　． 11．已知：如图，在和中，，，，连接，C， D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②； ③；④．其中正确的是 　 　．（只填序号） 12．如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在的上方分别作和，且， ，，、交于点P．有下列结论：①；②； ③当时，；④平分．其中正确的是 　 　．（把你认为正确结论的 序号都填上） 13．如图，，点P为的平分线上的一个定点，且与互补，若 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：①； ②四边形的面积保持不变；③的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　（填序号）． 14．如图，于点D，于点E，与交于点O，连接并延长交于点F，延 长至点G，若平分，平分，则下列结论：①；②； ③；④；⑤，其中正确的结论有 　 　（写序号）． 15．【初步感知】： 如图①，和都是等边三角形，连接、．小组同学发现： （1）与全等，依据是 　 　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段，依据是 　 　； 【拓展探究】： 如图②，和都是等腰三角形，，，，、相交于点M，连接． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）　 　（用含的式子表示），并说明理由． 16．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰 三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手 拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　； （2）类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由． 17．（1）如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在 右侧作等边，连接，线段与的数量关系是 　 　，　 　°． （2）如图2，在中，，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系． 18．在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点D，则与的数量关系是 　 　，的度数为 　 　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 19．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． [初步把握]如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 　 　　 　． [深入研究]如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． [拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 20．在中，为锐角，点D为射线上一点，且与点B、C不重合，连接，以为边， 向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点D在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点D在线段上，且时，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 全等三角形高频考点——手拉手模型 【基本模型】 （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. 【特训过关】 1．如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接、 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图所示，，，，B、D、E三点共线，，， 则（　　） A． B． C． D．无法计算 【答案】B． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，若，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋 转得到，交于点F，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图，过点F作于H，于N， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，已知：，，，，现有下列结论： ①；②；③；④．其中不正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】A． 【解析】解：延长交于点F，交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：A． 6．如图，和均为等边三角形，且，，连接，，分别交， 于点G，连接，．下列结论：①；②平分；③直线； ④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】D． 【解析】解：∵和均为等边三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与与中， ， ∴， ∴，故①正确，，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线；故③正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，交于H， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 7．如图，为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过点E作 于点F，则下列结论正确的为（　　） ①可由绕点B旋转而得到； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B． 【解析】解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴可由绕点B旋转而得到，故①符合题意， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， 过E作，交延长线于点M， ， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意， 故选：B． 8．如图，，，要使，则需再添加一个条件是 　 　（写 出一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：需再添加一个条件是， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图所示，，，，，，则　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转能与重合，若，则 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转能与重合， ∴，即为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 11．已知：如图，在和中，，，，连接，C， D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②； ③；④．其中正确的是 　 　．（只填序号） 【答案】①③④． 【解析】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故答案为：①③④． 12．如图，C为线段上一动点（不与点A、B重合），在的上方分别作和，且， ，，、交于点P．有下列结论：①；②； ③当时，；④平分．其中正确的是 　 　．（把你认为正确结论的 序号都填上） 【答案】①②③④． 【解析】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，故③正确； 如图，连接，过点C作于G，于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②③④． 13．如图，，点P为的平分线上的一个定点，且与互补，若 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：①；②四边 形的面积保持不变；③的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　（填序号）． 【答案】①②． 【解析】解：过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴四边形的面积＝四边形的面积， ∴四边形的面积保持不变， 故②正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵的长度是变化的， ∴的周长是变化的， 故③错误； 所以，说法正确的是：①②， 故答案为：①②． 14．如图，于点D，于点E，与交于点O，连接并延长交于点F，延 长至点G，若平分，平分，则下列结论：①；②； ③；④；⑤，其中正确的结论有 　 　（写序号）． 【答案】①②③⑤． 【解析】解：∵于点D，于点E，与交于点O，连接并延长交于点F， ∴， ∴，， ∴； 故①正确． ∵，，平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故②正确． 在和中， ， ∴， ∴； 故③正确． ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故④错误． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 15．【初步感知】： 如图①，和都是等边三角形，连接、．小组同学发现： （1）与全等，依据是 　 　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段，依据是 　 　； 【拓展探究】： 如图②，和都是等腰三角形，，，，、相交于点M，连接． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）　 　（用含的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）；（2）全等三角形的对应边相等；（3）存在，理由见解析；（4）． 【解析】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知，， ∴（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：全等三角形的对应边相等； （3）存在（2）的结论，理由如下： ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰 三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手 拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　； （2）类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析． 【解析】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点O，与交于点F， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． （2），理由如下， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（1）如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在 右侧作等边，连接，线段与的数量关系是 　 　，　 　°． （2）如图2，在中，，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求的度数． 【答案】（1），120；（2），理由见解析． 【解析】解：（1）∵和是等边三角形， ∴，，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，120； （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 18．在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点D，则与的数量关系是 　 　，的度数为 　 　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【发现问题】，【类比探究】，，理由见解析；【拓展延伸】，理由见解析． 【解析】解：（1），， 理由如下：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：，； （2），， 理由如下：如图2， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）【拓展延伸】， 理由如下：如图3， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∵， ∴． 19．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． [初步把握]如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 　 　　 　． [深入研究]如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：． [拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握] ，；[深入研究]证明见解析；[拓展延伸] ，，理由见解析． 【解析】[初步把握]解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； [深入研究]证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； [拓展延伸]解：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20．在中，为锐角，点D为射线上一点，且与点B、C不重合，连接，以为边， 向外作等边三角形，连接． （1）若，； ①如图1，当点D在线段上时，试探讨与的数量关系和此时与位置关系，并说明理由； ②如图2，当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； （2）如图3，若，，点D在线段上，且时，求的度数． 【答案】（1）①，，理由见解析；②，仍然成立，理由见解析；（2）． 【解析】解：（1）①，； 理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②，仍然成立，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作，交于点E， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$