2-5 直梁弯曲（课件）《机械基础》同步精品课堂（高教版·第三版）

2-5 构件的静力分析-直梁弯曲 机械基础 同步精品课堂 高等教育出版社（第三版） 1 弯曲变形的概念 楼房的横梁 阳台的挑梁 弯曲变形的工程实例 弯曲变形的工程实例 弯曲变形的生活实例 弯曲变形的特点 受力特点——杆件受到垂直于轴线的外力(横向外力)或作用面在轴线所在平面内的外力偶作用. 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 主要产生弯曲变形的杆件------梁。 纵向对称面 梁的横截面 固定铰支座 (pin support) 滚动铰支座 (roller support) 固定端支座（fixed support) FA 梁的支座种类 支座约束力 FAx FAy MA A FAy FAx A A A A A A 1.悬臂梁： 2.简支梁： 3.外伸梁： （l 称为梁的跨长） 静定梁种类 l q M l q l F l F A B F FAy FAx FB m m x FS M M FS （1） 弯矩M 作用面在纵向对称面内的内力偶矩，称为弯矩，用M表示。 A FAy C FB F C （2） 剪力FS 与截面相切的内力，称为剪力，用FS表示。 1. 梁的内力—剪力和弯矩： 2.剪力和弯矩的正负号规定： 正的剪力 FS FS 负的剪力 FS FS FS FS FS FS 左上右下为正 或顺时针为正 左下右上为负 或逆时针为负 上凹下凸（使梁下侧的纵向纤维受拉）弯矩为正。 或左顺右逆弯矩为正。 弯矩的正负号 正的弯矩 M M 表示方法 引起的变形 上凹下凸 M M 截面法求梁指定截面内力的步骤： 求约束力 截取研究对象 受力图，内力按正向假设。 列平衡方程 求解内力，负号表示与假设反向 内力 右截面正向 左截面正向 微段变形（正） 内力的符号规定 y x 左上右下，FＳ为正 左顺右逆，M为正 x FS M M FS 顺时针错动 FS 向下凸 M 截面法求梁指定截面内力的步骤 (1)无载荷作用的梁段（q=0 ） M图为斜直线，其斜率等于剪力。 ，FS图为水平线 １. 剪力图、弯矩图的规律 由内力图的规律作梁的内力图 梁的内力是由外力产生的，因此梁的剪力图、弯矩图与梁所受的外力之间存在一定的规律。现将外力与剪力图、弯矩图之间的规律总结如下： M图 (2)均布载荷作用的梁段（q=常数） FS 图为斜直线，其斜率等于载荷集度q。 M图为二次抛物线，抛物线凹向与均布载荷的指向相同。 在 的截面上，M取极值。 雨伞 FS 图 M图 (3)在集中力作用的截面上，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小，自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。 Ｍ 图出现尖点 ＦS 图突变 Ｍ 图出现尖点 ＦS 图突变 (4)在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针时，自左向右弯矩图向上突变；反之，则向下突变。 Ｍ 图突变 ＦS 图不变 Ｍ 图突变 ＦS 图不变 q q=0 q=const.>0 q=const.<0 FS图 FS>0 FS<0 FS>0 FS<0 FS>0 FS<0 M图 M图 集中力(偶) FS图 无变化 无变化 突变 突变 转折 剪力图、弯矩图的规律 1.求梁的支座约束力（悬臂梁可不求）； 2.分段：（端点、集中力、集中力偶作用点及分布载荷的分布长度起、止点为分界点。） 3.利用内力图的规律判断各段梁剪力图和弯矩图的形状； 4.求控制截面的剪力和弯矩； 5.画内力图。 由内力图的规律作梁的内力图基本步骤： 控制截面: 端点、分界点（外力变化点）和驻点（极值点）所在的截面。 例一外伸梁如图所示，已知q=4 kN/m，F=16 kN，l=4 m，试画出梁的剪力图、弯矩图。 解（1）求支座约束力 （2）根据梁上的外力情况，将梁分为AB、BC、CD三段。 （3）画剪力图和弯矩图 AB段：q向下，FS图 BC段：无载荷，FS图 CD段：无载荷，FS图 AB段:上有向下的均布载荷，其弯矩图为下凹的二次抛物线 BC段:无载荷作用，其弯矩图均为斜直线 CD段:无载荷作用，其弯矩图均为斜直线 纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无切应力的弯曲）。 横力弯曲（剪切弯曲） 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有切应力的弯曲）。 F F 纯弯曲的概念 中性层：根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层——称为中性层。 1、凹入一侧纵向纤维缩短 2、凸出一侧纵向纤维伸长 纯弯曲变形特点 梁纯弯曲变形时，横截面上中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力，其大小沿截面高度线性分布，各点的正应力s 的大小与该点到中性轴的距离y成正比；距中性轴最远的上下边缘处，分别有最大拉应力和最大压应力；截面上距中性轴等距离的各点正应力相等，中性轴上各点的正应力为零。 梁横截面上正应力分布规律 M y z O x 最大压应力scmax 最大拉应力stmax 中性轴 σ cmax σtmax 中性轴 梁横截面上正应力计算公式 纯弯曲时横截面上正应力的计算公式为 M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩。 (1)可以证明，中性轴过截面的形心并垂直于截面的纵向对称轴。 (2)应用公式时，一般将 M和y 以绝对值代入. 根据梁变形的情况直接判断  的正负号。以中性轴为界，梁受拉的一侧 为正，受压的一侧 为负。 说明： z y O y M 梁截面上最大正应力发生于离中性轴最远的上、下边缘处，即 ——称为抗弯截面模量（弯曲截面系数），常用单位为m3或mm3。 梁横截面上的最大正应力 简单截面的轴惯性矩和抗弯截面系数 截面形状 轴惯性矩 抗弯截面系数 ， 解(1) 求Ｃ截面上a、b、c三点处的正应力  计算C截面的弯矩 例简支梁受均布载荷q作用如图所示，已知 q=2kN/m，梁跨度l=3m，截面为矩形，b=80mm，h=100mm。求（1）C截面上a、b、c三点处的正应力；（2）梁的最大正应力值及其位置。 求支座约束力 梁的正应力强度计算 计算截面对中性轴z的惯性矩 计算Ｃ截面上各点的正应力 梁的正应力强度计算 作弯矩图 弯矩最大值发生在跨中截面处，其值为： 梁的最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘处，最大正应力值为： （2）求梁的最大正应力值及其位置 梁的正应力强度条件可以解决以下三类强度计算问题： (3)确定许可载荷 (1)强度校核 (2)设计截面尺寸 必须降低梁的最大弯矩Mmax； 提高梁的抗弯截面系数Wz。 采用变截面梁 提高梁弯曲强度的主要措施 提高梁的强度 弯曲正应力是控制梁强度主要因素，由强度条件 根据抗弯截面系数与截面面积比值Wz /A选择截面 比较：具有同样高度h的矩形、圆形和工字形（或槽形）截面的Wz /A值。 1.选择合理的截面形状 高h、宽b的矩形截面 : 直径为h的圆形截面： 高h的工字形、槽形截面： 抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。综合考虑梁的安全性与经济性，可知Wz /A值越大，梁截面越合理。因此这三种截面的合理顺序是：①工字形与槽形截面 ②矩形截面， ③圆形截面。 2、根据材料特性选择截面形状 对于塑性材料：其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性轴为截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等，如矩形、工字形、圆形和圆环形等截面形式。 对于脆性材料：其抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是对称轴的截面，如 T 字形截面，使中性轴靠近受拉一侧。 z y1 y2 σcmax σtmax 3、合理地设置支座位置 或 减小梁的跨度 当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时，最大弯矩减小. a a l q 0.0214ql2 l q ql2/2 4、采用变截面梁 变截面梁：梁的截面沿梁轴变化的梁。 等强度梁：理想的变截面梁是使所有横截面上的最大弯曲正应力均相同，并且等于许用应力。 感谢观看 $$