3.5总体分布的估计、3.6总体特征值的估计（课件）-中职高一数学同步教学劳保版(第七版) 下册

随机事件及其概率 概率的简单性质 等可能事件的概率 抽样方法 第3章 概率与统计初步 总体分布的估计 一元线性回归 总体特征值的估计 教学重点 1. 频率分布表的制作． 2. 频率分布直方图的制作． 教学难点 频率分布直方图的制作． 教学方法 通过实例讲解使学生理解并掌握频率分布表与频率分布直方图制作的具体步骤． 教学目标 1．理解并掌握频率分布表的制作． 2．了解频率分布直方图的制作．学会使用频率分布估计总体分布． 3.5 总体分布的估计 3.5 总体分布的估计——频率分布表 为了了解7月25日至8月24日北京地区的气温分布状况，可以对北京历年这段时间的日最高气温进行抽样，并对得到的数据进行分析. 我们随机抽取近年来北京地区7月2 5日至8月24日的日最高气温，得到表3—7中的两个样本. 实例考察 表3—7 最高气温的样本 ℃ 7月25日至8月10日 41.9 37.5 35.7 35.4 37.2 38.1 34.7 33.7 33.3 32.5 34.6 33.0 30.8 31.0 28.6 31.5 28.8 8月8日至 8月24日 28.6 31.5 28.8 33.2 32.5 30.3 30.2 29.8 33.1 32.8 29.4 25.6 24.7 30.0 30.1 29.5 30.3 3.5 总体分布的估计——频率分布表 怎样通过以上表中的数据，分析比较两时间段内的高温天气(日最高气温≥33 ℃) 状况呢？ 以上两个样本中的高温天气的频率用表3—8表示. 表3—8 高温天气的情况 时间 总天数 高温天气频数 频率 7月25日至8月10日 17 11 0.647 8月8日至8月24日 17 2 0.118 实例说明，当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布. 我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表. 3.5 总体分布的估计——频率分布表 例题解析 3.5 总体分布的估计——频率分布表 3.5 总体分布的估计——频率分布表 3.5 总体分布的估计——频率分布表 一般地，编制频率分布表的步骤如下： (1) 计算极差，决定组数与组距，组距 . (2) 分组 . (3) 登记频数，计算频率，列出频率分布表 . 3.5 总体分布的估计——频率分布直方图 我们继续作出前面例题的频率分布直方图． （1）以横轴表示内径，纵轴表示 （2）在横轴上标上25.235，25.265，，25.565的点； （3）在上面标出的各点中，分别以连结相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的 ． 3.5 总体分布的估计——频率分布直方图 3.5 总体分布的估计——频率分布直方图 一般地，作频率直方图的方法: 把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图． 知识巩固 3.5 总体分布的估计——频率分布直方图 知识巩固 3.5 总体分布的估计——频率分布直方图 教学重点 1. 平均数的计算． 2. 方差与标准差的计算． 教学难点 方差与标准差的计算． 教学方法 通过实例讲解使学生理解并掌握样本特征值的平均数的计算与方差和标准差的计算方法． 教学目标 1．理解并掌握总体特征值的概念． 2．了解样本特征值中的平均数、方差的计算并学会使用样本特征值估计总体特征值． 3.6 总体特征值的估计 3.6 总体特征值的估计 从某市某年参加毕业考试的学生中，随机抽查了20名学生的数学成绩，分数如下： 90 84 84 86 87 98 73 82 90 93 68 95 84 71 78 61 94 88 77 100 这里的总体是“某市某年所有参加毕业考试学生的数学成绩”，设为 ，上面所抽取到的20个数是总体一个容量为20的样本的一组观察值．如何反映学生的总体情况呢？ 实例考察 我们通常情况下是用样本的平均值作为学生成绩的估计值，实际上也可以用其他估计量来反映总体的数据． 在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征值． 怎样通过抽样的方法，用样本的特征值估计总体的特征值呢？ 一般地，当样本容量为n 时，设每次抽取的样本为（ ），样本平均数记为 ，则 3.6 总体特征值的估计——平均数及其估计 如引例中我们通过计算学生的平均成绩来反映学生的总体情况，所以上述平均数为 例题解析 3.6 总体特征值的估计——平均数及其估计 3.6 总体特征值的估计——方差与标准差 3.6 总体特征值的估计——方差与标准差 例题解析 3.6 总体特征值的估计 知识巩固 教学重点 一元线性回归方程的建立以及应用. 教学难点 一元线性回归方程的建立以及应用． 教学方法 通过实例讲解使学生了解一元线性回归方程的建立以及应用. 教学目标 1．了解一元线性回归方程的概念． 2．了解一元线性回归方程的建立以及应用． 3.7 一元线性回归 某小卖部为了了解热茶销量与气温之间的相关关系，随机统计并制作为某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 实例考察 如果某天的气温是－5，那么你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 气温/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯 数 20 24 34 38 50 64 在实际问题中，变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系．例如，圆的面积与半径之间的关系就是确定性函数关系，可以用函数表示． 另一类是变量间有一定的关系，但又不能完全用函数关系来表达．例如，人的身高并不能确定体重，但一般来说“身高者，体也重”．我们说身高与体重这两个变量具有相关关系． 用怎样的数学模型刻画两个变量之间的相关关系呢？ 通常把研究两个变量的相关关系叫做一元回归分析．我们只研究一元线性回归分析． 我们以具体的例题来说明一元线性回归方程的建立． 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 例 某在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间 x 之间相应的一组观察值如下表： 例题解析 由表中数据可以看出，Y有随x增加而增加的趋势，它们之间的这种关系无法用函数式准确表达，是一种相关关系．为了探求两者之间的定量关系，我们以腐蚀时间x的取值作横坐标，把Y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标系中描点（xi，yi）(i=1，2，…，11)，如图所示．这样的图叫散点图． 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 x（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 Y（μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 由图可见，所有散点都分布在图中画出的一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系．记此直线方程为 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 （1） 这里的y的上方加记号“＾”，是为了区分Y的实际值y，表示当x取值 xi 时 ,Y 相应的观察值为 yi ，而直线上对应于xi的纵坐标是 yi = a + bxi ． 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 （1） （1）式叫做 Y 对 x 的一元线性回归方程，a，b叫做回归系数．要确定回归直线方程（1），只要确定回归系数 a，b． 当 x 取值 （i=1，2，…，n）时，Y的观察值为yi ，对应回归直线上的 ，取 yi = a + bxi ，差yi － （i=1，2，…，n）刻划了实际观察值yi 与回归直线上相应纵坐标之间的偏离程度．我们希望yi与 的的n个偏差构成的总偏差越小越好，这才说明所找的直线是最好的．显然，这个总偏差不能用n个偏差之和 来表示，通常是用偏差的平方和，即 作为总偏差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．由于平方又叫二乘法，所以这种使“偏差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法． 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 同理，把Q的展开式重新按b的降幂排列，看作b的二次函数得到，当 时，取最小值，从而有 从而回归系数a，b可由下面公式求得： 解得 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 其中a，b的上方加“＾”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，也叫回归系数， 求出后，回归直线方程就建立起来了． 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 下面利用公式（2）来求上例中，腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程． 先把数据列成表 序号 x y x2 y2 xy 1 5 6 25 36 30 2 10 10 100 100 100 3 15 10 225 100 150 4 20 13 400 169 260 5 30 16 900 256 480 6 40 17 1600 389 680 7 50 19 2500 361 950 8 60 23 3600 529 1380 9 70 25 1900 625 1750 10 90 29 8400 841 2610 11 120 46 14400 2116 5520 ∑ 510 214 36750 5422 13910 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 由上表算得， ，代入前面的公式（2）得（注意：不必把 化为小数，以减小误差） 腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程为 这里的回归系数b=0.304，它的意义是：腐蚀时间x每增加一个单位（s），深度Y平均增加0.304个单位（μm）． 知识巩固 3.7 一元线性回归——一元线性回归方程 有一个摆地摊的赌主，他拿了3个白的，3个黑的围棋子，放在一个布袋里，赌主精心绘制了一张中彩表：凡愿摸彩者，每交3元钱“手续费”，然后一次从袋里摸3个棋子，中彩情况如下： 实践 实 践 摸 到 彩 金 3个白棋子 20元 2个白棋子 2元 1个白棋子 纪念品一份（价值5角） 其他 同乐一次（无任何奖品） 问：按摸1000次统计，估计赌主可净赚多少钱？你制定出一种新规则，使小明获胜的可能性较大． $$