2.1.1 等式的性质与方程的解集（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 a±c＝b±c ac＝bc 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 任意实数 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 a2＋2ab＋b2 (a＋b)(a－b) (a－b)(a2＋ab＋b2) x2＋(a＋b)x＋ab acx2＋(ad＋bc)x＋bd 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 ab a＋b (x＋a)(x＋b) C 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 未知数 解集 {x1，x2} {x1} 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　等式与不等式 1 学业标准 素养目标 1．了解等式的性质，并能进行应用． (重点) 2．会用十字相乘法进行因式分解． (重点) 3．能通过因式分解求方程的解集． (难点) 1．通过等式的性质和“十字相乘法”的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过恒等式解方程，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1　恒等式 判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) . [提示]　以上均正确，这些都是等式的基本性质． ◎结论形成 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，则对任意c，都有__________________；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式． (2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有_________， eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) . 2．恒等式 (1)恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取____________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． (2)常见的代数恒等式 ①(a＋b)2＝____________，(a－b)2＝a2－2ab＋b2； ②a2－b2＝________________； ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝____________________； ④(x＋a)(x＋b)＝____________________， (ax＋b)(cx＋d)＝_______________________． 导学2　十字相乘法 我们学过哪些分解因式的方法？ [提示]　提取公因式法、公式法等． 我们知道对任意的x，a，b，都有(x＋a)·(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.那么对于二次三项式x2＋x－2如何分解因式呢？ [提示]　由(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2可知，二次三项式x2＋x－2可分解为(x－1)(x＋2). ◎结论形成 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝_____且C＝_______，则x2＋Cx＋D＝________________．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于_____，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 导学3　方程的解集 使方程x2＝2x成立的x的值的集合为______． [提示]　{0，2} ◎结论形成 1．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的__________的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的________． 2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为__________，当x1＝x2时解集为_______． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.(　　) (2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4).(　　) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.(　　) (4)方程x2＋2x－3＝0的解集为{1，－3}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若3a＝2b，下列各式进行的变形，不正确的是(　　) A．3a＋1＝2b＋1　　 B．3a－1＝2b－1 C．9a＝4b D．－ eq \f(a,2) ＝－ eq \f(b,3) 解析　对于A，∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不符合题意； 对于B，∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不符合题意； 对于C，∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意； 对于D，∵3a＝2b，∴－ eq \f(a,2) ＝－ eq \f(b,3) ，正确，不符合题意． 答案　C 3．x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 解析　原方程可化为x＝ eq \f(a,2) ，又x＝1，所以 eq \f(a,2) ＝1，即a＝2. 答案　B 4．分解因式：3x2－6x＋3＝________． 解析　3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2. 答案　3(x－1)2 题型一　利用恒等式化简 一题多解 (1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　) A．－2m2 　　　　　　 B．0 C．－2 D．－1 (2)化简：(x＋3y)2－(3x＋y)2. (1)[解析]　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1) ＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. [答案]　C (2)[解析]　法一　(x＋3y)2－(3x＋y)2 ＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2) ＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 法二　(x＋3y)2－(3x＋y)2 ＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)] ＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y) ＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y) ＝8y2－8x2. 化简的一般步骤 (1)一提：先看是否能提取公因式． (2)二套：再看能否套用公式． (3)三检查：再检查因式分解是否彻底． (4)四检验：最后用多项式乘法检验分解是否正确． [触类旁通] 1．(1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b＝________． (2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为________． 解析　(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49， 即a－b＝±7. (2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4) ＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0， 所以a＝－1，b＝2， 所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7. 答案　(1)7或－7　(2)7 题型二　利用十字相乘法分解因式 一题多解 　分解因式． (1)x2＋6x－7； (2)2x2－7x＋6； (3)x2＋29xy＋100y2； (4)(a－b)2＋11(a－b)＋28. [解析]　(1)法一　x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7＝(x＋3)2－16＝(x＋3＋4)(x＋3－4)＝(x＋7)(x－1). 法二　x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1). (2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数． 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3). (3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y). (4)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4]·[(a－b)＋7] ＝(a－b＋4)(a－b＋7). [素养聚焦]　通过“十字相乘法”因式分解，提升逻辑推理等核心素养． (1)对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)·(x＋b)进行因式分解． (2)对于二次三项式ax2＋bx＋c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c，即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)·(a2x＋c2). [触类旁通] 2．分解因式． (1)x2＋37x＋36； (2)－x2＋(a－2)x＋2a. 解析　(1)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36). (2)－x2＋(a－2)x＋2a＝(x＋2)(－x＋a)＝－(x＋2)·(x－a). 题型三　方程的解集 　求下列方程的解集． (1)x(x－2)＋x－2＝0； (2)关于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0. [解析]　(1)把方程左边因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0， 从而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1. 所以方程的解集为{－1，2}． (2)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0， 所以x＝1， 当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说， 因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1). 如图所示． ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)， 所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0， 所以ax－1＝0或x－1＝0，所以x＝ eq \f(1,a) 或x＝1. 综上，当a＝0时，方程的解集为{1}， 当a≠0时，方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1)) . 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0. (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式． (3)令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程． (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． [触类旁通] 3．求方程6x2－7x＋2＝0的解集． 解析　原方程化为(2x－1)(3x－2)＝0， ∴2x－1＝0或3x－2＝0， 解得x＝ eq \f(1,2) 或x＝ eq \f(2,3) . ∴方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) . 知识落实 技法强化 (1)等式的性质及常见的恒等式． (2)十字相乘法． (3)求方程的解集． (1)因式分解的步骤：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分的要合适，四种方法反复试，提净分完连乘式． (2)求含参数的方程的解集时，要注意是否应对参数进行分类讨论，特别针对最高次项的系数是否为零进行分析． $$