8.1.2 向量数量积的运算律（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 §8.1　向量的数量积 8.1.2　向量数量积的运算律 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 a·b＝b·a a·(λb) λ(a·b) a·c＋b·c 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 1 学业标准 学科素养 1．掌握平面向量数量积的运算律，以及运算律的适用范围、与实数乘法运算律的区别．(重点) 2．会应用运算律进行相关的计算或证明．(重点、难点) 1．通过学习数量积的运算律，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数量积的性质、运算律的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养． 导学　向量数量积的运算律 　如图所示，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，求a·b，b·a，(2a)·b，a·(2b)的值． [提示]　a·b＝b·a＝18，(2a)·b＝36，a·(2b)＝36，即(2a)·b＝a·(2b). 　若a，b，c均为非零向量，那么a·b＝b·c⇒a＝c正确吗？ [提示]　不正确． 因为a·b＝b·c(b≠0)表示向量c，a在向量b上投影的数量相等，并不能说明a＝c.如图所示，虽然a·b＝b·c，但a≠c. 　对于向量非零向量a，b，c，(a·b)c＝(b·c)a成立吗？ [提示]　不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立． ◎结论形成 1．向量数量积的运算律 已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 _______________ 结合律 (λa)·b＝____________＝____________ 分配律 (a＋b)·c＝______________ 2．向量数量积的常见运算结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λ(a·b)＝λa·λb.(　　) (2) eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up16(→)) ·( eq \o(AC,\s\up16(→)) ＋ eq \o(CD,\s\up16(→)) )＝ eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AD,\s\up16(→)) .(　　) (3)若(λa)·b＝0，则a⊥b.(　　) (4)|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论不正确的是(　　) A．e1在e2方向上的投影为cos θ B．e eq \o\al(2,1) ＝e eq \o\al(2,2) C．(e1＋e2)⊥(e1－e2) D．e1·e2＝1 解析　e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ.故选D． 答案　D 3．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b　　　　　　 B．2a＋b C．a－2b D．2a－b 解析　由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝ eq \f(1,2) .对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝ eq \f(1,2) ＋2＝ eq \f(5,2) ≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝ eq \f(1,2) －2＝－ eq \f(3,2) ≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故选D． 答案　D 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与(a－b)的夹角为________． 解析　|a－b|＝ eq \r(（a－b）2) ＝ eq \r(a2＋b2－2a·b) ＝ eq \r(3) ， 设向量a与a－b的夹角为θ，则 cos θ＝ eq \f(a·（a－b）,|a||a－b|) ＝ eq \f(22－1,2×\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2) ， 又θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,6) . 答案　 eq \f(π,6) 题型一　向量数量积及向量的模 　(1)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________. (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ eq \r(10) ，则|b|＝________． (3)已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①(a＋b)2；②a2－b2；③(a－2b)·(a＋b). [解析]　(1)∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1. ∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－ eq \f(1,2) ， ∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝3，∴|a－b|＝ eq \r(3) . (2)因为|2a＋b|＝ eq \r(10) ，所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10， 故4×12＋4×1×|b|× eq \f(\r(2),2) ＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 eq \r(2) |b|－6＝0， 解得|b|＝ eq \r(2) 或|b|＝－3 eq \r(2) (舍去). (3)①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16－8＋4＝12. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－4＝12. ③(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2 ＝a2－a·b－2b2＝|a|2－a·b－2|b|2 ＝16＋4－8＝12. [答案]　(1) eq \r(3) 　(2) eq \r(2) 　(3)略 (1)已知模、夹角的向量数量积运算 一是注意数量积运算律的应用；二是注意利用向量的加减法合并向量．上述的两个方面都可以起到简化运算的作用． (2)求向量的模的常见思路及方法 ①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方； ②a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ eq \r(a2) ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [触类旁通] 1．(1)(2024·北京高一期中)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝(　　) A．2　 　 B．－2　　 C．1　　 D．－1 解析　依题意，|a|＝ eq \r(2) ，|b|＝2，|c|＝2，〈a，b〉＝ eq \f(π,4) ， b⊥c，〈a，c〉＝ eq \f(3π,4) ， 因此a·c＝|a||c|cos eq \f(3π,4) ＝ eq \r(2) ×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))) ＝－2，b·c＝0， 所以(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝－2. 答案　B (2)(2024·辽宁大连高一期中)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝ eq \f(2π,3) ，则|3a＋b|＝(　　) A．7 B． eq \r(7) C．19 D． eq \r(19) 解析　因为|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝ eq \f(2π,3) ， 所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－1， 所以|3a＋b|2＝9a2＋b2＋6a·b＝9＋4－6＝7，所以|3a＋b|＝ eq \r(7) . 答案　B 题型二　向量的夹角与垂直问题 多维探究 角度1　求两个向量的夹角 　已知向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) ＝2， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) ＝ eq \r(2) ，a·b＝－2，设a与(a＋b)的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D．－ eq \f(\r(2),2) [解析]　因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) ＝2， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) ＝ eq \r(2) ，a·b＝－2， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))\s\up20(2)) ＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2) ＝ eq \r(22＋2×（－2）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))\s\up20(2)) ＝ eq \r(2) ， a· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)) ＝a2＋a·b＝22－2＝2， 所以cos θ＝ eq \f(a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))) ＝ eq \f(2,2×\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，故选C． [答案]　C 角度2　与向量垂直有关的问题 　(2024·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D． 1 [解析]　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4， 从而|b|＝ eq \f(\r(2),2) . [答案]　B (1)求向量夹角在应用数量积的变形公式cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) 时，一般要求两个整体a·b，|a||b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． (2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握． [触类旁通] 2．若夹角为 eq \f(π,3) 的非零向量a，b满足|a|＝1且a⊥(a－b)，则|b|＝(　　) A．1 B． eq \r(3) C．2 D．3 解析　因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0， 所以|a|2－|a||b|cos eq \f(π,3) ＝0，将|a|＝1代入，得|b|＝2. 答案　C 题型三　向量数量积在平面几何中的应用 　如图，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.求证：AD⊥BC． [证明]　如图所示，设 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝c， eq \o(DC,\s\up16(→)) ＝d， eq \o(DB,\s\up16(→)) ＝e， 则a＝c＋e，① b＝c＋d.② ∵AB2－AC2＝DB2－DC2， 即|a|2－|b|2＝|e|2－|d|2， ∴a2－b2＝e2－d2. 将①②代入上式，得(c＋e)2－(c＋d)2＝e2－d2， 即c2＋2c·e＋e2－c2－2c·d－d2＝e2－d2， 得c·(e－d)＝0. 又∵ eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(BD,\s\up16(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up16(→)) ＝－e＋d＝－(e－d)， ∴ eq \o(AD,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝c·[－(e－d)]＝－c·(e－d)＝0. ∴ eq \o(AD,\s\up16(→)) ⊥ eq \o(BC,\s\up16(→)) ，即AD⊥BC． [素养聚焦]　数量积在平面几何的应用过程中，体现了逻辑推理、数学运算核心素养． 利用向量数量积解决几何问题的步骤 利用向量数量积及运算律解决几何问题一般分为三步：一是选取合适的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将涉及的向量用基底表示；二是进行向量运算；三是还原为几何结论． [触类旁通] 3．四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝b， eq \o(CD,\s\up16(→)) ＝c， eq \o(DA,\s\up16(→)) ＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？ 解析　四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.② 由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|， 即四边形ABCD的两组对边分别相等． ∴四边形ABCD是平行四边形． 另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0， 而由平行四边形ABCD可得a＝－c， 代入上式得b·(2a)＝0， 即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC， 综上所述，四边形ABCD是矩形． [缜密思维提能区]　易错辨析 向量数量积的运算律掌握不准致错 [典例]　已知a，b都是非零向量，且(a＋3b)与(7a－5b)垂直，(a－4b)与(7a－2b)垂直．求a与b的夹角． [错解]　由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0，,（a－4b）·（7a－2b）＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0.②)) ①－②，得46a·b＝23b2，即2a·b＝b2. 因为b≠0，所以a＝ eq \f(1,2) b， 把它代入②，得a2＝b2，则|a|＝|b|，设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2) ＝ eq \f(1,2) ，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°. [错因分析]　在求出2a·b＝b2之前是正确的，此式子说明a·b与 eq \f(1,2) b2是两个相等的数，两边同时约去b，即两边同除以b是错误的，因为向量没有除法，结果正确只是巧合． [正解]　因为a＋3b与7a－5b垂直， 所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0. 同理由a－4b与7a－2b垂直可得 7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，①,7|a|2－30a·b＋8|b|2＝0.②)) ①－②，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝ eq \f(1,2) |b|2， 代入①，得|a|2＝|b|2.所以|a|＝|b|. 设a，b夹角为θ，则cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(\f(1,2)|a|2,|a|2) ＝ eq \f(1,2) ， 所以θ＝60°. [纠错心得] 实数中的有些运算在向量中是不成立的，求解问题时应注意区分．如|a·b|≠|a||b|；(a·b)2≠a2b2，等． 知识落实 技法强化 (1)向量数量积的运算律． (2)利用向量数量积证明垂直，求夹角、模． (1)本节课应用了数形结合、转化与化归的思想方法． (2)注意不要忽视向量数量积不满足结合律． $$