7.2.2 单位圆与三角函数线（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.2　任意角的三角函数 7.2.2　单位圆与三角函数线 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 x2＋y2＝1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(难点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(重点) 1．通过三角函数线的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数线的应用，提升直观想象等核心素养. 导学　正弦线、余弦线与正切线 　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示． (1)试求P点的坐标． (2)能否用向量直观表示sin α，cos α，tan α. [提示]　(1)P(cos α，sin α) (2)根据三角函数的定义，用向量eq \o(MP,\s\up16(→))，eq \o(OM,\s\up16(→))，eq \o(AT,\s\up16(→))表示sin α，cos α，tan α. 　三角函数线的方向是如何规定的？ [提示]　方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 　三角函数线的长度和方向各表示什么？ [提示]　长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． ◎结论形成 1．单位圆 在平面直角坐标系中，坐标满足____________的点的集合称为单位圆． 2．三角函数线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 图示 正弦线 角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，_______称为角α的正弦线 余弦线 _______称为角α的余弦线 正切线 设α的终边或其反向延长线与直线x＝1相交于点T，则eq \o(AT,\s\up16(→))称为角α的正切线 eq \o(MP,\s\up16(→)) eq \o(OM,\s\up16(→)) [点拨]　 (1)三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由点(1,0)指向角α的终边或其反向延长线与直线x＝1的交点． (2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦线eq \o(MP,\s\up16(→))也可写成eq \o(PM,\s\up16(→)).(　　) (2)三角函数线都只能取非负值．(　　) (3)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(　　) (4)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列角的正切线不存在的是(　　) A．－eq \f(11π,10)　 B．eq \f(9π,2)　 C．eq \f(3π,4)　 D．eq \f(8π,7) 解析　因为eq \f(9π,2)的终边落在y轴正半轴上，所以该角的正切线不存在，故选B． 答案　B 3．如图所示，210°角的正弦线为________，余弦线为________，正切线为________． 答案　eq \o(MB,\s\up16(→))　eq \o(OM,\s\up16(→))　eq \o(AT,\s\up16(→)) 4．比较大小：sin 1________sin eq \f(π,3)(填“＞”或“＜”)． 解析　作出角1弧度、eq \f(π,3)弧度的正弦线，比较可得． 答案　＜ 题型一　作出三角函数线 　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)－eq \f(π,4)；(2)eq \f(17π,6)；(3)eq \f(10π,3). [解析]　如图所示． 其中，各角的正弦线都是eq \o(MP,\s\up16(→))，余弦线都是eq \o(OM,\s\up16(→))，正切线都是eq \o(AT,\s\up16(→)). 三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT. [触类旁通] 1．画出eq \f(7π,6)的正弦线、余弦线和正切线，并求出相应的函数值． 解析　根据三角函数线的定义，可得eq \o(MP,\s\up16(→))，eq \o(OM,\s\up16(→))，eq \o(AT,\s\up16(→))分别为正弦线、余弦线和正切线，如图所示，其中sin eq \f(7π,6)＝－eq \f(1,2)，coseq \f(7π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，taneq \f(7π,6)＝eq \f(\r(3),3). 题型二　利用三角函数线比较三角函数的大小 　(2024·山西大同高一期中)设a＝sineq \f(5π,12)，b＝coseq \f(5π,12)，c＝taneq \f(5π,12)，则(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析　设eq \f(5π,12)的终边与单位圆相交于点P， 根据三角函数线的定义可知a＝MP＝sineq \f(5π,12)， b＝OM＝coseq \f(5π,12)，c＝AT＝taneq \f(5π,12)， 显然AT ＞MP＞OM，所以b＜a＜c. 答案　D [素养聚焦]　在利用三角函数线比较大小的过程中，体现了直观想象核心素养． 利用三角函数线比较大小的步骤 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定三角函数线的正负． [触类旁通] 2．若MP和OM分别是角eq \f(7π,6)的正弦线和余弦线，则(　　) A．MP＜OM＜0 B．OM ＞0＞MP C．MO＜MP＜0 D．MP＞0＞OM 解析　在单位圆中画出角eq \f(7π,6)的正弦线MP和余弦线OM， 如图所示，则OM＜MP＜0. 答案　C 题型三　利用三角函数线求角的范围 一题多变 　根据下列条件，求角α的取值集合： (1)sin α＝eq \f(1,2)；(2)sin α≥eq \f(\r(3),2)；(3)cos α≤－eq \f(1,2). [解析]　(1)已知角α的正弦值，可知MP＝eq \f(1,2)，则点P纵坐标为eq \f(1,2).所以在y轴上取点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，过这点作x轴的平行线y＝eq \f(1,2)，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因此角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)))或α＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))，如图1. (2)作直线y＝eq \f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图2中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))). (3)作直线x＝－eq \f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图3中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))). [母题变式] (变条件)本例变为：若已知tan α≥eq \f(\r(3),3)，如何求角α的范围？ 解析　如图所示，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝eq \f(\r(3),3)，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan α≥eq \f(\r(3),3). 由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥eq \f(\r(3),3)， 有30°≤α＜90°或210°≤α＜270°，故满足tan α≥eq \f(\r(3),3)， 有k·180°＋30°≤α＜k·180°＋90°，k∈Z. 利用三角函数线求角的取值集合的方法 利用三角函数线求角的取值集合，关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆的交点，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置，结合图象可得． [触类旁通] 3．已知－eq \f(1,2)≤sin θ＜eq \f(\r(3),2)，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围． 解析　由三角函数线，可知sin eq \f(π,3)＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)， sineq \f(7π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，且－eq \f(1,2)≤sin θ＜eq \f(\r(3),2)， 如图所示，画出单位圆，阴影部分即为所求． 故θ的取值集合是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)． [缜密思维提能区]　规范答题 三角函数线的应用 [典例]　(13分)利用三角函数线证明|sin α|＋|cos α|≥1. [规范解答]　证明　(1)当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点，而余弦线(或正弦线)的长度等于r(r＝1)，所以|sin α|＋|cos α|＝1.(6分) (2)当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|＋|cos α|＝|MP|＋|OM|＞1. 综上，有|sin α|＋|cos α|≥1.(13分) [纠错心得] 要证明一个问题是正确的，我们必须把它所包含的所有情况逐一说明．若漏掉一种情况，整个证明过程就是不严密的． 知识落实 技法强化 (1)单位圆． (2)三角函数线及应用． (1)用三角函数线研究三角函数实际上应用了数形结合的思想方法． (2)注意三角函数线是有方向的线段，方向决定正负. $$