7.2.1 三角函数的定义（课件PPT）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 §7.2　任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案·学业评价 03 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 01 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 唯一 唯一 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 第一、二 y轴正半轴 第三、四 y轴负半轴 第一、四 x轴正半轴 第二、三 x轴负半轴 第一、三 第二、四 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 02 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 栏目导航 第七章　三角函数 1 谢谢观看 栏目导航 第七章　三角函数 1 学业标准 学科素养 1．理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．(难点) 2．理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(重点) 1．通过三角函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过三角函数定义的应用，提升数学运算等核心素养. 导学1　任意角的正弦、余弦与正切的定义 　使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ [提示]　sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x). (2)对于确定的角α，sin α，cos α，tan α是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ [提示]　否． ◎结论形成 cosα＝ eq \f(x,r) eq \f(y,x) tanα＝ eq \f(y,x) 设α是一个任意大小的角，P(x，y)是α终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r＝eq \r(x2＋y2)＞0)，如图，那么 (1)称______为角α的正弦，记作sin α，即____________； (2)称______为角α的余弦，记作cos α，即____________； (3)称______为角α的正切，记作tan α，即____________. eq \f(y,r) sinα＝ eq \f(y,r) eq \f(x,r) 由上可知，对于每一个角α，都有________确定的正弦、余弦与之对应；当α≠____________. (k∈Z)时，有________的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数． kπ＋ eq \f(π,2) 导学2　三角函数在各象限的符号 　已知α≠eq \f(kπ,2)，k∈Z. (1)试分析sin α，cos α，tan α在各象限的符号． (2)试总结三角函数的符号规律． [提示]　 (1) (2)三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限正弦、余弦、正切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦为正． ◎结论形成 (1)当且仅当α的终边在____________象限，或______________上时，sin α＞0；当且仅当α的终边在____________象限，或______________上时，sin α＜0. (2)当且仅当α的终边在____________象限，或______________上时，cos α＞0；当且仅当α的终边在____________象限，或______________上时，cos α＜0. (3)当且仅当α的终边在____________象限时，tan α＞0；当且仅当α的终边在____________象限时，tan α＜0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．(　　) (2)若角 α 终边过点(1,3)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10).(　　) (3)终边在x轴上的角的正切值不存在．(　　) (4)若角x的终边在第三象限，则cos α<0，tan α>0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2) 答案　B 3．若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 4．角α＝eq \f(π,2)，则角α的余弦值为________． 解析　∵α＝eq \f(π,2)时，角α的终边上任取一点(0,1)，∴cos α＝0. 答案　0 题型一　三角函数定义及其应用 多维探究 角度1　已知角α终边上一点坐标求三角函数值 　已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝eq \f(\r(10),10)x，求sin θ，tan θ. [解析]　由题意知r＝|OP|＝eq \r(x2＋9)， 由三角函数定义得cos θ＝eq \f(x,r)＝eq \f(x,\r(x2＋9)). 又∵cos θ＝eq \f(\r(10),10)x，∴eq \f(x,\r(x2＋9))＝eq \f(\r(10),10)x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，点P为(1,3)， 此时sin θ＝eq \f(3,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)，tan θ＝eq \f(3,1)＝3. 当x＝－1时，点P为(－1,3)， 此时sin θ＝eq \f(3,\r(－12＋32))＝eq \f(3\r(10),10)， tan θ＝eq \f(3,－1)＝－3. (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值 在α的终边上任选一点P(x，y)，设点P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r).当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋eq \f(3,cos α)的值． [解析]　设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则x＝k，y＝－3k，r＝eq \r(k2＋－3k2)＝eq \r(10)|k|. (1)当k＞0时，r＝eq \r(10)k，α是第四象限角， sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3\r(10),10)， eq \f(1,cos α)＝eq \f(r,x)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)， 所以10sin α＋eq \f(3,cos α)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq \r(10) ＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0. (2)当k＜0时，r＝－eq \r(10)k，α是第二象限角， sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3\r(10),10)，eq \f(1,cos α)＝eq \f(r,x)＝eq \f(－\r(10)k,k)＝－eq \r(10)， 所以10sin α＋eq \f(3,cos α)＝10×eq \f(3\r(10),10)＋3×(－eq \r(10)) ＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0. 综上所述，10sin α＋eq \f(3,cos α)＝0. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos α＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，tan α＝eq \f(b,a). [触类旁通] 1．(2024·辽宁沈阳高一月考)已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P(－2,1)，则eq \f(sin α＋2cos α,3sin α＋cos α)＝(　　) A．－eq \f(1,3)　　 B．－3　　 C．0　　 D．1 解析　由终边经过点P(－2,1)，根据三角函数的定义， 可得r＝|OP|＝eq \r(5)， 所以sin α＝eq \f(1,\r(5))，cos α＝eq \f(－2,\r(5))， 则eq \f(sin α＋2cos α,3sin α＋cos α)＝eq \f(\f(1,\r(5))＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(5)))),3×\f(1,\r(5))－\f(2,\r(5)))＝－3，故选B． 答案　B 题型二　三角函数值符号的应用 　(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号： ①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. [解析]　(1)∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D． (2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵eq \f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq \f(3,2)π，eq \f(3π,2)＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. [答案]　(2)D　(1)略 [素养聚焦]　利用三角函数的定义判断三角函数值的符号，关键是判断角所在的象限，体现了逻辑推理核心素养． 三角函数值符号的判断问题 由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求． [触类旁通] 2．(1)(2024·北京海淀高一期中)若sin α＜0且cos α＞0，则α的终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　α的终边过点(cos α，sin α)，又sin α＜0且cos α＞0， 则α的终边所在象限为第四象限． 答案　D (2)(多选题)若α是第三象限角，则下列各式成立的是(　　) A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 解析　因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，所以sin α＋cos α<0，A正确； 所以tan α－sin α>0，B错误；所以cos α－tan α<0，C正确；所以tan αsin α<0，D正确． 答案　ACD [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视对参数的分类讨论致误 [典例]　角α的终边过点P(－3a,4a)，a≠0，则cos α＝________. [错解]　因为x＝－3a，y＝4a， 所以r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5a， 于是cos α＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5). [错因分析]　错解中，误以为a＞0，没有对a的正负进行分类讨论，导致r求错，从而结果错误． [正解]　由题意，可得|OP|＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，且a≠0. 当a＞0时，|OP|＝5a，则cos α＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5). 当a＜0时，|OP|＝－5a，则cos α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5). [答案]　－eq \f(3,5)或eq \f(3,5) [纠错心得] 在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分类讨论，以免丢解． 知识落实 技法强化 (1)三角函数的定义及求法． (2)三角函数值在各象限内的符号. (1)本节课应用了由特殊到一般、转化与化归、分类讨论的思想方法． (2)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))). $$