空间向量的数量积运算夯实基础讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 ---02空间向量的数量积运算 1、 问题导学： 1.类比平面向量数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？ 2.空间向量数量积有哪些注意点？向量夹角的取值范围有要求吗？ 3.怎样定义向量垂直？ 4.类似的，在空间，向量a在向量b的投影有什么意义？向量a在直线的投影呢？向量a在平面的投影呢？ 2、 知识构建 知识点一 空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围： ，特别地，当 时，a⊥b. 知识点二 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即 。 规定：零向量与任何向量的数量积都为。 性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤。 运算律 ①，； ②（交换律）； ③（分配律）。 求空间向量数量积的步骤 ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入求解。 知识点三 空间向量的投影 （1）向量向向量投影 （2）向量向直线投影 （3）向量在直线上投影 3、 类型剖析 类型一、空间向量数量积的计算 类型二、利用空间向量数量积求模长 类型三：利用空间向量数量积求夹角 类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题 四、类型应用 题型一 空间向量数量积的计算 【例1】如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1-1】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______． 【跟踪训练1-2】如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 【跟踪训练1-3】（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 类型二、利用空间向量数量积求模长 【例2】如图，在平行六面体中，，． 求： (1)； (2)的长． 【跟踪训练2-1】如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 类型三 利用空间向量数量积求夹角 【例3】如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【跟踪训练3-1】（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题 【例4】（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【跟踪训练4】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 五、素养提升 【例5】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，． (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若为的中点，证明：． 六、随堂检测： 1．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 2．已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 3.（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° 4.（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 6.如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 7.（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 8.如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 ---02空间向量的数量积运算 1、 问题导学： 1.类比平面向量数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？ 2.空间向量数量积有哪些注意点？向量夹角的取值范围有要求吗？ 3.怎样定义向量垂直？ 4.类似的，在空间，向量a在向量b的投影有什么意义？向量a在直线的投影呢？向量a在平面的投影呢？ 2、 知识构建 知识点一 空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二 空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即。 规定：零向量与任何向量的数量积都为。 性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤。 运算律 ①，； ②（交换律）； ③（分配律）。 求空间向量数量积的步骤 ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入求解。 知识点三 空间向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))。 ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 3、 类型剖析 类型一、空间向量数量积的计算 类型二、利用空间向量数量积求模长 类型三：利用空间向量数量积求夹角 类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题 四、类型应用 题型一 空间向量数量积的计算 【例1】如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）根据数量积的定义可得； （3）（4）根据三角形的中位线定理先得，再利用数量积定义可得. 【详解】（1） （2） （3）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 （4）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 【跟踪训练1-1】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______． 【答案】/-0.25 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 【跟踪训练1-2】如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】根据向量的加法法则得， 因为正方体的边长为1，为体对角线，所以， 所以在直角三角形中， 所以，故选：A 【跟踪训练1-3】（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 【答案】1 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故答案为：1. 类型二、利用空间向量数量积求模长 【例2】如图，在平行六面体中，，． 求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量数量积的定义，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由结合空间向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为 则 ， 所以. 【跟踪训练2-1】如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求解； （2）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）． （2）因为， 所以 类型三 利用空间向量数量积求夹角 【例3】如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案； （2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 则. 【跟踪训练3-1】（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 【答案】 【分析】以为基底，，即可求解. 【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则 , 所以 ， 所以, 故答案为： 【跟踪训练3-2】（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题 【例4】（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 【跟踪训练4】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 五、素养提升 【例5】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，． (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若为的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示再进行模长计算即可； （2）由基底表示、，再代入向量夹角公式计算即可； （3）由计算即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， ∴， 所以线段的长度为． （2）∵，， ∴， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）因为为的中点，所以， 又∵， ∴，即． 六、随堂检测： 1．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 2．已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 3..（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 4.（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解. 【详解】设，，， 因为向量不共面，故可构成空间的一组基底， 结合，，，，， 所以=0，，， 则，， 可得 ， ， ， 所以， 又因为异面直线所成角的范围是， 所以与所成角的余弦值为. 故选：B. 5（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 6.如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 7.（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 8.如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，，，将用表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果. （2）将，分别用表示出来，根据，即可证明. 【详解】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$