第8 单元：数学广角-数与形（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册人教版

数学广角-数与形 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 【算数中的规律】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1=1； 11×11=121； 111×111=12321； 1111×1111=1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11=1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101=5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5=28×10÷2=280÷2=140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 【数与形结合的规律】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【“式”的规律】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数列中的规律】 1、 定义：按一定的次序排列的一列数，叫做数列． 2、 数列中的规律： （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 【典例1】有一列数1，3，4，7，11，18，29…（从第三个数开始，每个数恰好是它前后相邻两个数之和），这列数的第2004个数被7除的余数是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于这些数之间有着和的规律，所以我们也可以观察到它们除以7的余数也有着和的规律，它们的余数规律也是前面两个数的和为下一个数，如果这个数超过7则减去7，有了这些规律我们就可以观察这列数的周期性，通过列出余数，我们可以很容易的得到：这些余数是有一个为16的周期，由于2004除以16余数是4，那么第2004个余数和第16个余数是一样的，而第16个余数为4，所以2004个数被7除余0． 【解答】解：1，3，4，7，11，18，29…除以7的余数分别为： 1、3、4、0、4、4、1、5、6、4、3、0、3、3、6、2，1、3、4、0、4、4、1、5、6、4、3、0、3、3、6、2… 由此可见：16个为一周期 2004÷16＝125…4 所以第2004是第125组第4个，个余数为0 答：这列数的第2004个数被7除的余数是0． 【点评】这个周期是找出来的，是从题目中的那些数除以7的余数中找出来的，它们的余数也是成相同规律的，而且这些余数在0到6之间，那么它们之间就可能会存在一定的周期规律，通过查找可以得到余数的周期为16，每一个周期的余数情况如上面回答所述，当然也有可能找不到周期，如果找不到那么这种方法就不行了，但是这个题目里的规律是可以找出来的，一般情况下像这样的题目都能找到有限的周期的，但是周期可能很大，如果很大那就不适用这种方法，像本题中16的周期，在没有找到其他方法的情况下，这是可以接受的，而且计算没有涉及到很大的数． 【典例2】如图1，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律． （1）探索上述规律，用含有m，n的代数式表示P＝　 　； （2）如果在上述规律中，有一幅图如图2所示，请根据上述探索的规律求字母x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图形可得规律：右下角的数（p）÷上方的数（m）﹣1＝左下角的数（n），据此规律用含有m，n的代数式表示P即可． （2）把n＝x﹣2，p＝3x﹣1，m代入问题（1）的代数式解答即可． 【解答】解：（1）规律：右下角的数（p）÷上方的数（m）﹣1＝左下角的数（n）， 代数式是：p＝（n+1）×m； （2）把n＝x﹣2，p＝3x﹣1，m代入p＝（n+1）×m可得： 3x+1＝（x﹣2+1） 3x+1＝0.5x﹣0.5 2.5x＝﹣1.5 x＝﹣0.6 答：x的值是﹣0.6． 故答案为：p＝（n+1）×m， 【点评】在探索数与形结合的规律时，要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【典例3】一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，每多1张桌子就多2人．由此规律即可解决问题． 【解答】解：（1）n＝1时，可坐4人，可以写成2×1+2 n＝2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n＝3时，可坐8人，可以写成2×3＝2 … 所以当n＝10时，可坐2×10+2＝22（人）， 答：10张桌子并成一排可坐22人． （2）2n+2＝26 2n＝24 n＝12 答：如果有26人，需要并12张桌子． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【典例4】摆一摆，找规律 （1）照样子接着摆，摆10个正方形要多少根火柴棒？ （2）如果有301根火柴棒，能摆多少个正方形？ （3）摆45个正方形，135个火柴棒够吗？ （4）摆n个这样的正方形需要多少根火柴棒？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一个正方形需要4根火柴棒，第二个正方形再加上3根火柴棍4+3，第三个正方形再加上3根火柴棍4+3+3，第四个正方形再加上3根火柴棍，4+3+3+3，…由此可得第n个正方形需要再加上3（n﹣1）根火柴棍，需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒． （1）把n＝10代入3n+1计算即可； （2）让3n+1＝301计算即可； （3）把n＝45代入3n+1计算后与135比较即可； （4）摆n个这样的正方形需要3n+1根火柴棒． 【解答】解：第一个正方体需要4根火柴棒； 第二个正方体需要4+3×1＝7根火柴棒； 第三个正方体需要4+3×2＝10根火柴棒； … 摆n个正方形需4+3×（n﹣1）＝3n+1根火柴棒． （1）当n＝10时， 3×10+1 ＝30+1 ＝31（根）， 答：摆10个正方形要31根火柴棒； （2）3n+1＝301 3n＝300 n＝100， 答：如果有301根火柴棒，能摆100个正方形； （3）当n＝45时， 3×45+1 ＝135+1 ＝136（根）， 136＞135， 答：摆45个正方形，135个火柴棒不够； （4）摆n个这样的正方形需要3n+1根火柴棒． 【点评】此题考查了数与形结合的规律，认真分析，找到规律，是解决此题的关键． 【典例5】有一列小数2.41，41.3，3.51，51.4，4.61…，从第二个数开始，每个数都是它前一个数的小数部分和整数部分互换后加0.1所得，当某一个数的数字中首次出现0时，不再继续，求这个数列的和． 【答案】见试题解答内容 【分析】继续把数字写下去，当某一个数的数字中首次出现0时，不再继续，然后求和，在求和时，分类计算，即可得解． 【解答】解：这列数字有：2.41，41.3，3.51，51.4，4.61，61.5，5.71，71.6，6.81，81.7，7.91，91.8，8.01； 然后求和2.41+41.3+3.51+51.4+4.61+61.5+5.71+71.6+6.81+81.7+7.91+91.8+8.01 ＝（2+3+4+5+6+7+8）+（0.41+0.51+0.61+0.71+0.81+0.91）+（41+51+61+71+81+91）+（0.3+0.4+0.5+0.6+0.7+0.8）+0.01 ＝35+3.96+396+3.3+0.01 ＝438.27 答：这个数列的和是438.27． 【点评】根据题意，首先把数字一一列出，然后求和，在求和时，合理分类是解决此题的关键． 1．用小棒按照如下方式摆图形． （1）摆1个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要　 　根小棒，摆3个八边形需要　 　根小棒，摆30个八边形需要　 　根小棒． （2）如果想摆n个八边形，需要　 　根小棒． （3）有2010根小棒，可以摆　 　个这样的八边形． 2．先找规律再填空。（图中阴影表示每次截去后剩下的部分） 第四次截去后剩下，第　 　次截去后剩下。 3．经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画几条直线？经过5个、6个…点呢？ 画一画，数一数，你能找到其中的规律吗？ 点数/个 2 3 4 5 6 … 直线数/条 1 3 4．探索规律填空． 在如图中，长方形表示桌子，圆形表示座位，一张桌子可以坐8人，2张桌子拼起来可以坐10人．照这样，4张桌子拼起来可以坐　 　人，S张桌子拼起来可以坐　 　人． 5．数一数下面每个大三角形各是由多少个小三角形组成的． （1）图中各有多少▲个和△？ 序号 ① ② ③ ④ ▲ △ （2）照这样连续画下去．第8个图形中▲和△各有多少个？第10个图形呢？ 6．下面的三角形分别被分成高度相等的若干层，各图形下面的分数表示阴影部分的面积占整个三角形面积的几分之几，请在括号里填上相应的分数． 7．探索规律． 123456789×9×2＝2222222202 123456789×9×3＝3333333303 观察上面两个算式，写出下面两式的结果． 123456789×9×4＝　 　； 123456789×45＝　 　． 8．仔细的观察下边的算式： 22﹣12＝（2+1）×（2﹣1）＝2+1 42﹣32＝（4+3）×（4﹣3）＝4+3 122﹣112＝（12+11）×（12﹣11）＝12+11 （1）根据你发现的规律，在横线上再写一道这样的算式：　 　 （2）运用这个规律计算 102﹣92+82﹣72+…+22﹣12＝　 　． 9．下面是用棋子摆成的“T”字． （1）摆成第一个“T”字要用多少个棋子？第2个、第3个呢？ （2）照这样摆下去，第10个“T”字要用多少个棋子？第N个呢？ 10．如图，它是由火柴棒组成的三角形图案，如果在这个三角形图案中，用了2001根火柴，那么它共有三角形　 　个． 11．图中框起来的9个数的和是 　 　。 ：除了用“7+8+9+14+15+16+21+22+23”这种方法外，还有其他简便的计算方法吗？ 我的方法：　 　。 12．丽丽要用棱长为1厘米的正方体小木块搭建台阶，如图所示为她已搭建的台阶，高度分别为2厘米、3厘米和4厘米。 （1）如果丽丽一直这样搭下去，当她用了140个小木块时，她搭建的台阶有多高？ （2）如果她搭建的台阶有n厘米高，那么要用去多少个小木块？（用含n的式子表示） 13．摆1个正方形需要4根小棒，每增加1个正方形增加3根小棒。如图所示。 （1）摆n个正方形需要几根小棒？ （2）当n＝30时，需要多少根小棒？ 14．想一想，找规律。 有一个分数塔，按从上往下、从左往右的顺序，排列成如图所示。 那么，是第 　 　个分数，第4个分数是。 15．用一根长144厘米的绳子在地上摆正方形。 正方形的个数 1 2 3 4 正方形的边长/厘米 36 18 　 　 　 　 顶点数 4 7 　 　 　 　 （1）填写上表。 （2）像这样摆下去，当这根绳子摆出12个正方形时，正方形的边长是 　 　厘米；当这根绳子摆出n个正方形时，顶点数是 　 　。 16．我国宋朝数学家杨辉早在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”．你能发现“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？试试看． 17．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用黑瓷砖．（如图所示） 填写下面的表格，想一想，这些数量之间有什么关系？ 大正方形每边的块数 3 4 5 6 7 … 花瓷砖块数 8 … 如果所拼的图形中用了100块白瓷砖，那么花瓷砖用了　 　块． 18． 请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。 如果不画、这样排列下去，第10个数是多少？ 19．如图是用相同的正方体木块摆成的，按照这样的规律摆下去，第（14）幅图共需要多少个正方体木块？ 20．（1）观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。 2＝1×2 2+4＝2×3 2+4+6＝3×　 　 2+4+6+8＝4×　 　 （2）根据上面的规律用简便方法计算。 2+4+6+8+12+14+16+18+20 21．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌了并起来坐14人……照这样并下去，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？ 22．用4厘米长的绳子围正方形，围出的正方形的个数可以是1个、2个、3个…如图所示，所围图形依次编号为（1）、（2）、（3）… （1）编号为（4）的图形面积比编号为（3）的图形面积小多少平方厘米？ （2）已知编号为（42）的图形面积是两个编号相邻的图形面积之差，这两个图形的编号之和为　 　． 23．对一个三角形做如图的操作，操作5次后，空白部分的面积是原三角形面积的几分之几？如果空白部分总面积是0.243，求原三角形的面积． 24．把1块黑色的小正方形如图这样完全包围在中间，至少需要8块白色的小正方形；把4块黑色的小正方形完全包围在中间（如图），至少需要12块白色的小正方形． 像这样，把100块黑色的小正方形完全包围在中间，至少需要多少块白色小正方形？ 25．一根牙签6厘米，用牙签拼成三个同样大小的正方形，至少要用多少根牙签？所拼图形的周长是多少？（画一画，算一算） 26．有一列数，第一个数是15，第二个数是40，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和，15，40，55，95，150……这列数中，第100个数除以3的余数是几？ 27．每根管子的直径是10厘米，分别捆成如图的形状，如果接头处不计，每组至少需要多长的绳子？你发现了什么？ 28．等边三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使点A再次落在这条直线上． （1）那么点A在翻滚的过程中经过的路线总长度是多少厘米？ （2）如果三角形的面积约是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？ 29．在13世纪，欧洲人采用“双倍法”计算乘法，如计算52×15的过程是： 52×2＝104 52×4＝104×2＝208 52×8＝208×2＝416 416+208+104+52＝780 如果将这样的计算方法和今天的计算方法比一比，你觉得怎样？你能试着用运算律来解释这样计算的道理吗？ 30．用含有字母的式子填表． 小丁丁用若干个小正方形摆长方形，如图： 长方形编号 第1个 第2个 第3个 … 第n个 … 所需小正方形的个数 2 … … 1．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（2）由图可以看出： 摆一个八边形需要8根小棒，摆2个八边形需要8+7＝15根小棒以后每增加一个八边形，摆3个八边形需要8+2×7＝22根小棒，也就是每增加一个八边形就增加7根小棒，所以摆n个八边形需要8+（n﹣1）×7＝1+7n根小棒，据此即可解答． （3）由摆一个八边形需要8根小棒可得：1+7n＝2010，解得n即可． 【解答】解：（1）根据题干分析可得： 摆成n个八边形就需要1+7n根小棒， 当n＝2时，需要小棒1+2×7＝15（根）， 当n＝3时，需要小棒1+3×7＝22（根）， 当n＝30时，需要小棒1+30×7＝211（根）， 答：摆2个八边形需要15根小棒，摆3个八边形需要22根小棒，摆30个八边形需要211根小棒． （2）由（1）可知： 摆n个八边形，需要1+7n根小棒 答：摆n个八边形，需要1+7n根小棒． （3）1+7n＝2010 1+7n﹣1＝2010﹣1 7n＝2009 7n÷7＝2009÷7 n＝287 答：有2010根小棒，可以摆287个这样的八边形． 故答案为：15；22；211，1+7n；287． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 2．【答案】；7 【分析】首先观察规律：第n次截去后剩下据此解答即可。 【解答】解： 所以第四次截去后剩下，第7次截去后剩下。 故答案为：；7 【点评】先找出规律，然后根据要求写出答案即可。 3．【答案】见试题解答内容 【分析】要想画出的直线条数最多，每个图形的所有点数，只能两两在一直线上，不能三个或三个以上的点在一条直线上．2个点画1条、三个点画3条、4个点画6条、5个点画10条……1＝0+1、3＝1+2、6＝1+2+3＝4、10＝1+2+3+4经过n个点可以画[1+2+3+……+（n﹣1）]条． 【解答】解：经过4个点可以画：6（条） 经过5个点可以画：10（条） 经过6个点可以画：15（条） …… 根据计算结果填表如下： 点数/个 2 3 4 5 6 … 直线数/条 1 3 6 10 15 …… 【点评】解答此题的关键是根据点的个数与所画直线的条数找出规律，根据这一规律即可计算出经过n个点最多可以画直线的条数． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】分析题干，第一个桌坐8个人，第二桌坐了10个人，可以看为8+2×1，第三桌坐了12个人，可以看做8+2×2，依此类推得第S桌应坐8+2（S﹣1）人． 【解答】解：根据分析得：当有S张桌子时可以坐的人数为：8+2（S﹣1）＝2S+6（人）， 当S＝4时，可以坐：8+2×（4﹣1）＝8+6＝14（人） 答：4张这样的桌子拼起来可以坐14人，S张桌子拼起来可以坐（2s+6）人． 故答案为：14，（2s+6）． 【点评】此题主要考查了图形的变化，解题关键是分析题干得出规律，有一个桌时可坐8个人，以后每增加一个桌可增加两个人，根据此规律进行解答． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图形可知，第一个图形中▲有1个，△有1+2个；第二幅图中▲有1+2个，△有1+2+3个；第三幅图形中▲有1+2+3个，△有1+2+3+4个；第四幅图形中▲有1+2+3+4个，△有1+2+3+4+5个； （2）照这样连续画下去，第n个图形中▲有1+2+3+…+n个，△有1+2+3+…+n+（n+1）个；据此求出当n＝8和10时▲和△各有多少个即可解答问题． 【解答】解：（1）根据题干分析可得，第一个图形中▲有1个，△有1+2＝3个； 第二幅图中▲有1+2＝3个，△有1+2+3＝6个； 第三幅图形中▲有1+2+3＝6个，△有1+2+3+4＝10个； 第四幅图形中▲有1+2+3+4＝10个，△有1+2+3+4+5＝15个； 故完成表格如下： 序号 ① ② ③ ④ ▲ 1 3 6 10 △ 3 6 10 15 （2）照这样连续画下去．第8个图形中▲有1+2+3+4+…+8＝36个，△有1+2+3+4+…+9＝45个 第10个图形▲有1+2+3+4+…+9＝45个，△有1+2+3+4+…+10＝55个 答：第8个图形中▲有36个和△有45个，第10个图形中▲有45个和△有55个． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图形可知，图形有2层时，整个三角形中小三角形的个数是：4＝22；图形有3层时，整个三角形中小三角形的个数是：9＝32；图形有4层时，整个三角形中小三角形的个数是：16＝42…；据此可得：图形有n层时，整个三角形中小三角形的个数是：n2； （2）观察图形，结合上题中求出的每个大三角形中的个数可得： 图形有2层时，阴影部分有2+1个小三角形，则阴影部分的面积占整个三角形面积的； 图形有3层时，阴影部分有3+2个小三角形，阴影部分的面积占整个三角形面积的； 图形有4层时，阴影部分有4+3＝7个小三角形，阴影部分的面积占整个三角形面积的；… 图形有n层时，阴影部分有n+n﹣1＝2n﹣1个小三角形；阴影部分的面积占整个三角形面积的；据此即可解答． 【解答】解：（1）根据题干分析可得，图形有n层时，整个三角形中小三角形的个数是：n2； 当n＝10时，整个三角形中小三角形的个数是：102＝100（个）； （2）图形有n层时，阴影部分有n+n﹣1＝2n﹣1个小三角形；阴影部分的面积占整个三角形面积的； 当n＝10时，阴影部分的面积占整个三角形面积的； 故答案为：；． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】由123456789×9×2＝2222222202，123456789×9×3＝3333333303，可以看出第一个因数都是123456789，第二个因数（两个因数积可以看做一个）是9的倍数，当是9的1倍时，123456789×9＝1111111101，…是9的几倍，都是由9个几和一个0组成的十位数，且0在十位上，由此规律得出答案即可． 【解答】解：123456789×9×4＝4444444404； 123456789×45＝123456789×9×5＝5555555505． 故答案为：4444444404；5555555505． 【点评】此题考查乘法中的计算规律，利用数字特点，发现计算的规律，利用规律解决问题． 8．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意得：相邻的两个自然数的平方的差等于两个数的和与两个数的差的乘积；据此写出类似算式即可； （2）利用规律计算算式即可． 【解答】解：由题意得：相邻的两个自然数的平方的差等于两个数的和与两个数的差的乘积，所以： （1）102﹣92＝（10+9）×（10﹣9）； （2）102﹣92+82﹣72+…+22﹣12， ＝（102﹣92）+（82﹣72）+…+（22﹣12） ＝（10+9）×（10﹣9）+（8+7）×（8﹣7）+…+（2+1）×（2﹣1）， ＝19+15+11+7+3， ＝55． 故答案为：（1）102﹣92＝（10+9）×（10﹣9）；（2）55． 【点评】解决本题的关键是找出运算规律，再灵活利用规律计算． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形可知：“T”字，随着图形变化，横每次增加2个棋子，竖每次增加1个棋子． 【解答】解：根据图形得出： 随着图形变化，横每次增加2个棋子，竖每次增加1个棋子．即每次共增加3个棋子． 第1个写“T”字需要5； 第2个写“T”字需要5+3＝8； 第3个写“T”字需要5+3×2＝11； … 第n个写“T”字需要5+3（n﹣1）＝3n+2． 故得： （1）第2个写“T”字需要8个棋子，第3个写“T”字需要11个棋子； （2）按这样的规律摆下去，摆成第10个写“T”字需要3×10+2＝32个棋子；第n个需要3n+2个棋子． 【点评】观察、归纳、总结，得出规律．主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】第一个三角形有1+2＝3根火柴棒组成，以后每多一个三角形就多用2根火柴棒，由此可以推理出一般规律． 【解答】解：第一个三角形有1+2＝3根火柴棒组成，以后每多一个三角形就多用2根火柴棒，所以组成n个三角形就需要1+2n根火柴棒； 当1+2n＝2001时， 2n＝2000， n＝1000， 答：共有1000个三角形． 故答案为：1000． 【点评】根据题干，从图中特殊的例子推理得出一般的规律是解决此类问题的关键． 11．【答案】135；（8+15+22）×3＝135。 【分析】框起来的9个数分三行，每行三个数是相邻自然数，三个相邻自然数的和等于中间数的3倍，据此解答。 【解答】解：7+8+9+14+15+16+21+22+23 ＝8×3+15×3+22×3 ＝（8+15+22）×3 ＝45×3 ＝135 答：图中框起来的9个数的和是135，除了用“7+8+9+14+15+16+21+22+23”这种方法外，我的方法是：（8+15+22）×3＝135。 故答案为：135；（8+15+22）×3＝135。 【点评】本题考查了学生的总结能力和计算能力。 12．【答案】（1）7厘米；（2）个。 【分析】观察图形可知，先观察台阶的一侧面： 搭成2厘米，需要1+2＝3（个）小方块； 搭成3厘米，需要1+2+3＝6（个）小方块； 搭成4厘米，需要1+2+3+4＝10（个）小方块； …… 据此可得，搭成n厘米，需要1+2+3+4+……+n（个）小方块； 由此用每次搭成的侧面需要的小方块个数，再乘5就是小方块的总个数，据此即可解答问题。 【解答】解：（1）观察图形可知，先观察台阶的一侧面： 搭成2厘米，需要1+2＝3（个）小方块； 搭成3厘米，需要1+2+3＝6（个）小方块； 搭成4厘米，需要1+2+3+4＝10（个）小方块； …… 据此可得，搭成n厘米，需要1+2+3+4+……+n（个）小方块； 当丽丽用了140个小木块时，一侧所用木块为：140÷5＝28（个） 即28 所以n（n+1）＝56 根据7×8＝56 可得n＝7 答：当丽丽用了140个小木块时，她搭建的台阶有7厘米高。 （2）搭成n厘米，一侧需要1+2+3+4+……+n（个）小方块； 所以搭成n厘米，一共需要5（个）小方块。 答：如果她搭建的台阶有n厘米高，那么要用去个小方块。 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 13．【答案】（1）（3n+1）； （2）91根。 【分析】（1）摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，每增加1个正方形增加3根小棒，由此根据规律写出摆n个正方形需要几根小棒； （2）将n＝30代入（1）中的规律计算即可。 【解答】解：（1）摆1个正方形需要4根小棒， 摆2个正方形需要7根小棒，可以写成：4+3＝4+3×1； 摆3个正方形需要10根小棒，可以写成：4+3+3＝4+3×2； ...... 摆n个正方形需要小棒，可以写成：4+3+3+......+3+3＝4+3×（n﹣1）； 4+3×（n﹣1） ＝4+3n﹣3 ＝3n+1 答：摆n个正方形需要（3n+1）根小棒。 （2）当n＝30时，代入得： 3×30+1 ＝90+1 ＝91（根） 答：需要91根小棒。 【点评】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 14．【答案】34，。 【分析】从上往下第n行分数的分母是n，每行从左往右第h个分数的分子是h。据此解答。 【解答】解：的分母是8，从上往下是第8行；分子是6，从左往右的第6个。 1+2+3+4+5+6+7+6＝34（个） 4＝1+2+1 答：是第34个分数，第4个分数是。 故答案为：34，。 【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 15．【答案】（1）12，9，10，13，（2）3，3n+1。 【分析】观察可得规律，边长＝144÷正方形的个数÷4；顶点数＝正方形的个数×3+1。据此解答。 【解答】解：（1）填表如下： 正方形的个数 1 2 3 4 正方形的边长/厘米 36 18 12 9 顶点数 4 7 10 13 （2）边长＝144÷正方形的个数÷4可得， 144÷12÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 顶点数＝正方形的个数×3+1 n×3+1 ＝3n+1（个） 答：正方形的边长是3厘米；当这根绳子摆出n个正方形时，顶点数是3n+1。 故答案为：12，9，10，13，3，3n+1。 【点评】仔细观察比较总结出规律是解决本题的关键。 16．【答案】见试题解答内容 【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，据此解答即可． 【解答】解：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）大正方形每边的块数每增加1块，所用的花瓷砖块数就增加4块； （2）白瓷砖的总块数是每个边上的块数的平方，而花瓷砖的总数量是白瓷砖一边的数量加1的四倍，由此求解． 【解答】解：（1）填表如下： 大正方形每边的块数每增加1块，所用的花瓷砖块数就增加4块； （2）100＝10×10， （10+1）×4＝44（块）， 答：花瓷砖用了44块． 故答案为：44． 【点评】先找到规律，再根据规律求解． 18．【答案】，55。 【分析】根据图形，第一个图：1 第二个图：1+2 第三个图：1+2+3…… 【解答】解：答案如图： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55 答：第10个数是55。 【点评】此题重点考查根据图形排列找出规律，进而根据规律解决问题。 19．【答案】见试题解答内容 【分析】图（1）中只有一层，有（4×0+1）一个正方体， 图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1+1）个． 图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2+1）， 依此类推总结规律当有n层时总的正方体个数． 【解答】解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，… 归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列 所以Sn＝n2n2﹣n 当n＝14时，2×142﹣14＝378（个）， 答：第（14）幅图共需要378个正方体木块． 【点评】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题． 20．【答案】（1）4，5；（2）110。 【分析】观察算式，都是连续偶数的和，和＝加数的个数×（加数的个数+1）；据此解答即可。 【解答】解：（1）根据图示观察算式，发现求连续偶数的和，和＝加数的个数×（加数的个数+1），解答如下： 2＝1×2 2+4＝2×3 2+4+6＝3×4 2+4+6+8＝4×5 （2）根据上面的规律填空。 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 ＝10×11 ＝110 故答案为：4，5；110。 【点评】本题考查了“式”的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 21．【答案】42人，9张。 【分析】1张桌子坐6人，6＝2+4；2张桌子坐10人，10＝2+4+4；3张桌子坐14人，14＝2+4+4+4，……所以n张桌子并起来坐（2+4n）人；据此解答即可。 【解答】解：根据题意得：n张桌子并起来坐（2+4n）人， 10张桌子并成一排可以坐的人数： 2+4×10 ＝2+40 ＝42（人） 要坐38人，要求需要并多少张桌子，运用关系式：2+4n＝38， 可得桌子数： （38﹣2）÷4 ＝36÷4 ＝9（张） 答：10张桌子并成一排可以坐42人，如果一共有38人，需要9张桌子才能坐下。 【点评】通过给出的例子，寻找并总结规律，据规律解答。 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为是用一根长4厘米的绳子在地上摆正方形，那么在每个图形中，所有正方形的周长之和就是4厘米；正方形的边长等于周长÷4，正方形的面积等于边长×边长，求出编号为（4）的图形面积减编号为（3）的图形面积即可； （2）求出编号为（42）的图形面积，再根据是两个编号相邻的图形面积之差，得出这两个图形的编号，再求和即可． 【解答】解：（1）编号为（3）的图形中的小正方形的边长： 4÷（4×3） ＝4÷12 （厘米）， 编号为（3）的图形面积： （平方厘米）； 编号为（4）的图形中的小正方形的边长： 4÷（4×4） ＝4÷16 （厘米）， 编号为（4）的图形面积： （平方厘米）， （平方厘米） 答：编号为（4）的图形面积比编号为（3）的图形面积小平方厘米； （2）编号为（42）的图形中的小正方形的边长： 4÷（4×42） ＝4÷168 （厘米）， 编号为（42）的图形面积： （平方厘米）， 因为，所以这两个相邻图形的编号是（6）（7）， 6+7＝13． 答：这两个图形的编号之和为13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了图形的变化规律，通过观察图形，得出图形的变化与边长及其面积的规律，并能应用规律解决问题． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次分割，空白比阴影的比是3：1，再次分割假设四个三角形都被分割，那么比为12：4，而三个较大白三角形每个都有一个小三角形变为黑的，所以第二次空白比阴影的比是9：7，依次推断，第三次分割后空白比阴影的比是27：37，第四次空白比阴影的比是81：175，第五次为243：781．所以操作五次后，阴影的面积为0.781．原三角型面积为0.243+0.781＝1.024 【解答】解：第一次分割，空白比阴影的比是3：1 第二次分割，空白比阴影的比是9：7 第三次分割后空白比阴影的比是27：37 第四次空白比阴影的比是81：175 第五次为243：781，其中阴影的面积为0.781 三角型面积为0.243+0.781＝1.024 答：原三角型面积为1.024． 【点评】解答此题的关键是弄清每次分割后，阴影部分与空白部分面积的比． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】对于N×N的黑色正方形，需要的总个数，除了4个角上的4个白色小正方形，其余四个边上个都需要N个白色小正方形，所以对于N×N的黑色正方形，需要的个数为4N+4，据此解答即可． 【解答】解： 1（1×1）黑要：8＝4×1+4（白） 4（2×2）黑要：12＝4×2+4（白） 所以100黑是10×10， 要：4×10+4 ＝40+4 ＝44（白） 答：至少需要44块白色小正方形． 【点评】本题考查了规律型图形的变化规律的运用，解答时由图形变化求出黑色小正方形和白色小正方形的个数是关键． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】一根牙签6厘米，用牙签拼成一个正方形需要4根牙签，如果拼成三个同样大小的正方形应该在原来的基础上再加上2个3根牙签，（如下图所示），因此至少用4+2×3＝10根牙签；所围成长方形的周长的长是6×3＝18厘米，宽是6厘米，据此利用长方形的周长＝（长+宽）×2计算解答即可． 【解答】解：根据题干分析可得，用牙签拼成三个同样大小的正方形，至少要用4+2×3＝10（根） （6×3+6）×2 ＝24×2 ＝48（厘米） 答：至少要用10根牙签，所拼图形的周长是48厘米． 【点评】本题主要考查了学生对正方形及长方形周长公式的掌握情况．解答此题的关键是根据题意画出图形，这样比较直观易懂． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知：这串数的规律是15，40，55，95，150……，从第三个数是前面两个数的和，分别计算这些数除以3的余数，找出规律：每8个为一循环，用100除以8，看看有多少个循环，余数是几则看循环数里第几个数，是几就余几． 【解答】解：一串数是：15，40，55，95，150，245，395，640，1035，1675，2710，4385，7095，11480，18575，30055，48630……， 这此数除以3的余数是：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0… 余数中每8个数为一循环，循环0、1、1、2、0、2、2、1， 100÷8＝12…4， 所以第100个数除以3余数为2． 【点评】解答此题要先找到这组数余数规律，再看第100个数里有几个8即看循环了几次，这里余的4是指循环余数里第4个数是2． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】如图1绳子的长度等于1个圆的周长加3条直径的长度；图2绳子的长度等于1个圆的周长再加6条直径的长度；图3绳子的长度等于1个圆的周长再加9条直径的长度，由此分别求出绳子的长度． 【解答】解：图1：10×3.14+10×3 ＝31.4+30 ＝61.4（厘米） 图2：10×3.14+10×6 ＝31.4+60 ＝91.4（厘米） 图3：10×3.14+10×9 ＝31.4+90 ＝121.4（厘米） 发现：将3个圆捆扎在一起绳子长＝1个圆的周长+3条直径， 将6个圆捆扎在一起绳子长＝1个圆的周长+6条直径， 将10个圆捆扎在一起绳子长＝1个圆的周长+9条直径， 发现：需要的绳子的长度就等于圆的周长，加上和绳子直接接触的圆的个数乘上直径． 答：图1需要61.4厘米长的绳子，图2需要91.4厘米长的绳子，图3需要121.4厘米长的绳子，发现：需要的绳子的长度就等于圆的周长，加上和绳子直接接触的圆的个数乘上直径． 【点评】解答此题的关键是：弄清绳子的长度由哪几部分组成，即可求解． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图所示：点A在翻滚过程中经过的路线总长度就是半径为6厘米、圆心角为120°的弧AA′和弧A′A″的和，也就是求出一段弧的长度，再乘以2，利用弧长公式l，代入数据计算即可； （2）三角形在滚动过程中扫过的面积就是半径为6厘米、圆心角为120°的两个扇形的面积与三角形ABC面积的和，利用扇形的面积公式s，代入数据计算即可． 【解答】解：（1）2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米）； 答：点A在翻滚的过程中经过的路线总长度是25.12厘米． （2）2+15 ＝37.68×2+15 ＝75.36+15 ＝90.36（平方厘米）； 答：三角形在滚动过程中扫过的面积是90.36平方厘米． 【点评】本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的应用．解决的关键是理解题意，明确点A在翻滚的过程中经过的路线以及三角形在滚动过程中扫过的区域． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】52×15，把15看作（1+2+4+8），原式就变为52×（1+2+4+8），根据今天的乘法分配律就是52×1（即52）+52×2+52×4+52×8，52×2＝108，52×4＝208，52×8＝416，因此，52×15看作25+104+208+416． 【解答】解：如计算52×15的过程是： 52×2＝104 52×4＝104×2＝208 52×8＝208×2＝416 416+208+104+52＝780 这样的计算方法和今天的计算方法比较，此方法较复杂． 用今天的乘法分配律解释如下： 52×15，把15看作1+2+4+8 52×15 ＝52×（1+2+4+8） ＝52+52×2+52×4+52×8 ＝52+104+208+416 ＝780． 【点评】解答此题的难点是解释这样计算的过程与今天乘法分配律的联系．关键是熟练、灵活地掌握乘法分配律． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形得到：第1个图案中有2×1＝2个小正方形；第2个图案中有2×2＝4个小正方形；第3个图案中有2×3＝6个小正方形；…则第n个图案中有2×n个小正方形，解答即可． 【解答】解：观图可知：第1个图案中有2×1＝2个小正方形 第2个图案中有2×2＝4个小正方形； 第3个图案中有2×3＝6个小正方形； … 所以第n个图案中有2×n个小正方形， 故答案为： 长方形编号 第1个 第2个 第3个 … 第n个 … 所需小正方形的个数 2 4 6 … 2n … 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$