精品解析：2019年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业 单独统一招生考试数学试卷

2019年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业 单独统一招生考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，利用交集的概念求出答案. 【详解】∵，或， ∴. 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算及模的坐标表示求解. 【详解】∵向量，，∴， ∴. 故选：A. 3. 点到直线的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即可． 【详解】点到直线的距离是． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的周期及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】∵正切函数的周期是，， ∴， 故选：D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】若，则，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 6. 已知圆锥的母线长为4，底面周长为，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积公式求解即可． 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，其中， ∵底面周长为，∴，得， ∴该圆锥的表面积是． 故选：B． 7. 从1，2，3，4，5这5个数中，任取2个不同的数，其和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数公式计数，由古典概型的概率公式求出结果． 【详解】从1，2，3，4，5这5个数中，任取2个不同的数有种方法， 其和为偶数的情形有种， 则所求概率是． 故选：D． 8. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 80 C. 55 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】若，则，即， 则. 故选：C. 9. 若方程表示的曲线是圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知圆的方程化为标准方程列出不等式即可解得. 【详解】由题，， 方程可化为， 当， 即或时， 方程表示为圆， 故选：C 10. 函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得最大值. 【详解】∵ ， ∴当时，函数取最大值. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分． 11. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据二项式的通项，令即可求解. 【详解】的展开式中的系数， ， 令，则. 故答案为：84. 12. 双曲线的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出，由离心率公式求出结果. 【详解】双曲线中，， 则， 所以离心率为. 故答案为：. 13. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的公比为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差中项的应用及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，，， ∵，，成等差数列，∴， ∴，即， ∴，解得，或（舍）， 则的公比为2． 故答案为：2． 14. 在中，，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 15. 已知二次函数，若在单调递增，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性和对称轴列出不等式即可解得. 【详解】由题，二次函数满足， 又知对称轴为， 当时，函数开口向上， 在上单调递增， 则，解得， 当时，函数开口向下， 在上单调递增， 又知在上单调递增，则不成立， 故 故答案为： 16. 已知正四棱柱的底面边长为2，点是底面的中心，且点到直线的距离是3，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】取的中点，取的中点，可证得，又为的中点，从而，则为点到直线的距离．由平面，可得．在直角中求出，进而可求的面积． 【详解】连接，，，，，设， 取的中点，连接；取的中点，连接，， ∵点是底面的中心，则点是与的交点． ∵平面，平面， ∴，即 ∵在直角中，，， ∴． ∵平面，平面， ∴，即， ∴在直角中，，， 则． ∴，又为的中点， ∴，则为点到直线的距离，∴， ∵平面，平面，∴， ∴在直角中，，， ∴． 又∵，， ∴的面积为． 故答案为：4． 三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知的内角，，成等差数列． （1）求； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用等差中项的应用及三角形内角和定理求解； （2）利用辅助角公式化简，根据正弦函数的性质求最大值． 【小问1详解】 ∵的内角，，成等差数列，∴， 又，∴，即. 【小问2详解】 ， 由（1）知，则，从而， ∴当，即时，取最大值2． 18. 已知椭圆：的离心率为，焦距为4． （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，当时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距与离心率，结合a，b，c之间的关系，列出方程求解即可； （2）由点斜式得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的运算，列出等式再进行求解即可． 【小问1详解】 ∵椭圆是中心在原点，焦点在x轴，焦距为4，∴，即 ∵离心率，即，∴， ∴， ∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由题意，直线的斜率存在且不为零，且过点， ∴可设直线的方程为， 将直线的方程与椭圆方程联立得， 整理得， ∴，即，解得， 设， 利用韦达定理可得， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴，化简得， ∴，解得，均符合题意， 所以． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为，的中点． （1）证明：∥平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行即可解得. （2）根据面面垂直证明线面垂直，找出二面角的平面角即可解得. 【小问1详解】 证明：连接，则交于，分别为中点， 故为三角形的中位线，即， 又平面，不在平面内， 则平面. 【小问2详解】 由题，已知，， 则为等腰直角三角形， 取的中点，的中点，连接， 则且， 又侧面底面且两平面交线为，平面PAD， 故平面， 又知为正方形， 则， 分别为的中点， 则，, 则根据三垂线定理可得， 故即为二面角的平面角， 底面为正方形且边长为， 故，， ， 即所求二面角正切值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2019年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业 单独统一招生考试数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 3. 点到直线的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的母线长为4，底面周长为，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 从1，2，3，4，5这5个数中，任取2个不同的数，其和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 80 C. 55 D. 30 9. 若方程表示的曲线是圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分． 11. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 12. 双曲线的离心率为________． 13. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的公比为________． 14. 在中，，，，则________． 15. 已知二次函数，若在单调递增，则的取值范围是________． 16. 已知正四棱柱的底面边长为2，点是底面的中心，且点到直线的距离是3，则的面积为________． 三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知的内角，，成等差数列． （1）求； （2）求的最大值． 18. 已知椭圆：的离心率为，焦距为4． （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，当时，求． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，，分别为，的中点． （1）证明：∥平面； （2）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $