精品解析：2022-2023学年浙江省高职考一轮系统性考试文化课数学阶段性考试试卷

2022—2023学年浙江省高职考一轮系统性考试文化课 数学阶段考试试卷 本试卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式（组）中，其解集可以用如图数轴表示的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，设点D，E，F分别为三边，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 某医院内科有名医生，其中男医生6名，现需选3名医生组成一个医疗队，则医疗队中至少有一名男医生的选法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知角的终边上有一点，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线与，则两直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 10. 点关于的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 在下列函数中，其图像大致如图所示的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 13. 若，，则（ ） A. B. C. D. 14. 从1，2，3，5四个数字中任取两个数字，一个作为底数a，另一个作为真数N，得到对数有意义且大于1的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 16. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. B. C. D. 17. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 18. 已知点P是抛物线上一点，P到焦点F的距离为3，则点P的横坐标为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 19. 正三角形OAB的三个顶点O，A，B按逆时针顺序排列，O是平面直角坐标系原点，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在正方体中，直线和面所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 的最小值为______. 22. 已知函数，若，则x的值为______. 23. 已知数列中，，，且任意三个相邻的数之和为，则______. 24. 二项式的展开式中所有项的系数和为，则常数项为______. 25. 已知是第四象限的角，则______. 26. 已知椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，且离心率分别是方程的两个根，则______. 27. 直角边长为2的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的表面积为______. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 29. 如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求： （1）c的值； （2）的大小. 30. 已知，，，，求： （1）的值； （2）的值. 31. 已知圆C的方程为（m为常数），圆心坐标为. （1）求m的值及这个圆的半径； （2）直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程. 32. 如图，在底边为2，高为3的正三棱柱中，E点是边的中点，F点是边的中点. （1）求线段与底面所成角的正切值； （2）求三棱锥的体积. 33. 有甲、乙两种商品，销售这两种商品所获利润分别为万元和万元，它们与投入资金（万元）的关系分别是，.现计划共投入万元资金销售这两种商品. （1）如果投入甲种商品的资金为万元，则总利润是多少万元？ （2）设甲种商品的投入资金为（万元），当为何值时总利润最大？最大值是多少？ 34. 已知数列满足，，数列满足，，求： （1）； （2）. 35. 已知椭圆的焦点坐标为，，短轴长为2，直线l经过点，与椭圆交于A，B两点，且，求： （1）椭圆的标准方程； （2）直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年浙江省高职考一轮系统性考试文化课 数学阶段考试试卷 本试卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义结合集合求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据充分必要条件的判定即可解得. 【详解】由题意可知， 或，故必要性不成立， ，则，故充分性成立， 即是的充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法和不等式的基本性质求解. 【详解】选项A，若，则不成立，错误， 选项B， 若，则不成立，错误， 选项C，若，则不成立，错误， 选项D，因为，所以，所以，正确. 故选：D. 4. 下列不等式（组）中，其解集可以用如图数轴表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上的区间以及各选项不等式的解即可解得. 【详解】通过观察数轴上的区间，可知其为， 选项A：，即，即，错误. 选项B：，解得，错误. 选项C：，解得或，正确. 选项D：，解得或，错误. 故选：C 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，须满足，解得，即且， 则函数的定义域是. 故选：D. 6. 如图，设点D，E，F分别为三边，，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在几何中的运算性质即可解得. 【详解】由题，分别为中点， 则由图可得：. 故选：A. 7. 某医院内科有名医生，其中男医生6名，现需选3名医生组成一个医疗队，则医疗队中至少有一名男医生的选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选1名男医生2名女医生，2名男医生1名女医生和选3名男医生的选法种数，再运用分类计数原理将所以的情况的种数相加即可. 【详解】有名医生，其中男医生6名，选3名医生， 则选1名男医生，选2名女医生，选法有（种）， 选2名男医生，选1名女医生，选法有（种）， 选3名男医生，选法有（种）. 所以至少有1名男医生的选法共有（种）. 故选：B. 8. 已知角的终边上有一点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再由诱导公式即可求出. 【详解】已知角的终边上有一点， 则，则， 根据诱导公式可得. 故选：D. 9. 已知直线与，则两直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判定即可解得. 【详解】由题可知，直线，即， 直线，即， 因为， 所以两直线垂直. 故选：B. 10. 点关于的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点坐标公式即可解得. 【详解】设点关于的对称点的坐标为， 则，， 解得，， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 11. 在下列函数中，其图像大致如图所示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像的特点和图像上的点代入验证即可判断. 【详解】选项B、D：函数解析式为二次函数，函数图象为抛物线，由题中图象可知选项B、D错误； 选项A、C：由题图象可知，函数图象过点和,将两点分别代入选项A、C函数解析式验证，选项A正确，选项C错误. 故选：A 12. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式判断函数的单调性即可. 【详解】A中为指数函数，当底数时在R上为减函数，不符合； B中为余弦函数，增减交替出现，不符合； C中对称轴为，开口向上，所以在上为增函数，符合； D中为对数函数，定义域是，不符合. 故选：C. 13. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质即可解得. 【详解】由，， 得，， 两边相乘得， 即. 故选：D. 14. 从1，2，3，5四个数字中任取两个数字，一个作为底数a，另一个作为真数N，得到对数有意义且大于1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的计算和古典概型概率公式即可解得. 【详解】以2，3，5为底的对数有9个， 其中， 所以不同的对数值有7个， 其中三个大于1， 所以概率为. 故选：B. 15. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式计算. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 16. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的二倍角公式、诱导公式化简为余弦型三角函数即可求解. 【详解】 . 所以函数的最大值是，最小正周期为. 故选：C. 17. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出中点坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，由此写出圆的标准方程即可解得. 【详解】点，的中点为，即为圆的圆心， 又，即， 则圆的标准方程为. 故选：D. 18. 已知点P是抛物线上一点，P到焦点F的距离为3，则点P的横坐标为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得点纵坐标，代入抛物线方程即可解得. 【详解】因为点P到焦点的距离为3， 所以点P到准线的距离也是3， 所以点P的纵坐标为， 代入抛物线方程得， 即. 故选：D. 19. 正三角形OAB的三个顶点O，A，B按逆时针顺序排列，O是平面直角坐标系原点，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的坐标计算终边为的角的三角函数值，将看作是逆时针旋转，根据两角和的正弦与余弦值，即可求得点坐标. 【详解】设点B的坐标为，与轴正半轴的夹角为， 因为,且为正三角形，三个顶点O，A，B按逆时针顺序排列， 所以. 则， 与轴正半轴的夹角为， 所以 ，即， 即. 故选：C. 20. 如图，在正方体中，直线和面所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得解. 【详解】连接，因为面，面， 所以， 又因为且， 面，面， 所以面，又面，， 所以， 同理可得， 因为，面，面， 所以面. 故选：D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据指数幂的化简和基本不等式的运算即可解得. 【详解】因为 ， 当且仅当，，即时等号成立， 所以最小值为5. 故答案为： 22. 已知函数，若，则x的值为______. 【答案】或2 【解析】 【分析】分别将，代入和时的解析式中求解即可. 【详解】已知函数， 则当时，即得， 当时，即得， 所以的值为或2. 故答案为：或2. 23. 已知数列中，，，且任意三个相邻的数之和为，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知数列关系求出前几项的值观察规律即可解得. 【详解】因为， 则①， ②， ③， 可得：， 又知， 则，， ， 故可知该数列的值三个一组一循环， 故， 即. 故答案为：4. 24. 二项式的展开式中所有项的系数和为，则常数项为______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用赋值法，令代入中使其等于，求出的值，再由二项展开式的通项公式求值即可. 【详解】已知二项式的展开式中所有项的系数和为， 令得，所以， 则二项式展开式的通项为， 令，则，所以常数项为. 故答案为： 25. 已知是第四象限的角，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式及三角函数符号即可化简求解. 【详解】因为是第四象限的角， 所以，即， . 故答案为： 26. 已知椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，且离心率分别是方程的两个根，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据解方程以及椭圆、双曲线离心率的范围求得椭圆与双曲线的离心率，再根据椭圆、双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】解方程得，. 根据双曲线方程可知，焦点在轴上，故椭圆的焦点也在轴上， 因为，所以椭圆的离心率为， 因为，所以双曲线的离心率为. 则，解得， ，解得，即. 故答案为：8. 27. 直角边长为2的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】以斜边为旋转轴旋转的几何体的表面积等于两个同底等高的圆锥的侧面积之和. 【详解】如图，，，， 所以旋转体的表面积等于两个同底等高的圆锥的侧面积之和， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂、对数、组合数、三角函数、阶乘的混合运算即可解得. 【详解】 . 29. 如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求： （1）c的值； （2）的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可. （2）先由余弦定理求出边b，再由正弦定理结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 ， ，， ，即，， ，则， . 30. 已知，，，，求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式求解即可； （2）先由同角三角函数的平方关系求解和的值，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， ，. 【小问2详解】 ，，， ，，则， ， 所以 . 31. 已知圆C的方程为（m为常数），圆心坐标为. （1）求m的值及这个圆的半径； （2）直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可求m的值及这个圆的半径； （2）分类讨论斜率存在于斜率不存在两种情况，当斜率存在时利用圆心到之间距离为半径可求，当斜率不存在时圆心与直线横坐标差为半径即可. 【小问1详解】 方程，， 即， 因为圆心坐标为，所以，， 半径，. 【小问2详解】 ①当的斜率存在时，可设切线方程为， 化为一般式方程为. 由直线与圆相切得，化简得， 解得：， 所以切线方程为，即.. ②当切线的斜率不存在时，直线，，符合题意. 综合①，②可知所求切线方程为或. 32. 如图，在底边为2，高为3的正三棱柱中，E点是边的中点，F点是边的中点. （1）求线段与底面所成角的正切值； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直判断得所求线面角，再将线面角转化为三角形中的角求解即可解得； （2）根据棱锥的体积公式即可解得. 【小问1详解】 作于H，连接， ，是正三棱柱， 其中，面，面， 所以，又面， 所以面， 所以就是与底面所成的角， 因为为中点，，四边形是平行四边形， 则为中点，分别为中点， 为的中位线，所以， 则， 所以与底面所成角的正切值为3. . 【小问2详解】 由（1）得，是三棱锥的高， ， . 33. 有甲、乙两种商品，销售这两种商品所获利润分别为万元和万元，它们与投入资金（万元）的关系分别是，.现计划共投入万元资金销售这两种商品. （1）如果投入甲种商品的资金为万元，则总利润是多少万元？ （2）设甲种商品的投入资金为（万元），当为何值时总利润最大？最大值是多少？ 【答案】（1）万元 （2）当为万元时总利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）由题意甲、乙两种商品所获利润与投入资金的函数关系求利润之和即为所求总利润； （2）设对甲种商品投资万元，列出总利润关于的函数关系式，利用换元法求函数的最大值和此时的值. 【小问1详解】 设总利润为万元， 由题意知，投入甲种商品的资金为万元，投入乙商品的资金为1万元， 则， 即总利润为万元. 【小问2详解】 总利润，， 即，， 设，则，， ， 所以当，即时，， 答：当为万元时总利润最大，最大利润为万元. 34. 已知数列满足，，数列满足，，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列列的性质求出公比，再由等比数列通项公式即可解得. （2）根据已知写出数列的关系式，根据逐项相加结合等差数列前项和公式即可解得. 【小问1详解】 ，即数列为等比数列，设数列公比为， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ， … ， 逐项相加得， 所以. 35. 已知椭圆的焦点坐标为，，短轴长为2，直线l经过点，与椭圆交于A，B两点，且，求： （1）椭圆的标准方程； （2）直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点和短轴即可求解椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式代入求解即可. 【小问1详解】 焦点坐标为，， ， 短轴为2，即， ， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线的斜率一定存在，设的斜率为， 过点，则直线方程为， 设，， 联立直线与椭圆方程 消去得， ， ，， ，， ， 即， （舍去）， ， 所以直线方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $