精品解析：浙江省高职单招单考2019年温州市第一次模拟考试数学试卷

2019年浙江省高职单招单考温州市第一次模拟考试 《数学》试题卷 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每题2分，11—20小题每题3分，共50分） 1. 平面直角坐标系中，x轴上的点构成的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 如果函数在R上单调递减，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 数列中，，，则该数列的第六项是（ ） A. 33 B. 64 C. 65 D. 129 7. 的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. D. 0 8. 角α终边在函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示为正方体，下列四个选项中不正确是（ ） A. 是正三角形. B. 直线与直线CD所成的角是. C. 直线与直线AB所成的角是. D. 直线与平面ABCD所成的角是. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 若，则（ ） A. B. C. m D. 13. 从4张不同扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，直线a上有3个点，直线b上有2个点，从这5个点中任取3个点，能构成三角形的个数可表示为（ ） A. B. C. D. 15. 二项式展开式各项系数之和为81，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第二项和第三项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第四项 16. 函数的图像与直线有两个相异的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17. 圆与圆的关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 18. 若直线与互相平行，则（ ） A. 或 B. 1或 C. D. 19. 已知函数在一个周期内的图像如图，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 20. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每空格4分，共28分） 21. 已知，则xy取到的最大值为______. 22. 已知函数，，那么的值为______. 23. 在等比数列中，，，则______. 24. 已知，，则______. 25. 平行于直线，且与该直线的距离等于的直线的方程是__________________. 26. 已知点在抛物线上，则点M到抛物线焦点的距离______. 27. 是边长为的正三角形，将绕旋转一周，则所得旋转体的体积______. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 28. 计算：. 29. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时对应的x的集合. 30. 在中，，，所对的边分别是，，. （1）若，，，求的长度； （2）若，判断的形状. 31. 已知圆，直线与直线相交于点P. （1）求圆C关于点P对称的圆的标准方程； （2）求过点P，且与圆C相切的直线方程. 32. 如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： （1）三棱柱的体积； （2）二面角大小. 33. 某类产品按质量共分10个档次，同样的工时，产量与档次x间的关系如图所示.生产最低档次（第1档）时，每件利润为8元，每天可生产60件.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元. （1）写出产量与x的函数表达式； （2）求生产第几档产品利润最大，最大利润是多少. 34. 已知抛物线E：经过圆C：圆心C，且焦点为F，求： （1）抛物线的标准方程； （2）直线CF被抛物线所截得的弦长． 35. 某蔬菜基地种植西红柿，通过分析历年市场行情得知，在每年2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系为；同时，西红柿种植成本与上市时间的关系，可以用二次函数图像的局部加以表示（如图）.求： （1）种植成本关于上市时间的函数解析式； （2）现规定“市场售价-种植成本”为纯收益y，问：t为多少时，纯收益y最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019年浙江省高职单招单考温州市第一次模拟考试 《数学》试题卷 一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每题2分，11—20小题每题3分，共50分） 1. 平面直角坐标系中，x轴上的点构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据x轴上的点的特点，用描述法表示出来即可. 【详解】因为x轴上的点， 所以x轴上的点构成的集合为. 故选：A. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，利用反证法即可求解. 【详解】对A：若，则，即，故A项错误； 对B：若，则，根据不等式的基本性质，所以，故B项正确； 对C：若，满足，则，即，故C项错误； 对D：若，满足，，则，即，故D项错误. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】由“”不能推出“”， 又因为解得 所以可以由“”推出“”， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，零和负数无对数，列不等式求解取交集即可. 【详解】要使有意义， 则必须使， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 5. 如果函数在R上单调递减，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由减函数的概念计算即可. 【详解】因为函数在R上单调递减， 所以对，有， 因为， 所以， 解得， 所以a的取值范围. 故选:D. 6. 数列中，，，则该数列的第六项是（ ） A. 33 B. 64 C. 65 D. 129 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的递推公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， ， ， ， . 故选：A. 7. 的值一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先把弧度制换算成对应的角度制，然后根据具体对应的象限，判断正弦正负号即可求解. 【详解】因为，则在第二象限. 所以. 即的值一定是正数. 故选：A. 8. 角α的终边在函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取终边上的一个点，得到点的坐标，再计算角的余弦. 【详解】∵角的终边在函数的图像上，取该图像上的一个点. ∴取点. 故，. ∴. 故选：C. 9. 直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程化为斜截式，求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的 求解即可. 【详解】由直线得，， 则斜率， 因为倾斜角，所以. 故选：D. 10. 如图所示为正方体，下列四个选项中不正确的是（ ） A. 是正三角形. B. 直线与直线CD所成的角是. C. 直线与直线AB所成的角是. D. 直线与平面ABCD所成的角是. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体棱长及垂直和平行关系逐项判断异面直线所成角，线面角即可. 【详解】对于A，设正方体棱长为， 则，故是正三角形，A正确； 对于B，正方体中，， 所以直线与直线CD所成的角，即直线与直线所成的角， 又平面，平面，所以， 所以直线与直线CD所成的角是，B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 即直线与直线AB所成的角是，故C错误； 对于D，因为平面，所以直线与平面ABCD所成的角是， 在直角三角形中，由可得，， 故直线与平面ABCD所成的角是，D正确. 故选：C. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线、向量加法三角形法则，平行四边形法则逐个进行判断即可. 【详解】对于A，由ABCD为平行四边形知，且向量同向，所以成立，故A选项正确； 对于B，由平行四边形法则知成立，故B选项正确； 对于C，由三角形法则知，故C选项不正确； 对于D，，故D选项正确. 故选：C 12. 若，则（ ） A. B. C. m D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系即可判断. 【详解】因为， 则， 所以， 所以. 故选：A. 13. 从4张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据放回的古典概型分析摸牌情况求出概率即可 【详解】每次从4张不同的扑克牌中任取一张，有放回地取两次. 第一次取牌有4种可能，第二次取牌也有4种可能，因此总的取牌组合有种可能. 要两次取得同一张牌，第一次取到某一张牌后，第二次也必须取到同一张牌. 对于每一张牌，这样的情况有4种（因为有4张不同的牌），所以两次取得同一张牌的情况有4种。 因此，两次取得同一张牌的概率为：. 故选：B. 14. 已知直线，直线a上有3个点，直线b上有2个点，从这5个点中任取3个点，能构成三角形的个数可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的方法求出从这5个点中任取3个点，但直线a上三点共线；直线b上两点共线，构不成三角形，即从直线a上有3个点，直线b上有2个点，或从a中取两点，b中取一点，利用分类计算原理即可求解. 【详解】如图： 从图中可以发现， 从a中取一点，b中取两点或从a中取两点，b中取一点即可构成三角形， 直线a上有3个点，直线b上有2个点， 从a中取一点，b中取两点有， 从a中取两点，b中取一点有， 所以能构成三角形的个数可表示为. 故选：D. 15. 二项式展开式各项系数之和为81，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第二项和第三项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第四项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式各系数之和的性质求解. 【详解】根据二项式定理，展开式各项系数之和为 ， 解得. 则二项式通项为：， 由题意可知最大， 即第三项系数最大. 故选：C. 16. 函数的图像与直线有两个相异的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，得到新的式子，依据有两个相异的交点，则判别式大于零，求解判别式即可. 【详解】将代入得， ， 化简得，因为函数的图像与直线有两个相异的交点， 所以，即，整理得； 解得：或，即； 故选：. 17. 圆与圆的关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆位置关系的判断方法即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 而，则， 所以两圆位置关系为相离. 故选：D. 18. 若直线与互相平行，则（ ） A. 或 B. 1或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行则直线斜率相等即可判断. 【详解】由题意易知， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为直线与互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，经检验，满足条件. 故选：D. 19. 已知函数在一个周期内的图像如图，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象分析函数的周期，利用函数的周期性即可求解. 【详解】由图可知，函数的最小正周期为8，且， 所以. 故选：A. 20. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由抛物线的焦点求得m的值，再根据双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为的焦点为， 由题意可得，又因为，解得， 所以双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 二、填空题（本大题共7小题，每空格4分，共28分） 21. 已知，则xy取到的最大值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即， 当且仅当时取等号，因， 所以，当且仅当时，取到的最大值为8. 故答案为：. 22. 已知函数，，那么的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，则，将代入对应的解析式中即可求解. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故答案为：. 23. 在等比数列中，，，则______. 【答案】72 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】∵是等比数列，令首项为，公比为， 则， ， ∴. ∴. 故答案为：72. 24. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系式求出，然后再根据二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 则， 则. 故答案为：. 25. 平行于直线，且与该直线的距离等于的直线的方程是__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用两直线平行的性质设所求直线，再利用两平行线间的距离公式即可得解. 【详解】因为所求直线平行于直线， 所以设所求直线为， 又所求直线与直线的距离等于， 所以，解得或， 所以所求直线为或. 故答案为：或. 26. 已知点在抛物线上，则点M到抛物线焦点的距离______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出a的值，然后根据焦半径公式求解即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 因为抛物线的准线方程为， 所以由抛物线的定义可知，点到焦点的距离等于点M到准线的距离， 即. 故答案为：. 27. 是边长为的正三角形，将绕旋转一周，则所得旋转体的体积______. 【答案】 【解析】 【分析】由正三角形一边旋转得到的是两个底面重合的圆锥，利用正三角形求圆锥底面半径和高，再由圆锥体积公式可求. 【详解】如图，正三角形一边旋转得到的是两个底面重合的全等的圆锥，由图易知为的中点， 所以圆锥的高，因为为直角三角形， 圆锥的底面半径为， 所以旋转体的体积； 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 28. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】运用指数运算法则，任意角的三角函数值，对数运算法则求解. 【详解】 . 29. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时对应的x的集合. 【答案】（1） （2）最大值为，. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式及正弦和差公式化简后即可求的最小正周期； （2）利用正弦型三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 ， ∴的最小正周期. 【小问2详解】 的最大值为， 此时，即， 即取得最大值时x的集合为. 30. 在中，，，所对的边分别是，，. （1）若，，，求的长度； （2）若，判断的形状. 【答案】（1）. （2）等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）将，，代入余弦定理可求. （2）利用正弦定理将，化为，，然后根据正弦差角公式得到，进而知道三角形形状. 【小问1详解】 根据余弦定理， 解得：. 【小问2详解】 由，根据正弦定理有； 所以. 所以或， 因为，所以， 从而可知为等腰三角形. 31. 已知圆，直线与直线相交于点P. （1）求圆C关于点P对称的圆的标准方程； （2）求过点P，且与圆C相切的直线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求出两条直线的交点P的坐标，然后根据圆C的方程求出圆心坐标和半径，并运用对称知识求得对称圆的圆心坐标和半径，进而确定圆的方程. （2）分两种情况讨论切线斜率，并运用圆心到直线的距离等于半径求解斜率，进而确定切线方程. 【小问1详解】 由可得，，则交点P， 由圆可得，， 则其圆心为，半径为. 设圆心， 因为圆C与圆关于点P对称， 所以点P是的中点，即， 解得，则圆心 又因为圆的与圆C半径相同， 所以圆的标准方程是. 小问2详解】 ①若过点P的切线l的斜率k存在， 则直线方程为，即， 由圆心C到直线l的距离可得， ，解得， 则切线l的方程为， 化简得. ②若过点P的直线的斜率不存在，可得切线的方程为. 综合两种情况可得所求的切线方程为或. 32. 如图所示，直三棱柱的底面是直角三角形，，，，且.求： （1）三棱柱的体积； （2）二面角的大小. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式即可求解. （2）先找出二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 由题意， ，. 则三棱柱的体积为： . 【小问2详解】 由题意， 因为，所以， 在直三棱柱中， 是矩形，所以. 因为，平面 所以平面. 因为平面， 所以. 所以为二面角的平面角. 在直角三角形中，， 得， 所以二面角的大小为. 33. 某类产品按质量共分10个档次，同样的工时，产量与档次x间的关系如图所示.生产最低档次（第1档）时，每件利润为8元，每天可生产60件.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元. （1）写出产量与x的函数表达式； （2）求生产第几档产品利润最大，最大利润是多少. 【答案】（1）， （2）当生产第9档产品时，利润最大，最大利润是864元. 【解析】 【分析】（1）根据图片得知函数关系，设方程，代入点、求得参数； （2）先计算利润函数，再分析利润最大时的自变量取值. 【小问1详解】 设产量与档次x间的关系方程为， 依题意，将坐标、代入， 得到，， 解得，. 所以，产量与x的函数表达式为：，. 【小问2详解】 依题意，第x档次时，每件利润为：， 所以总利润为： 可化简为，， 当时，（元）. ∴，当生产第9档产品时，利润最大，最大利润是864元. 34. 已知抛物线E：经过圆C：的圆心C，且焦点为F，求： （1）抛物线的标准方程； （2）直线CF被抛物线所截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆心C的坐标，进而可得到抛物线的方程. （2）由C和F两点的坐标求得直线CF的方程，将其与抛物线的方程联立解出，最后利用抛物线的定义即可求得弦长． 【小问1详解】 由圆的方程可知圆心为， 抛物线过圆心C，即，则， 所以抛物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由抛物线的标准方程可知焦点为， 所以直线CF的斜率为， 则直线CF的方程为：， 联立直线与抛物线方程， 整理得，直线， 设其两根为，则， 则弦长为， 所以直线CF被抛物线所截得的弦长为. 35. 某蔬菜基地种植西红柿，通过分析历年市场行情得知，在每年2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系为；同时，西红柿种植成本与上市时间的关系，可以用二次函数图像的局部加以表示（如图）.求： （1）种植成本关于上市时间的函数解析式； （2）现规定“市场售价-种植成本”为纯收益y，问：t为多少时，纯收益y最大？ 【答案】（1） （2）t为50时，纯收益y最大. 【解析】 【分析】（1）根据局部的二次函数图象，通过待定系数法即可求得函数的解析式； （2）根据“市场售价-种植成本=纯收益”列式，再通过二次函数的性质，分段讨论即可求解. 【小问1详解】 由题可知：种植成本关于上市时间的函数可以用二次函数表示， 由图可知，函数图象顶点为，且过点 则设函数解析式为， 所以，解得， 所本关于的函数解析式为. 【小问2详解】 因为市场售价-种植成本为纯收益为y， 则， 整理得， 当时，则时，y取最大值， 最大值为， 当时，其图象为为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以时，当时，y取最大值， 最大值为， 综上所述：t为50时，纯收益y最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$