2024-2025学年北师大版九年级上学期第一次月考卷 考试范围：特殊平行四边形、一元二次方程 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

2024-2025学年北师大版九年级上学期第一次月考卷 考试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 3．(古代数学问题)直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．——摘自古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》译文：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，则它的长比宽多（  ） A． B． C． D． 4．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（    ） A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形 5．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点，分别为边，的中点，点在线段上，且，若，，则线段的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(    ) A．AC=BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC⊥BD 9．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11． = ． 12．若方程，则方程的根为 ． 13．关于x的一元二次方程x2-mx+2m=0的一个根为1，则m的值为 ． 14．已知菱形中，对角线，，则与之间的距离是 ． 15．若关于x的一元二次方程9x2－6x＋c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 ． 16．如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，则阴影部分的面积是 ． 17．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为 ．    18．如图，已知矩形ABCD，点E在边AD上，连接BE将△ABE沿BE翻折，得到△MBE，且点M是CD中点，取BM中点N，点P为线段BE上一动点，连接PN，PM，若AD长为2，则PM+PN的最小值为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．选择适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 20．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的元/平方米下降到12月份的元/平方米． (1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破元/平方米？请说明理由． 21．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？” 22．某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的售价不能超过70元．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件.设每件玩具的单价上涨x（元）时，月销售量为y（件）． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件玩具的单价上涨多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？ 23．如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4． (1)若∠ABC＝135°． ①求证：B、E、D三点共线； ②求BG的长； (2)若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值． 24．如图，已知． (1)尺规作图：①作的中点；②在上确定点，使点到、的距离相等； (2)连接，若，，，则的长为 ． 25．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元． 请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？ 26．星星服装店以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． (1)填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版九年级上学期第一次月考卷 考试范围：特殊平行四边形、一元二次方程、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．方程经过配方后，其结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 2．如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查解一元二次方程，运算程序与方程计算，正确掌握一元二次方程的解法及理解运算程序图是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 直接开平方得：或， 解得． 故选：C． 3．(古代数学问题)直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．——摘自古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》译文：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，则它的长比宽多（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设矩形田地的长为x步（x>30）,则宽为（60-x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设矩形田地的长为x步（x>30）,则宽为（60-x）步． 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及矩形面积，根据矩形面积公式，列出关于x的一元二次方程是解题关键． 4．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（    ） A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形 【答案】D 【分析】将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得． 【详解】A、若四边形是平行四边形，则四边形一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意； B、若四边形是矩形，则四边形一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意； C、若四边形是菱形，则四边形一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意； D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 5．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 6．如图，在中，点，分别为边，的中点，点在线段上，且，若，，则线段的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意知，是的中位线，是斜边的中线，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，是的中位线，是斜边上的中线， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物．则经过一轮感染，一只动物感染给了x只动物，这只动物又感染给了只动物．等量关系：经过两轮感染后就会有363只动物被感染． 【详解】解：每轮感染中平均一只动物会感染x只动物， 列方程得：， 故选：B． 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(    ) A．AC=BD B．AB=AC C．∠ABC=90° D．AC⊥BD 【答案】D 【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可． 【详解】A．∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，不是菱形，故本选项错误； B．∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，∴平行四边形ABCD不是菱形，故本选项错误； C．∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 9．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确； ②方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴Δ=0-4ac＞0， ∴-4ac＞0 则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0， ∴c（ac+b+1）=0， 若c=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得：x0=， ∴2ax0+b=±， ∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确． 故正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 10．如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题意利用三角形中位线定理求出BE，进而继续分析进行求解即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCE=90°，OD=OB， ∵DF=FE， ∴CF=FE=FD， ∵EC+EF+CF=18，EC=5， ∴EF+FC=13， ∴， ∴BC=CD=12， ∴BE=BC-EC=7， ∵OD=OB，DF=FE， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质和三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11． = ． 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了配方法的应用和完全平方式的计算，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 12．若方程，则方程的根为 ． 【答案】， 【分析】由或即可求出方程的根． 【详解】， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，降低未知数的次数是解题的关键． 13．关于x的一元二次方程x2-mx+2m=0的一个根为1，则m的值为 ． 【答案】-1 【分析】把x=1代入方程得到一个关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把x=1代入得：1-m+2m=0， 解得：m=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程1-m+2m=0是解此题的关键． 14．已知菱形中，对角线，，则与之间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质求得边长，根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线，， ∴菱形的边长为 设与之间的距离为， ∴ ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 15．若关于x的一元二次方程9x2－6x＋c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 ． 【答案】c＜1 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴△＝36－4×9×c＞0 ∴c＜1． 故答案为c＜1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0是解答本题的关键． 16．如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，则阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，先利用成中心对称图形的性质可出，，，进而判断四边形是平行四边形，则可得出，由矩形的性质可得出，，则，即可求解． 【详解】解：∵矩形和矩形关于点成中心对称， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为：24． 17．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的性质求出，计算即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴， 即点D，之间的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键． 18．如图，已知矩形ABCD，点E在边AD上，连接BE将△ABE沿BE翻折，得到△MBE，且点M是CD中点，取BM中点N，点P为线段BE上一动点，连接PN，PM，若AD长为2，则PM+PN的最小值为 ． 【答案】2 【分析】作点N关于BE的对称点N'，连接PN'，由轴对称的性质可得PN+PM＝PN'+PM，依据当N'，P，M三点共线时，PM+PN的最小值为N'M的长，即可得到PM+PN的最小值为2． 【详解】如图，作点N关于BE的对称点N'，连接PN'， 由折叠可得，BE平分∠ABM，AB＝MB， ∴点N'在AB上， 又∵N是BM的中点， ∴N'是AB的中点， 由轴对称的性质可得PN＝PN'， ∴PN+PM＝PN'+PM， ∴当N'，P，M三点共线时，PM+PN的最小值为N'M的长， 又∵四边形ABCD是矩形，M是CD的中点， ∴四边形ADMN'是矩形， ∴MN'＝AD＝2， ∴PM+PN的最小值为2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．选择适当的方法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解法，公式法解方程， （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用公式法法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得． （2）∵， ∴, 在这里， ∴，， 解得． 20．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的元/平方米下降到12月份的元/平方米． (1)求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的白分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破元/平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)会跌破元/平方米，理由见解析 【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为，12月份的房价为，然后根据12月份的元/平方米即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和元进行比较即可作出判断． 此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 【详解】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x， 则11月份的成交价是：， 12月份的成交价是：， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去） 答：11、12两月平均每月降价的百分率是； （2）会跌破元/平方米，理由如下： 如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为： ， 由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破元/平方米． 21．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？” 【答案】门的高和宽各是尺和尺． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意和勾股定理列出方程即可，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】解：设门的宽为尺，则门的高为尺， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴门的高为尺， 答：门的高和宽各是尺和尺． 22．某商场经销一种儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是50元，规定销售时单价不能低于进价，每件的售价不能超过70元．试销过程中发现：销售单价是60元时，月销售量是400件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件.设每件玩具的单价上涨x（元）时，月销售量为y（件）． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件玩具的单价上涨多少元时，每月能获得的利润恰好是5250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，解答时正确列出一元二次方程是关键． （1）根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式； （2）把代入（1）的解析式就可以求出结论； 【详解】（1）解：由题意得： ∵每件的售价不能超过70元 ∴（元） 故y与x的函数关系式为：； （2）解：由题意，解方程 解这个方程得：（舍去） 所以，每件玩具的销售单价为5元时，每月能获得的利润恰好是5250元； 23．如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4． (1)若∠ABC＝135°． ①求证：B、E、D三点共线； ②求BG的长； (2)若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值． 【答案】(1)①见解析；②BG＝4 (2)22 【分析】（1）①由旋转的性质可得∠ACD＝90°＝∠BCE，AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°，由等腰三角形的性质可得∠BEC＝45°＝∠CBE，可证∠BEC+∠CED＝180°，可得结论； ②通过证明四边形ABDG是矩形，可得AD＝BG，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由垂线段最短可得当PD⊥AB时，PD的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求DE的长，由正方形的性质可得BC＝PE＝2，即可求解． 【详解】（1）①证明：如图，连接AG， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC， ∴△ABC≌△DEC，∠ACD＝90°＝∠BCE， ∴AB＝DE，BC＝CE，AC＝CD，∠ABC＝∠DEC＝135°， ∴∠BEC＝45°＝∠CBE， ∴∠BEC+∠CED＝180°， ∴B、E、D三点共线． ②∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG， ∴DE＝DG，∠EDG＝90°， ∴AB＝DE＝DG， ∵∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°， ∴∠ABE+∠EDG＝180°， ∴AB∥DG， ∴四边形ABDG是平行四边形， 又∵∠BDG＝90°， ∴四边形ABDG是矩形， ∴AD＝BG， ∵AC＝CD＝4，∠ACD＝90°， ∴ADAD＝4， ∴BG＝4． （2）如图， ∵点P在边AB上， ∴当PD⊥AB时，PD的长度有最小值， 由旋转的性质可得：∠ABC＝∠CED＝∠BCE＝90°， ∴BC∥DE， ∵∠ABC+∠BPD＝180°， ∴DP∥BC， ∴点P，点E，点D三点共线， ∵AC＝2CE， ∴BC＝CE＝2， 又∵∠ABC＝∠BPE＝∠BCE＝90°， ∴四边形BPEC是正方形， ∴BC＝PE＝2， ∵CD＝AC＝4，CE＝2，∠CED＝90°， ∴DE2， ∴DP＝22， ∴线段PD的最小值为22． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．如图，已知． (1)尺规作图：①作的中点；②在上确定点，使点到、的距离相等； (2)连接，若，，，则的长为 ． 【答案】(1)①作图见详解；② (2) 【分析】（1）①分别以点，为圆心，以大于为半径画弧分别交于点，，连接两弧相交与线段交于，则点为的中点；②分别以点为圆心，以任意半径画弧，交于，于，连接，分别以点，为圆心，以大于画弧，交于点，连接交于点，该点即为所求点的位置； （2），则有等腰三角形，点为中点，是等腰三角形的三线（高、中线、角平分线），由此可得直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，点即为所求点的位置，即的中点， 根据作图可知，为的垂直平分线， ∴点为的中点； ②如图所示，点即为所求点的位置，即为的角平分线， 根据作图可知，为的角平分线， ∴点到、的距离相等． （2）解：如图所示， ∵，且由（1）中作图可知，点为中点，是等腰三角形的三线（高、中线、角平分线）合一中之一， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∵点为直角三角形斜边的中点， ∴，即． 【点睛】本题主要考查垂直平分线，角平分线的画法，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 25．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息： 信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元． 信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元． 请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种商品的零售单价不变．在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？ 【答案】(1)甲、乙进货单价为1元和2元 (2)甲种商品的零售单价定为元或元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元 【分析】（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为，元，根据信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可； （2）根据降价后甲每天卖出：件，每件降价后每件利润为：元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可． 【详解】（1）解：假设甲、乙两种商品的进货单价各为，元， 根据题意得：， 解得：， 甲、乙进货单价为1元和2元； （2）解：设甲种商品降价元， 根据题意得出： ， 即， 解得：． 故甲种商品的零售单价定为元或元时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为2000元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键． 26．星星服装店以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． (1)填表（不需化简）： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2)如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【答案】(1)，， (2)第二个月的单价应是70元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出第二个月的单价和相应的销售量； （2）等量关系为：销售额进价利润，据此列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍，即可得解． 【详解】（1）解：设第二个月降价元， 则第二个月的单价为元，销售量为件， 清仓时的销售量为件， 填表如下： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）解：若第二个月每件降价元，则第二个月的单价是元， 根据题意，得， 整理，得， 解这个方程得， 当时，，符合题意． 答：第二个月的单价应是70元． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$