5.1.2 导数的几何意义（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　导数的几何意义 [学习目标] 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义，达成数学抽象的核心素养.2.了解导函数的概念，达成数学抽象的核心素养.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程，培养直观想象和数学运算的核心素养(重点).4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(易混点)． ,) 要点一　导数的几何意义 1．如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限 趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)．这就是导数的几何意义． 2．切线的斜率与割线的斜率的关系 从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.切线是割线的极限位置． 思考：曲线的切线与曲线的交点是否一定唯一？ 提示　不一定．曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷多个交点． 要点二　导函数 1．定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的__导函数__(简称__导数__)．y＝f(x)的导函数有时也记作__y′__，即f′(x)＝y′＝　 　. 2．f′(x0)与f′(x)的区别与联系 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点处的导数组成的一个新函数，是函数 思考：f′(x0)＞0和f′(x0)＜0反映了怎样的意义？ 提示　f′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f′(x0)．(　　) (2)f′(x1)＞f′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处的瞬时变化率大．(　　) (3)f′(x0)就是导函数y＝f′(x)在x0处的函数值．(　　) (4)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处的切线不存在．(　　) 解析　(1)正确．根据导数的几何意义知正确． (2)错误．若|f(x0)|越大，则瞬时变化率越大，故错误． (3)正确．根据导函数的定义知正确． (4)错误．若f′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处的切线平行于x轴，不能说不存在． 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　求曲线的切线方程 规律总结 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 【例题1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． 解析　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P(1,1)．所以y′|x＝1＝ ＝ ＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3，所以k＝y′|x＝1＝3.所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，则y′|x＝x0＝ ＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0；②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. 【变式1】 求函数y＝在x＝2处的切线方程． 解析　由题意得Δy＝－＝－1＝－，所以＝－，所以k＝ ＝ ＝＝－1.又当x＝2时，y＝＝1，所以切线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 探究二　求切点坐标 答题模板 求切点坐标的四个步骤 (1)先设切点坐标为(x0，y0)． (2)求切线的斜率f′(x0)． (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (4)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标． 【例题2】 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出点P. (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 解析　设y＝f(x)， 则f′(x)＝ ＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2,4)． (2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P. (3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P. 【变式2】 曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 答案　C 解析　由题意得Δy＝(1＋Δx)3＋11－13－11＝3(Δx)2＋3Δx＋(Δx)3，所以＝3＋3Δx＋(Δx)2，当Δx趋于0时，3＋3Δx＋(Δx)2趋于3，所以曲线在点(1,12)处的切线斜率为3，故切线方程为3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.故选C项． 探究三　利用图象理解导数的几何意义 规律总结 (1)导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的． (2)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢． 【例题3】 (1)已知函数f(x)在R上有导函数，且f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(a)＜f′(b)＜f′(c) B．f′(b)＜f′(c)＜f′(a) C．f′(a)＜f′(c)＜f′(b) D．f′(c)＜f′(a)＜f′(b) (2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　) 解析　(1)由导数的几何意义可知，f′(a)，f′(b)，f′(c)分别是函数f(x)在x＝a，x＝b，x＝c处切线的斜率，由图象可知f′(a)<0<f′(b)<f′(c)．故选A项． (2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B项． 答案　(1)A　(2)B 【变式3】 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) (2)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，若点P的横坐标是5，则f(5)＋f′(5)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　(1)由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))处的切线的斜率越来越大，又因为＝a，所以f′(1)<a<f′(2)．故选B项． (2)因为函数y＝f(x)的图象在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，所以f′(5)＝－1，又f(5)＝－5＋8＝3，所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.故选C项． 答案　(1)B　(2)C 1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0 C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在 答案　C 解析　由切线方程可知切线的斜率为k＝－2，所以f′(x0)＝－2<0.故选C项． 2．曲线y＝在点P(4,2)处的切线方程为(　　) A．x＋4y＋4＝0 B．x－4y＋4＝0 C．x＋4y＋12＝0 D．x－4y＋12＝0 答案　B 解析　由题意得y′|x＝4＝ ＝ ＝＝，所以曲线在点P(4,2)处的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.故选B项． 3．已知曲线y＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　由题意得Δy＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，所以＝x＋Δx＋2，所以y′＝ ＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝x0＋2.由已知得x0＋2＝4，所以x0＝2.故选D项． 4．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　) A．1 B． C．－ D．－1 答案　A 解析　由已知条件可得f′(1)＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确)．故选A项. 学科网（北京）股份有限公司 $$