5.1.1 变化率问题和导数的概念（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第五章　一元函数的导数及其应用 5．1　导数的概念及其意义 第1课时　变化率问题和导数的概念 [学习目标] 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，培养数学抽象的核心素养.2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，培养数学抽象的核心素养.3.体会导数的内涵与思想，发展数学抽象的核心素养.4.体会极限思想，发展数学抽象的核心素养.5.会求函数在某一点附近的平均变化率，发展数学运算的核心素养(重点).6.理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念，提升数学抽象的核心素养(易混点)． 要点一　瞬时速度 1．定义 物体在__某一时刻__的速度称为瞬时速度． 2．一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的__极限__是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 要点二　导数的概念 1．平均变化率 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率为＝. 2．导数的概念 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作　f′(x0)或y′|x＝x0　，即f′(x0)＝ ＝ . 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0.(　　) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．(　　) (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(　　) (4)Δy的值可正可负，也可以为0.(　　) 解析　(1)错误．Δx＝x2－x1，可把Δx看成相对于x1的一个增量，它可正可负但不能等于零． (2)正确．当Δx→0时，平均变化率等于瞬时变化率． (3)正确．瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (4)正确．当Δy表示函数值的增量f(x2)－f(x1)时，Δy的值可正可负，也可以为0. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 探究一　求平均变化率 规律总结 (1)求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率＝. (2)求平均变化率的一个关注点：求点x0附近的平均变化率，可用的形式． 【例题1】 (1)如图，函数y＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 (2)函数y＝－2x2＋1在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率为________. 解析　(1)＝＝＝－.故选B项． (2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，所以平均变化率为＝＝－4－2Δx. 答案　(1)B　 (2)－4－2Δx 【变式1】 函数f(x)＝x2＋2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为(　　) A．2 B．4 C．2c D．4c 答案　B 解析　根据题意，f(x)＝x2＋2c，则有＝＝4.故选B项． 探究二　求瞬时速度 答题模板 求运动物体瞬时速度的步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下： (1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))． (2)求平均速度：＝. (3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v(常数)． 【例题2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解析　因为＝ ＝ ＝3＋Δt， 所以 ＝ (3＋Δt)＝3. 所以物体在t＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 【变式2】 已知一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1,2]内的平均速度为________m/s，在t＝1时的瞬时速度为________m/s. 解析　根据题意，一质点按规律s＝2t3运动，则其在时间段[1,2]内的平均速度为＝＝14(m/s)，在t＝1时的瞬时速度为 ＝ (2Δt2＋6Δt＋6)＝6(m/s)． 答案　14　6 探究三　求函数在某点处的导数 答题模板 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝. (3)求极限 . 【例题3】 求函数y＝x＋在x＝1处的导数． 解析　由y＝x＋得Δy＝1＋Δx＋－(1＋1)＝Δx－，所以＝1－，所以y′|x＝1＝ ＝1－1＝0. 【变式3】 已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案　D 解析　因为＝ ＝＝， 所以f′(m)＝ ＝－， 所以－＝－，即m2＝4，解得m＝±2.故选D项． 1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 答案　B 解析　由题意可得＝＝＝2.故选B项． 2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 答案　C 解析　结合平均变化率与瞬时变化率的概念可知C项正确．故选C项． 3．函数y＝x3在x＝2处的导数为________. 解析　当自变量x从x＝2变化到x＝2＋Δx时，y＝x3的平均变化率k1＝＝(Δx)2＋6Δx＋12，所以f′(2)＝ k1＝12. 答案　12 4．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝__________. 解析　f′(1)＝ ＝ ＝a. 又因为f′(1)＝3，所以a＝3. 答案　3 学科网（北京）股份有限公司 $$