4.4 数学归纳法（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．4*　数学归纳法 [学习目标] 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点　数学归纳法 1．定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__n＝k＋1__时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 2．改写形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)用数学归纳法证明题目时可以只证明归纳递推．(　　) (2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)的第一步是验证n＝3.(　　) (3)设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝＋＋＋＋＋…＋.(　　) (4)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋＋…＋<n(n≥2，且n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了2k项．(　　) 解析　(1)错误．数学归纳法的两个步骤缺一不可． (2)正确．由数学归纳法的归纳奠基知第一步是验证n＝3. (3)错误．Sk＋1＝＋＋…＋＋＋. (4)正确．由归纳递推可知左边增加了2k项． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　用数学归纳法证明等式 误区防错 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时要证明目标的表达式变形． 【例题1】 用数学归纳法证明等式＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立．综上，由(1)(2)可得，对于任意的n∈N*等式都成立． 【变式1】 用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1＝右边． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1，那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k(k＋1)·＝(－1)k·，所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 探究二　用数学归纳法证明不等式 规律总结 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论． 【例题2】 用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋≤ 1＋＋＋…＋≤ ＋k成立，则当n＝k＋1时，1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 【变式2】 试用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)． 证明　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立． (2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，即1＋＋＋＋…＋<2－. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题也成立． 由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立． 探究三　归纳—猜想—证明 规律总结 (1)“归纳—猜想—证明”的一般环节 (2)“归纳—猜想—证明”的主要题型：①已知数列的递推公式，求通项或前n项和；②由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在；③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 【例题3】 已知数列，，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解析　S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝.下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，所以当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)可知，猜想对任意n∈N*都成立． 【变式3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n≥2)，求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明． 解析　 当n＝2时，S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5；当n＝3时，S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7；当n＝4时，S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9.猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立；假设当n＝k(k∈N*)时， 猜想成立，即ak＝2k＋1，所以Sk＝＝k2＋2k，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，所以Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1，所以ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1，所以猜想成立．综上所述，对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立. 1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为(　　) A．n∈N* B．n∈N*，n≥2 C．n∈N*，n≥3 D．n∈N*，n≥4 答案　D 解析　当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立，当n＝4时，不等式64>61成立，故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须为n≥4，n∈N*.故选D项． 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是________. 解析　当n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，所以左边是1＋a. 答案　1＋a 3．用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋的过程中，f(k＋1)－f(k)＝__________. 解析　 依题意得f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋＋…＋＋，所以f(k＋1)－f(k)＝. 答案　 4．用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________. 解析　 从不等式的结构看，当n＝k＋1时，不等式左边的最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边的式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－. 答案　＋＋…＋＞－ 学科网（北京）股份有限公司 $$