4.2.2.2 等差数列前n项和的最值和综合应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的最值和综合应用 [学习目标] 1.会解决与等差数列前n项和的最值有关的问题，培养数学运算的核心素养(重点).2.掌握等差数列前n项和的综合应用，提升数学建模和数学运算的核心素养(难点).3.会用裂项相消法求和，强化数学运算的核心素养(重点)． 要点　等差数列{an}的前n项和公式Sn的函数特征 1．前n项和公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式Sn＝　n2＋n　.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的__二次__函数的图象上，即等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有__最大__值，使Sn取得最值的n可由不等式组　　确定；当a1<0，d>0时，Sn有__最小__值，使Sn取得最值的n可由不等式组　　确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有__最小__值；当d<0时，Sn有__最大__值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn.(　　) (2)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则点(n∈N*)在同一条直线上．(　　) (3)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝an2＋bn＋c，则数列{an}是等差数列．(　　) (4)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝(p＋q)处取得最大值或最小值．(　　) (5)若等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n＝－处取得．(　　) 解析　(1)错误．当公差为零时，Sn为一次函数． (2)正确．由Sn＝An2＋Bn，可知数列是等差数列，则点(n∈N*)在同一条直线上． (3)错误．当且仅当c＝0时，数列{an}才是等差数列． (4)错误．当(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时，结论才成立． (5)错误．只有当－是正整数时结论才成立． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 探究一　等差数列前n项和Sn的最值 规律总结 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． ②利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数的对应项作为正、负项的分界点． 【例题1】 已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大？ 解析　(1)方法一　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n. 方法二　由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的无常数项的二次函数，所以数列{an}是等差数列，由Sn的结构特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)方法一　令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 方法二　由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝知，距离最近的整数为16,17.又S16＝S17＝272，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 【变式1】 已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？最大值是多少？ 解析　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N*)． (2)方法一　由(1)知，a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值，最大值是25. 方法二　由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，所以{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.因为n∈N*，所以n≤5时，an>0；n≥6时，an<0，所以当n＝5时，Sn取得最大值，最大值是S5＝9×5－2×＝25. 探究二　等差数列前n项和的实际应用 答题模板 【例题2】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解析　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－，所以25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.因为500>480，所以在24小时内能构筑成第二道防线． 【变式2】 (1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布(　　) A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 (2)某中学“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元，则这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．20 B．19 C．16 D．15 解析　(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，所以S30＝＝90，即共织布90尺．故选B项． (2)由题意得，每天收到的捐款是以10为首项，10为公差的等差数列，设活动进行了n天，则10n＋×10＝1 200，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍去)，所以活动进行了15天．故选D项． 答案　(1)B　(2)D 探究三　裂项相消法求和 规律总结 用裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求出数列的前n项和．几种常见的裂项方法： (1)＝； (2)＝(－)； (3)＝； (4)＝； (5)若数列{an}是等差数列，且公差d≠0，则＝. 【例题3】 等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋. 解析　因为等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，所以前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，所以＝＝＝，所以＋＋…＋＝＝＝－. 【变式3】 已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn. 解析　因为an＝＝×，所以Sn＝＋＋＋＋…＋＋＝＝＝. 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，属于常数项为零的函数表达式，所以Sn＝n2＋2n＋1＋λ中，1＋λ＝0，即λ＝－1.故选B项． 2．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 答案　D 解析　 因为an＝26－2n，所以公差d＝an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝26－2×1＝24，所以Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.因为 n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn最大．故选D项． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　) A．35 B．32 C．23 D．38 答案　A 解析　由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.故选A项． 4．数列的前n项和为____________. 解析　记的前n项和为Sn.因为＝＝，所以Sn＝＝＝－. 答案　－ 学科网（北京）股份有限公司 $$