4.2.2.1 等差数列的前n项和公式及其性质（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式及其性质 [学习目标] 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，发展逻辑推理和数学抽象的核心素养(重点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(难点)． 要点一　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝　　 Sn＝　na1＋d　 思考：等差数列{an}的前n项和公式的推导中，运用了哪条性质？ 提示　运用性质“等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”，从而a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1. 要点二　等差数列前n项和的性质 1．“片段和”性质 若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也为__等差__数列． 2．等差数列{an}中，数列仍为__等差__数列． 3．等差数列{an}中，若Sm＝Sp(m≠p)，则__Sm＋p＝0__. 4．在等差数列{an}中，d为公差． (1)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)；S偶－S奇＝__nd__；＝　　. (2)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)；S奇－S偶＝__an__；＝　　. 5．若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝　　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　) (3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．(　　) (4)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．(　　) 解析　(1)正确．由前n项和的定义可知． (2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又因为a1＝S1＝3，所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．若Sn为等差数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． (4)正确．由等差数列前n项和公式的推导可知． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　等差数列前n项和的有关计算 规律总结 求数列的基本量的基本方法 求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理． (1)知三求一：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个． (2)知三求二：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解，体现了方程的思想． 【例题1】 已知等差数列{an}． (1)若a6＝10，S5＝5，求a8； (2)若a2＋a4＝，求S5. 解析　(1)方法一　 因为a6＝10，S5＝5，所以解得所以a8＝a6＋2d＝16. 方法二　 因为S6＝S5＋a6＝15，所以15＝，即3(a1＋10)＝15.所以a1＝－5，d＝＝3.所以a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一　因为a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，所以a1＋2d＝.所以S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 方法二　因为a2＋a4＝a1＋a5，所以a1＋a5＝，所以 S5＝＝×＝24. 【变式1】 (2023·新课标Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解析　(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d，所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d. 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， 所以S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝(舍去)， 所以an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2)因为{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即＝＋， 所以6＝＝，即a－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d， 因为d>1，所以an>0， 由等差数列的性质和S99－T99＝99知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1， 所以a50－＝1，即a－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝. 综上，d＝. 探究二　等差数列前n项和的性质 解题技巧 (1)等差数列前n项和计算的思维方法：一是通性通法；二是使用Sn和an之间的关系；三是使用前n项和“片段和”的性质；四是使用性质“也是等差数列”；五是利用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点．这五种解法从不同角度应用了等差数列及其前n项和的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决． (2)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，一般用性质来求解． 【例题2】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解析　方法一　 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得所以S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110. 方法二　 因为S10＝100，S100＝10，所以S100－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋…＋a100＝＝－90，所以a11＋a100＝－2.又因为a1＋a110＝a11＋a100＝－2，所以S110＝＝－110. 方法三　因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，所以设公差为d，则该数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22.所以前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110. 方法四　设数列{an}的公差为d，由Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)．所以数列是等差数列，其公差为.所以－＝(100－10)×，且－＝(110－100)×.代入已知数值，消去d，可以得到S110＝－110. 方法五　令Sn＝An2＋Bn，由S10＝100，S100＝10，可以得到解得所以S110＝1102A＋110B＝1102×＋110×＝－110. 【变式2】 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项和S3m. 解析　在等差数列中，因为Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，且Sm＝30，S2m＝100，所以30,70，S3m－100成等差数列，所以2×70＝30＋(S3m－100)，所以S3m＝210. 【例题3】 (1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A. B． C． D． (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________. 解析　 (1)因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，所以＝＝＝＝＝.故选A项． (2)方法一　 根据题意知，前12项中偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5. 方法二　 由题意可设前12项中偶数项的和为x，奇数项的和为y，则解得所以6d＝192－162＝30，所以d＝5. 方法三　由题意知 由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5. 答案　(1)A　(2)5 【变式3】 (1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＋＝________. (2)已知等差数列{an}的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且B－A＝45,2A＝B＋615，则an＝________. 解析　(1)因为{bn}是等差数列，故b3＋b18＝b6＋b15，所以＋＝＝＝＝＝＝. (2)设等差数列的公差为d，首项为a1，则B－A＝15d＝45，所以d＝3，因为2A＝B＋615，即2A＝A＋45＋615，则A＝660，等差数列的奇数项是以a1为首项，2d为公差的等差数列，等差数列{an}的前30项中奇数项有15项，所以A＝15a1＋×6＝660，得a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. 答案　(1)　(2)3n－1 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．－n2＋ B．－n2－ C.n2＋ D．n2－ 答案　A 解析　因为an＝2－3n，所以a1＝2－3＝－1，所以Sn＝＝－n2＋.故选A项． 2．(2023·全国甲)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25 B．22 C．20 D．15 答案　C 解析　方法一　 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，又a4a8＝(a1＋3d)·(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C项． 方法二　a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.故选C项． 3．已知在等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________. 解析　由题意得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99. 答案　99 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝________. 解析　设等差数列{an}的公差为d，根据已知条件可以得到得所以S10＝10a1＋d＝10×1＋×2＝100. 答案　100 学科网（北京）股份有限公司 $$