4.1.2 数列的递推公式与an和Sn的关系（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　数列的递推公式与an和Sn的关系 [学习目标] 1.理解递推公式的含义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握递推公式的应用，增强逻辑推理的核心素养(难点).3.会用an与Sn的关系求通项公式，增强数学运算的核心素养(重点)． 要点一　数列的递推公式 1．定义 已知一个数列的首项(或前几项)，如果这个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 2．数列的递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项__an－1__(或前几项)之间的关系 表示an与__序号n__之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 要点二　数列的前n项和 1．定义 数列{an}从第__1__项起到第__n__项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝__a1＋a2＋…＋an__. 2．公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的__序号n__ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式，于是有an＝　　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)所有的数列都有递推公式．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，都有Sn＋1>Sn，则数列{an}是递增数列．(　　) (3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 解析　(1)错误．并不是所有的数列都有递推公式． (2)错误．如常数列1,1,1,1，…，满足Sn＋1>Sn，n∈N*，但不是递增数列． (3)正确．在已知的递推公式中，令n＝1，得a2＝，而a2＝1，解得a1＝1，同理可得an＝1. (4)正确．由an与前n项和Sn之间的关系易知． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　由递推公式求数列中的项 规律总结 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. 【例题1】 写出下列数列{an}的前5项． (1)a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2，n∈N*)； (2)a1＝1，an＝3an－1＋1(n≥2，n∈N*)． 解析　(1)因为a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，所以a2＝(－1)2·2a1＝，a3＝(－1)3·2a2＝－，a4＝(－1)4·2a3＝－，a5＝(－1)5·2a4＝. (2)因为a1＝1，an＝3an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3a1＋1＝4，a3＝3a2＋1＝13，a4＝3a3＋1＝40，a5＝3a4＋1＝121. 【变式1】 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N*，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 028项？ 解析　a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.证明如下：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.所以an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.所以数列{an}是周期数列，且T＝6.所以a2 028＝a337×6＋6＝a6＝－1. 探究二　由递推公式求通项公式 规律总结 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法：若已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，则(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝an－a1＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(3)＋f(2)，即an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)． (2)累乘法：若已知a1且＝f(n)(n≥2)，则··…·＝＝f(n)·f(n－1)·…·f(3)·f(2)，即an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)． 【例题2】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋n，n∈N*，求通项公式an. (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. 解析　 (1)因为an＋1－an＝n，所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…，an－an－1＝n－1.以上各式累加得，an－a1＝1＋2＋…＋n－1＝，所以an＋1＝，所以an＝－1(n≥2)．又因为n＝1时，a1＝－1，符合上式，所以an＝－1(n∈N*)． (2)因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，所以＝，所以an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝(n∈N*)． 【变式2】 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an. 解析　将an＋1＝两边同时取倒数得＝，则＝＋，即－＝，所以－＝，－＝，…，－＝(n≥2)，把以上这(n－1)个式子累加，得－＝.因为a1＝1，所以an＝，又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝(n∈N*)． 探究三　利用an与Sn的关系求通项公式 答题模板 用an与Sn的关系求an的步骤 (1)先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式； (2)再利用Sn求出a1(a1＝S1)； (3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式； (4)写出数列的通项公式． 【例题3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5；当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1.由于a1＝－1也适合an＝4n－5，所以an＝4n－5. 答案　4n－5 【变式3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列{an}的通项公式an＝____________. 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，不满足an＝2·3n－1，所以an＝ 答案　 1．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(　　) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2) 答案　C 解析　A，B项中没有说明某一项的值，无法递推；D项中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．故选C项． 2．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 025＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 答案　D 解析　将x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再将x2＝－代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以数列的周期为2，所以x2 025＝x1＝1.故选D项． 3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an＝(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 答案　D 解析　因为an＋1－an＝－1，所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．故选D项． 4．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________. 解析　因为Sn＝，a4＝32，所以a4＝S4－S3＝32，所以－＝32，解得a1＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$