4.1.1 数列的概念及简单表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第四章　数　列 4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念及简单表示 [学习目标] 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，形成数学抽象的核心素养.2.了解数列是一种特殊函数，培养数学抽象的核心素养(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，培养数学抽象的核心素养(重点).4.掌握数列的通项公式及应用，发展逻辑推理与数学运算的核心素养(难点)． 要点一　数列及其有关概念 1．定义 一般地，把按照__确定的顺序__排列的__一列数__称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__项__.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的__第1项__(也叫做__首项__)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的__第2项__，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的__第n项__，用an表示． 2．表示 数列的一般形式是__a1，a2，a3，…，an，…__，简记为__{an}__，这里n是项数． 要点二　数列的分类 分类标准 名称 定义 按项的个数 有穷数列 项数__有限__的数列 无穷数列 项数__无限__的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都__大于__它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都__小于__它的前一项的数列 常数列 各项都__相等__的数列 要点三　通项公式 如果数列{an}的__第n项an__与它的__序号n__之间的对应关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个式子叫做这个数列的__通项公式__. 思考：是否所有的数列都有通项公式？数列的通项公式唯一吗？ 提示　不是．数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．数列的通项公式不唯一． 要点四　数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表所示. 定义域 正整数集N*或它的有限子集{1,2，3，…，n} 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 表示方法 通项公式法(解析法)、列表法、图象法 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)数列2,4,6,8，…，2n是无穷数列．(　　) (2)通项公式为an＝n＋1的数列是递增数列．(　　) (3)数列4,0，－2，－4，－6的首项是4.(　　) (4)30是数列an＝2n－1中的某一项．(　　) 解析　(1)错误．无穷数列的末尾带有…. (2)正确．an＝n＋1对应的函数y＝x＋1是增函数，所以an＝n＋1是递增数列． (3)正确．第一个位置上的数是首项． (4)错误．当2n－1＝30时，n的值不是正整数． 答案　 (1)×　(2)√　(3)√　(4)× 探究一　数列的概念和分类 规律总结 (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． (2)数列{an}的项的变化趋势：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列． 【例题1】 已知下列数列： ①2 014,2 015,2 016,2 017,2 018，2 019，2 020，2 021,2 022,2 023,2 024； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1； ⑦0,0,0,0，…； ⑧0，－lg 11，－2lg 11，－3lg 11，…，－10lg 11； ⑨1,22,32,42，…，202. 其中，有穷数列是__________，无穷数列是__________，递增数列是__________，递减数列是__________，常数列是____________(填序号)． 解析　①是有穷数列且是递增数列；②是无穷数列且是递减数列；③④是无穷数列；⑤是无穷数列，也是递增数列；⑥是有穷数列，也是常数列；⑦是无穷数列，也是常数列；⑧是有穷数列，也是递减数列；⑨是有穷数列，也是递增数列． 答案　①⑥⑧⑨　②③④⑤⑦　①⑤⑨ ②⑧　⑥⑦ 【变式1】 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ ①2 014,2 016,2 018,2 020,2 022,2 024； ②1,3,32，…，363； ③1，，，…，，…； ④－，，－，，…； ⑤0,10,20，…，1 000； ⑥9,9,9,9,9,9，…. 解析　①②⑤是有穷数列；③④⑥是无穷数列；①②⑤是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列． 探究二　由数列的前几项求通项公式 规律总结 根据数列的前几项求其通项公式时，需抓住几个方面的特征： (1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项； (2)考虑分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系； (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征； (4)拆项、添项后的特征； (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【例题2】 根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)1，－，，－，…； (2)，2，，8，…； (3)9,99,999,9 999，…. 解析　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数得，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，即10,102,103,104，…，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. 【变式2】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)a，b，a，b； (2)－，，－，； (3)，，，； (4)7,77,777,7 777. 解析　(1)数列的奇数项为a，偶数项为b， 因此通项公式可用分段形式来表示，记为an＝ (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负、偶数项为正，故an＝. (3)这个数列的前4项分别为，，，，其分母都是序号n加上1，分子都是分母的平方减去1，故an＝. (4)这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999，即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)，即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N*. 探究三　通项公式的应用 规律总结 (1)已知数列{an}的通项公式，求数列中的某一项：把n的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值． (2)已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否为该数列中的项：假定这个数是数列中的第n项，由通项公式可得方程，解方程求得n，若n是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n不是正整数，则该数不是数列中的项． (3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件． 【例题3】 数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，应是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解析　 (1)若0是{an}中的第n项，则＝0，因为n∈N*，所以n＝21，所以0是{an}中的第21项．若1是{an}中的第n项，则＝1，所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0，因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，即＝，解得m＝10，所以数列{an}中存在连续且相等的两项，分别是第10项与第11项． 【变式3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49是否是该数列的项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的项呢？ 解析　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，所以－49是该数列的第7项；令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． 探究四　数列的最值 规律总结 求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大项an，则解不等式组求出n的范围，从而确定n的值；先假设有最小项an，则解不等式组求出n的范围，从而确定n的值． 【例题4】 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×n(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由． 解析　方法一　an＋1－an＝(n＋3)×n＋1－(n＋2)×n＝n×.当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an.故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…，所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝. 方法二　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则即 解得即5≤n≤6.故当n＝5或n＝6时，{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝. 【变式4】 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8. (1)数列中有多少项为负数？ (2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项． 解析　(1)令n2－7n－8<0，解得－1<n<8，所以正整数n可取1,2,3,4,5,6,7.故数列从第1项至第7项均为负数，共7项． (2)方法一　因为y＝x2－7x－8是关于x的二次函数，其对称轴方程为x＝＝3.5，所以当1≤n≤3时，{an}单调递减；当n≥4时，{an}单调递增．所以当n＝3或n＝4时，数列{an}有最小项，且最小项为a3＝a4＝－20. 方法二　不妨设an为数列{an}的最小值，则即 解得3≤n≤4，故当n＝3或n＝4时，数列{an}有最小项，且最小项为a3＝a4＝－20. 1．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是(　　) A．12 B．13 C．15 D．16 答案　C 解析　因为3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，所以x－10＝5，21－x＝6，解得x＝15.故选C项． 2．(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．0，，，…，，… B．sinπ，sinπ，sinπ，…，sinπ，… C．－1，－，－，－，…，－，… D．1，，，…， 答案　AC 解析　A，C项既是无穷数列又是递增数列；B项是无穷数列但不是递增数列；D项是有穷数列．故选AC项． 3．已知数列{an}的通项公式为an＝log3(2n＋1)(n∈N*)，则a3＝________. 解析　a3＝log3(23＋1)＝log39＝2. 答案　2 4．已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式为____________. 解析　因为＝，＝，＝，＝，所以an＝(n∈N*)． 答案　an＝(n∈N*) 学科网（北京）股份有限公司 $$