5.1.2 导数的几何意义 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 答案　D 解析　由导数的几何意义知f′(1)＝2.故选D项． 2．曲线y＝在点(1,1)处的切线的倾斜角为(　　) A. B． C. D． 答案　D 解析　y′|x＝1＝ ＝－1，由tan α＝－1及0≤α<π，得α＝.故选D项． 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．f′(xA)与f′(xB)无法比较大小 答案　B 解析　根据导数的几何意义，由题中图象可知，f′(xA)<f′(xB)．故选B项． 4．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b＝(　　) A．3 B．－3 C．5 D．－5 答案　A 解析　因为点P(1,3)既在直线上又在曲线上，所以3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，所以3×12＋a＝k，所以a＝－1，b＝3.故选A项． 5．(多选)已知曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为(　　) A．(1,0) B．(－1，－4) C．(2,8) D．(－2，－8) 答案　AB 解析　由题意可设P0(x0，y0)， ＝ ＝ ＝3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2， f′(x0)＝ ＝3x＋1， 所以3x＋1＝4，即x＝1，所以x0＝±1.当x0＝1时，y0＝0；当x0＝－1时，y0＝－4，所以点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．故选AB项． 二、填空题 6．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________. 解析　Δy＝－1－＝，kAB＝＝－，当Δx＝1时，kAB＝－. 答案　－ 7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________. 解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1,3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2. 答案　2 8．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________. 解析　设切点为(x0，x)， f′(x0)＝ ＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0， 由题意得2x0·＝－1， 所以x0＝2，y0＝4，kl＝4， 所以l的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 答案　4x－y－4＝0 三、解答题 9．求曲线f(x)＝－在点P处的切线方程． 解析　由题意和导数的概念得 f′(4)＝lim ＝ ＝ ＝－. 故所求切线的斜率为－， 所求的切线方程为y＋＝－(x－4)，即5x＋16y＋8＝0. 10．求过点(3,5)且与曲线f(x)＝x2相切的直线方程． 解析　因为当x＝3时，f(3)＝32＝9，所以点(3,5)不在曲线y＝x2上．设切点为A(x0，x)，则在点A处的切线斜率k＝f′(x0)＝ ＝ ＝2x0，所以在点A处的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，即2x0x－y－x＝0，又因为点(3,5)在切线上，所以6x0－5－x＝0，即x－6x0＋5＝0，所以x0＝1或x0＝5，所以切点为(1,1)或(5,25)，所以切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 11．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是(　　) A. B．1 C． D．2 答案　D 解析　因为(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以1－2f(1)＋1＝0，所以f(1)＝1.又f′(1)＝，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.故选D项． 12．若函数y＝f(x)的导函数在区间(a，b)(0＜a＜b)上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 答案　A 解析　依题意，y＝f′(x)在(a，b)上单调递增，则在函数f(x)的图象上，各点处的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A项满足，B，C，D项均不满足．故选A项． 13．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________. 解析　联立曲线方程得所以两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝，得f′(1)＝ ＝ ＝，所以y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0. 答案　(1,1)　x－2y＋1＝0 14．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，则抛物线上的点到直线的最短距离为________. 解析　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．设切点坐标为(x0，x)，则f′(x0)＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 答案　 15．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 解析　存在满足条件的实数a.设切点为(t，t2＋1)，又＝＝Δx＋2t，当Δx趋于0时，趋于2t，即切线斜率k＝2t，所以切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，将(1，a)代入得t2－2t＋(a－1)＝0，因为有两条切线，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故实数a的取值范围是(－∞，2)． 16．已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的曲线段AOB上求一点P，使△ABP的面积最大． 解析　由y2＝2x及直线x＋2y－4＝0的位置关系可知，点P应位于直线x＋2y－4＝0的下方．故令y＝－，由题意知曲线在点P处的切线与直线x＋2y－4＝0平行． 设切点为(x0，y0)，所以切线的斜率k＝ ＝－，所以－＝－，所以x0＝2，所以切点坐标为(2，－2)，此时该点为抛物线上与线段AB的距离最大的点，故点P(2，－2)即为所求．所以在抛物线的曲线段AOB上存在点P(2，－2)，使△ABP的面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$