5.1.1 变化率问题和导数的概念 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　B 解析　由题意可得Δy＝－(2＋1)＝－.故选B项． 2．在平均变化率中，下列说法不正确的是(　　) A．Δx可正 B．Δx可负 C．Δx可为零 D．Δy可为零 答案　C 解析　Δx表示自变量的增量，不能为零；Δy可以为零．故选C项． 3．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　平均变化率为＝＝5.故选C项． 4．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)，当自变量增加Δx时，函数值增加Δy，则＝(　　) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 答案　B 解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx.故选B项． 5．(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　AD 解析　因为f′(1)＝ ＝t2＝4，所以t＝±2.故选AD项． 二、填空题 6．已知函数y＝(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化率是________. 解析　＝＝x0＋Δx. 答案　x0＋Δx 7．函数y＝在x＝1处的导数为________. 解析　Δy＝－1，＝＝， ＝， 所以y′|x＝1＝. 答案　 8．如果质点A按照规律s(t)＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为________. 解析　因为s(t)＝3t2，t0＝3，所以Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，所以＝18＋3Δt.所以 ＝ (18＋3Δt)＝18. 答案　18 三、解答题 9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． 解析　因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝Δx(2x＋Δx－2)，所以＝2x＋Δx－2，则f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx－2)＝2x－2，所以f′(0)＝2×0－2＝－2，f′(2)＝2×2－2＝2. 10．某物体的运动方程为s(t)＝，求其在t0＝1时的瞬时速度． 解析　根据已知条件可得s(1＋Δt)－s(1)＝－1＝＝， 故＝.所以 ＝－，即物体在t0＝1时的瞬时速度为－. 11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案　BC 解析　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A项错误，B项正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C项正确，D项错误．故选BC项． 12．设函数f(x)可导，则 ＝(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　C 解析　 ＝ ＝f′(1)．故选C项． 13．函数f(x)＝2x＋1在[－3，－1]上的平均变化率为__________，在x＝5时的瞬时变化率为__________. 解析　由题意得，函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝＝2，函数f(x)在x＝5时的瞬时变化率为 ＝2. 答案　2　2 14．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为________. 解析　因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)＝3ax2·Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6x·Δx＋3(Δx)2，所以＝3ax2＋3ax·Δx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，所以 ＝3ax2＋6x，即f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝. 答案　 15．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________. 解析　体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)． 答案　2 16．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值． 解析　当x＝4时， ＝ ＝＝，所以f′(4)＝.当x＝－1时，＝＝＝Δx－2，由导数的定义得f′(－1)＝ (Δx－2)＝－2，所以f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$