4.4 数学归纳法 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证的不等式为(　　) A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3 答案　B 解析　因为n∈N*，n>1，所以第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B项． 2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边应在n＝k的基础上加上(　　) A. B．－ C.－ D．＋ 答案　C 解析　因为当n＝k时，左边＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－，所以左边应在n＝k的基础上加上－.故选C项． 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不正确 答案　B 解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，则对n＝4,6,8，…，2m命题也成立，故该命题对所有的正偶数都成立．故选B项． 4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 答案　D 解析　用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋<n(n≥2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k(项)．故选D项． 5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立． 上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案　D 解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D项． 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________. 解析　由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故还要再证n＝k＋2时等式成立． 答案　n＝k＋2时等式成立 7．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________. 解析　由(S1－1)2＝S得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得S3＝.猜想Sn＝. 答案　 8．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出1＋＋＋…＋<________. 解析　由已知式子可知，所猜测分式的分母为n＋1，分子为3,5,7，恰好是第n＋1个正奇数，即2n＋1，所以可得1＋＋＋…＋<. 答案　 三、解答题 9．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋4＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． (2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)． 证明　(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋4＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式也成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． (2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2<2k＋1，所以2＋＝＝<＝2.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上，1＋＋＋…＋<2(n∈N*)． 10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 解析　由a1＝1，an＋1＝得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，猜想：an＝.证明如下：①当n＝1时，a1＝＝1，等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．综上可得，an＝成立． 11．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 答案　BC 解析　当n＝1时，＞不成立，当n＝2时，＋＞成立，故A项错误，B项正确；当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即＋－＝为不等式的左边增加的项，故C项正确，D项错误．故选BC项． 12．用数学归纳法证明“34n＋2＋52n＋1能被14整除”的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________________. 解析　假设当n＝k时，34k＋2＋52k＋1能被14整除，则当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25×(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2. 答案　25×(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2 13．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 答案　π 14．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a－nan＋1(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明； (2)用数学归纳法证明：当n>1时，＋＋…＋＜. 解析　(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3；由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4；由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5；由此猜想an的一个通项公式为an＝n＋1.下面证明an＝n＋1.当n＝1时，a1＝2＝1＋1，成立．假设当n＝k(k∈N*)时成立，即ak＝k＋1，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝(k＋1)2－k(k＋1)＋1＝k＋2＝(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时也成立．所以an＝n＋1. (2)证明：①当n＝2时，＋＝＋＝＜＝1，不等式成立；②假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时结论成立，即＋＋…＋＜，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＜＋＝＋＝，而－＝<0，所以＋＋…＋＋＜＝，即n＝k＋1时，结论也成立．由①和②可知，当n>1时，＋＋…＋＜. 15．是否存在实数a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 解析　取n＝1,2,3可得解得a＝，b＝，c＝.下面用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋2＝＝，即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)·(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，所以当n＝k＋1时等式成立．综合①②知当n∈N*时等式成立，故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立． 16．用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)． 证明　①当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由①和②可知，命题对一切n∈N*成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$