4.1.2 数列的递推公式与an和Sn的关系 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　) A. B． C. D．6 答案　B 解析　由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝.故选B项． 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 答案　D 解析　由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证知D项正确．故选D项． 3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 026＝(　　) A．－3 B．0 C. D．3 答案　B 解析　由题意知a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，a5＝＝－，…，由此可知an＋3＝an，所以数列{an}的周期为3，又2 026＝3×675＋1，所以a2 026＝a1＝0.故选B项． 4．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则(　　) A．an＝ B．an＝n C．数列{an}为递增数列 D．数列{an}为递减数列 答案　BC 解析　因为数列{an}满足，a1＝1，an＋1＝an，则当n≥2时，＝，＝，…，＝，所有的式子两边分别相乘得＝n，即an＝n，当n＝1 时也符合通项公式，故an＝n，数列{an}为递增数列．故选BC项． 5．如图，由火柴棒拼成的图形中，第n个图形由n个正方形组成． 通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为(　　) A．3n－1 B．3n C．3n＋1 D．3(n＋1) 答案　C 解析　设第n个图形中有an根火柴棒，通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根，……，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(a1＝4也符合此式)．故选C项． 二、填空题 6．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为__________. 解析　因为a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项之和为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝33. 答案　33 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________. 解析　因为Sn＝3＋2n，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，而n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式，所以an＝ 答案　an＝ 8．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则a100＝________. 解析　由(n－1)an＝(n＋1)an－1，得＝(n≥2，n∈N*)，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝＝5 050. 答案　5 050 三、解答题 9．已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，且a1＝1. (1)求a2，a3，a4的值； (2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项． 解析　(1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，所以a2＝4，a3＝8，a4＝13. (2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220. 10．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解析　因为anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，所以－＝1.所以当n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋1×(n－1)＝n＋1.所以当n≥2时，an＝.因为a1＝也符合上式，所以an＝(n∈N*)． 11．(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．Tn无最大值 B．an有最大值 C．T2 026＝9 D．a2 026＝1 答案　BCD 解析　因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，所以a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝3，…，因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，所以an有最大值3，a2 026＝a4＝1.因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，所以Tn有最大值9，T2 026＝T4＝9.故选BCD项． 12．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则通项公式an＝__________. 解析　由题意得an＋1－an＝ln，所以可得an－an－1＝ln(n≥2)，an－1－an－2＝ln，…，a2－a1＝ln，所以当n≥2时，an－a1＝ln＝ln n，所以an＝2＋ln n(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，所以an＝2＋ln n(n∈N*)． 答案　2＋ln n(n∈N*) 13．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________. 解析　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.经检验，当n＝1时，a1＝3不满足an＝2n.所以数列{an}的通项公式为an＝ 答案　an＝ 14．已知{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝__________. 解析　方法一　把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.因为an>0，所以an＋1＋an>0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，所以＝，所以···…·＝×××…×(n≥2)，所以＝，即当n≥2时，an＝.又因为a1＝1符合上式，所以an＝. 方法二　同方法一得＝，所以an＋1＝an，所以an＝·an－1＝··an－2＝···an－3＝…＝···…·a1＝a1(n≥2)，即当n≥2时，an＝.又因为a1＝1符合上式，所以an＝. 方法三　同方法一得＝，所以(n＋1)an＋1＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝. 答案　 15．已知数列a1，a2，a3，…，an(n∈N*)的法则如下：若an为自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3.若a1＝1，则a6＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　因为a1＝1是自然数，所以a2＝a1－2＝1－2＝－1.因为a2＝－1不是自然数，所以a3＝a2＋3＝－1＋3＝2.因为a3＝2是自然数，所以a4＝a3－2＝2－2＝0.因为a4＝0是自然数，所以a5＝a4－2＝0－2＝－2.因为a5＝－2不是自然数，所以a6＝a5＋3＝－2＋3＝1.故选C项． 16．已知数列{an}满足an＋1＝且a1＝m(m∈N*)，若a4＝4，求m所有可能的取值． 解析　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，即a3＝1，此时若a2为奇数，则3a2＋1＝1，即a2＝0(舍去)，所以a2为偶数，则＝1，即a2＝2，此时若a1为奇数，则3a1＋1＝2，即a1＝(舍去)，所以a1为偶数，则＝2，即a1＝4；若a3为偶数，则＝4，即a3＝8，此时若a2为奇数，则3a2＋1＝8，即a2＝(舍去)，所以a2为偶数，则＝8，即a2＝16，此时若a1为奇数，则3a1＋1＝16，即a1＝5，若a1为偶数，则＝16，即a1＝32.综上，m所有可能的取值为4,5,32. 学科网（北京）股份有限公司 $$