4.1.1 数列的概念及简单表示 课时作业（Word练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一、选择题 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1,1,1,1，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1,22,32，…，n2 答案　C 解析　A项是常数列；B项是递减数列；C，D项都是递增数列；D项是有穷数列；只有C项符合题意．故选C项． 2．(多选)下列数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是(　　) A．90 B．29 C．30 D．23 答案　AC 解析　因为n(n＋1)必为偶数，故排除B，D项；令90＝n(n＋1)，即n2＋n－90＝0，解得n＝9或n＝－10(舍去)，所以90是{n(n＋1)}的第9项，故A项正确；令30＝n(n＋1)，即n2＋n－30＝0，解得n＝5或n＝－6(舍去)，所以30是{n(n＋1)}的第5项，故C项正确．故选AC项． 3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* 答案　A 解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式是an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.故选A项． 4．数列，，，，…的第10项是(　　) A. B． C. D． 答案　C 解析　由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝，n∈N*，当n＝10时，a10＝＝.故选C项． 5．(多选)下列说法错误的是(　　) A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C．数列的第k项是1＋ D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数 答案　ABD 解析　数列与数集是不同的，故A项错误；由数列的有序性知B项错误；数列的定义域不一定为正整数集，也可能是正整数集的子集，故D项错误．故选ABD项． 二、填空题 6．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝__________. 解析　由已知得，数列可写成，，，，，…，故一个通项公式为an＝. 答案　 7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝__________，＝________. 解析　因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝. 答案　3－4n　 8．已知数列{an}的通项公式为an＝2 026－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为__________. 解析　由an＝2 026－3n>0，得n<＝675，又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为675. 答案　675 三、解答题 9．正整数排成如下形式： 1 2　3　4 5　6　7　8　9 10　11　12　13　14　15　16 … 则数字2 030出现在第几行第几列？ 解析　因为每行的最后一个数分别是1,4,9,16，…，可归纳出第n行的最后一个数是n2，因为452＝2 025，462＝2 116，所以2 030出现在第46行，又2 030－2 025＝5，所以2 030出现在第46行第5列． 10. 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*. (1)计算a3＋a4的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解析　(1)因为an＝，所以a3＝＝，a4＝＝，所以a3＋a4＝＋＝. (2)是该数列中的项．理由：由＝，得n(n＋2)＝120，所以n2＋2n－120＝0，所以n＝10或n＝－12(舍去)，即是数列{an}的第10项． 11．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为(　　) A.(10n－1)，n∈N* B.(10n－1)，n∈N* C.，n∈N* D.(10n－1)，n∈N* 答案　C 解析　因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33，0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，所以其通项公式为，n∈N*.故选C项． 12．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 答案　A 解析　依题意可得an＝＝，因为函数y＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以这个数列是递增数列．故选A项． 13．若数列{an}的通项公式是an＝n(n＋4)·n，且数列{an}中的最大项是第k项，则k＝__________. 解析　依题意得an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)·n＋1－n(n＋4)n＝n＝(10－n2)，所以当n≤3时，an＋1>an；当n≥4时，an＋1<an.因此a1<a2<a3<a4>a5>a6>…，故a4最大，所以k＝4. 答案　4 14．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是__________. 解析　因为数列{an}是递增数列，且an＝f(n)，n∈N*，所以即解得2<a<3.所以实数a的取值范围是(2,3)． 答案　(2,3) 15．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OA3，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N* B．an＝，n∈N* C．an＝，n∈N* D．an＝n2，n∈N* 答案　C 解析　因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….故选C项． 16．在数列{an}中，an＝. (1)求数列的第7项； (2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内； (3)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？ 解析　(1)a7＝＝. (2)证明：因为an＝＝1－，所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0,1)内． (3)令＜＜，则<n2<2，n∈N*，故n＝1，即在区间内有且只有1项a1. 学科网（北京）股份有限公司 $$