精品解析：2022年浙江省职教高考中职财会联盟第一次统考数学试题

2022年浙江省职教高考中职财会联盟第一次统考 数学试题卷 本试卷共三大题，共8页.满分150分，考试时间150分钟. 一、单项选择题（本大题共20小题，1~10小题每小题2分，11~20题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错选，多选或未选均不得分） 1. 若全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的运算解答即可. 【详解】因为全集，集合， 所以，那么， 故选：. 2. 已知命题，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】命题或，而， 则，故p是q的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知实数a、b，且，则下列不等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质，指数函数的单调性与对数函数的定义域可判断. 【详解】实数a、b，且， 以为底的指数函数为增函数，所以若，则，A选项正确； 对数函数真数大于零，若，小于零，则无法计算，B选项错误； 若，但，C选项错误； 若，则，，则，D选项错误； 故选：A. 4. 已知在，若将角α终边绕原点顺时针旋转后得到的角是第几象限角（　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】写出旋转后的角，根据角的范围确定象限即可解得. 【详解】由题，， 则绕原点顺时针旋转后为， 故旋转后的角为第三象限角， 故选：C 5. 已知直线l的倾斜角为且经过点，则直线l的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线上的点和直线倾斜角由直线点斜式方程即可解得. 【详解】由题，直线倾斜角为， 则直线斜率为， 又知过点， 则由直线点斜式方程， 即， 故选：D 6. 函数的值域是（　　） A. B. C. D. R 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定义域，然后根据二次函数性质求值域即可； 【详解】由题可知，即，解得， ，开口向下，对称轴为； 当时，取最小值，函数取最小值； 当时，取最大值，函数取最大值2； 所以函数的值域是； 故选：C. 7. 下列比较大小，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式、正弦函数的单调性，并结合角所在象限对应三角函数值的符号即可求解. 【详解】∵，而， ∴，故选项A错误. ∵，且在上是单调递减的， ∴，故选项B正确. ∵，， ∴.故选项C错误. ，，且在上是单调递减的， ∴， ∴，即.故选项D错误. 故选：B. 8. 已知点，向是，则向量=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示和坐标运算即可解得. 【详解】由题，， 则， 故选：A 9. 若点到直线的距离为4，则a的值为（　　） A. B. 6 C. 或6 D. 4或0 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可解得. 【详解】由题，，直线， 则点到直线的距离公式为：， 即， 解得或， 故选：C 10. 周六有五位参加防疫志愿活动的同学合影留念，第一排站两位同学，第二排站三位同学，则不同的站法有（　　） A. 120种 B. 24种 C. 10种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，先从五人中选两人在第一排排列，然后让剩下的三人在第二排排列，二者相乘即可. 【详解】先从五人中选两人在第一排排列即种排法； 剩下的三人在第二排排列即种排法； 一共有种排法； 故选：A. 11. 自点作圆的切线，则切线长为（　　） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到点的距离和半径，代入勾股定理可求切线长. 【详解】由题可知圆心，半径； 圆心到点的距离， 所以点在圆外； 因为切线与切点到圆心的半径垂直，并且切线长与、切点到圆心的半径构成直角三角形； 所以切线长为； 故选：A. 12. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五，六两节的容积共（　　） A. 升 B. 升 C. 2 D. 升 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式中基本量的计算即可解得. 【详解】设竹子自上而下各节容积分别为，且为等差数列，设公差为， 则由题，，即①， ②， ①②联立解得， 则五六节的容积为升， 故选：A 13. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 1或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数性质易得答案. 【详解】∵，或. 故选：D. 14. 若是的一个内角，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式，先求，再根据得出结果. 【详解】∵是的一个内角，∴，则 ∵，∴，从而. ∵， ∴. 故选：B. 15. 已知△ABC的两顶点，三角形的周长为20，则点A的轨迹方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知点A到B、C两点的距离之和为14，由椭圆的定义，可求点A的轨迹方程． 【详解】∵△ABC的两顶点，三角形的周长为20，， ∴，即， ∴，且， ∴点A的轨迹是以为焦点，长轴长为14的椭圆（除去长轴的两顶点）， ∵， ∴点A的轨迹方程是． 故选：C． 16. 下列命题正确的是（　　） A. 圆心和圆上两个点确定一个平面 B. 若直线l平行于平面α，则直线l平行于平面α内的任何直线 C. 若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任何直线 D. 过互相垂直的两条直线有且只有一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定平面的公理及推论可判断A；由线面平行的概念及两直线的位置关系可判断B；根据线面垂直的概念可判断C；根据确定平面的公理及推论，和异面直线的概念可判断D． 【详解】当圆心和圆上两个点在一条直线上时，不能确定一个平面，故A错误； 若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线没有公共点， 即直线l与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故B错误； 若直线l垂直于平面α，根据线面垂直的概念可知直线l垂直于平面α内的任何直线，故C正确； 过互相垂直且相交的两条直线有且只有一个平面； 过互相垂直且不相交的两条直线，即过互相垂直且异面的两条直线，不能确定一个平面，故D错误． 故选：C． 17. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 18. 函数图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的表达式找到其周期与最值，求出其横坐标与纵坐标之差，再利用两点距离公式即可求解. 【详解】的最小正周期为，最大值为，最小值为， ∴相邻的最高点与最低点的横坐标之差为半个周期，纵坐标之差为， ∴图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为. 故选：A. 19. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为. 已知，是方程的两根，则边c的长度为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】解方程可得，然后由余弦定理求． 【详解】方程即，则方程的两根为5和8， 由题意，不妨设，又， 由余弦定理得，则． 故选：D． 20. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界被先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出所有不超过的素数，求出随机选两个数的选法，再求出和为有几种选法，然后利用概率公式可求. 【详解】不超过的素数有，，共个数； 从中随机选取两个有种选法； 和为的有，，，，共种选法； 故随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是； 故选：D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知，则的最小值是___________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可． 【详解】已知，则， 当且仅当，即或时，等号成立， 则的最小值是12． 故答案为：12． 22. 已知函数，则=___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合诱导公式求的值，进而可得答案. 【详解】因为，所以， 而，所以 . 故答案为：． 23. 双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，实轴长为8，一条渐近线方程，则双曲线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设出双曲线的方程，根据条件求出即可. 【详解】∵双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， ∴可设双曲线的方程为， ∵实轴长为8，即，∴， ∵渐近线方程为，且一条渐近线方程， ∴，即，则， ∴双曲线的方程为. 故答案为：. 24. 若三个数x，，成等比数列，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义列出等式求解即可解得. 【详解】由题，已知成等比数列， 则， 即， 解得或， 当时，舍去， 故答案为： 25. 已知，则 __________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】将已知等式两边同时平方，然后两式相加，即可得到，再借助两角和的正弦公式化简即可求解. 【详解】∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 26. 已知展开式的常数项为60，则___________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项为，， 令，得，则展开式的常数项为， 由题意得，即，解得. 故答案为：4. 27. 若将棱长为4的一块正方体木科经过切割，打磨加工出一个体积最大的球，则这个球的体积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体内切球体积最大，结合球的体积公式即可解得. 【详解】正方体内切球体积最大， 此时球的半径， 则球的体积为， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算、组合数公式、阶乘计算方法、对数的运算、对数恒等式可求. 【详解】原式 29. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，其终边经过点. （1）求的值： （2）的值 【答案】（1）2 （2）5 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义可直接求解； （2）结合诱导公式、倍角公式及商数关系计算即可. 【小问1详解】 由已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点， 于是，. 【小问2详解】 由（1）可得， . 30. 在中.. （1）求和； （2）求AC边上的高. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据结合同角三角函数的基本关系求出，然后利用正弦定理求出，结合角B的范围和边的大小得到角A的值. （2）由求出的值，根据等面积法结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为， 由正弦定理得，则， 因为，则角B为钝角， 又，所以，则. 【小问2详解】 在中， ， 设AC边上的高为h， 则， 所以， 所以AC边上的高为. 31. 已知直线和直线的交点为P. （1）求过点P且与直线垂直的直线方程： （2）求以P为圆心且过点的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线联立求出交点坐标，再由两直线垂直则斜率互为负倒数和直线的点斜式方程即可解得. （2）根据圆心到点的距离求出半径，再由圆心和半径写出圆的标准方程即可解得. 【小问1详解】 由题，联立， 解得，即点， 又知两直线垂直，则设所求直线斜率为， ， 则，即， 根据直线的点斜式方程可得， 即所求直线方程 【小问2详解】 由题，设以为圆心的圆的标准方程为， 又知该圆过点， 则半径，， 则所求圆的方程为 32. 已知数列的前n项和. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求通项即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列的前n项和， 当时，， 当时，， ∵也适合上式， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴的前10项和为 . 33. 如图，棱长为2的正方体中，求： （1）三棱锥的体积； （2）点C到平面的距离； （3）二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出底面的面积与高，然后利用棱锥体积公式可求； （2）利用以点C为顶点的三棱锥的高为C到平面的距离可求； （3）先证明二面角的平面角为，然后求出的三边，再利用余弦定理可求. 【小问1详解】 三棱锥的体积与三棱锥体积相同， 因为为棱长为2的正方体， 所以底面，为等腰直角三角形， 则， 三棱锥的高； 则三棱锥的体积为； 【小问2详解】 由（1）知三棱锥的体积为， 若以为底，则点C到平面的距离等于三棱锥的高； 为棱长为2的正方体， 因为，，， 所以为边长为的等边三角形， ； 则以为底，三棱锥的高为； 所以点C到平面的距离等于； 【小问3详解】 因为平面，点在直线上，平面； 所以为在平面的投影， 因为，所以，，所以， 因为为平面与平面的交线，且平面，平面； 所以二面角的平面角为； 在中，， ， ； 则由余弦定理有. 34. 已知抛物线与椭圆有共同的焦点，并且两曲线交于P，Q两点（P在x轴上方），是椭圆的另一个焦点，求； （1）m的值； （2）P点坐标及的面积. 【答案】（1）9 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程求出其焦点坐标，结合题意即可知道椭圆的焦点坐标，再通过椭圆中的关系式即可求解. （2）联立抛物线与椭圆的方程，可得出两组解，根据点的位置，即可确定点的坐标，再利用焦距与点的纵坐标即可求解出面积. 【小问1详解】 ∵抛物线方程为：， ∴，∴焦点坐标为， 根据题意椭圆的焦点在轴上，且与抛物线共焦点， ∴，∴， ∴. 【小问2详解】 联立抛物线与椭圆的方程，，消去，得：， 即，，， ∵，∴舍去. 将代入，可得或， 故根据点的位置可知其坐标为：. ∴. 35. 2022年北京冬奥会的召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动. （1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米．求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围. 【答案】（1） （2）12米 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知抛物线过点，把两点坐标代入函数解析式即可求解； （2）设运动员运动的水平距离为m米，根据条件列方程求解即可； （3）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，由题意列不等式即可求解． 【小问1详解】 由题意可知抛物线过点， ∴，即，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 设当运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米， 由题意得， 整理得，即， 解得，或(舍去)， ∴当运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即小山坡坡顶的高度为米． ∵抛物线过点， ∴，即， ∴抛物线． 当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时， 可得，解得， 即b的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年浙江省职教高考中职财会联盟第一次统考 数学试题卷 本试卷共三大题，共8页.满分150分，考试时间150分钟. 一、单项选择题（本大题共20小题，1~10小题每小题2分，11~20题每小题3分，共50分）（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错选，多选或未选均不得分） 1. 若全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知实数a、b，且，则下列不等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知在，若将角α终边绕原点顺时针旋转后得到的角是第几象限角（　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 已知直线l的倾斜角为且经过点，则直线l的方程为（　　） A. B. C. D. 6. 函数的值域是（　　） A. B. C. D. R 7. 下列比较大小，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知点，向是，则向量=（　　） A. B. C. D. 9. 若点到直线的距离为4，则a的值为（　　） A. B. 6 C. 或6 D. 4或0 10. 周六有五位参加防疫志愿活动的同学合影留念，第一排站两位同学，第二排站三位同学，则不同的站法有（　　） A. 120种 B. 24种 C. 10种 D. 6种 11. 自点作圆的切线，则切线长为（　　） A. B. C. D. 5 12. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五，六两节的容积共（　　） A. 升 B. 升 C. 2 D. 升 13. 若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 1或4 14. 若是的一个内角，，则的值为（　　） A. B. C. D. 15. 已知△ABC的两顶点，三角形的周长为20，则点A的轨迹方程是（　　） A. B. C. D. 16. 下列命题正确的是（　　） A. 圆心和圆上两个点确定一个平面 B. 若直线l平行于平面α，则直线l平行于平面α内的任何直线 C. 若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任何直线 D. 过互相垂直的两条直线有且只有一个平面 17. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 18. 函数图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为（　　） A. B. C. D. 19. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为. 已知，是方程的两根，则边c的长度为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 20. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界被先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 已知，则的最小值是___________. 22. 已知函数，则=___________ 23. 双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，实轴长为8，一条渐近线方程，则双曲线方程为___________. 24. 若三个数x，，成等比数列，则___________. 25. 已知，则 __________. 26. 已知展开式的常数项为60，则___________ 27. 若将棱长为4的一块正方体木科经过切割，打磨加工出一个体积最大的球，则这个球的体积是___________. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明及演算步骤） 28. 计算： 29. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，其终边经过点. （1）求的值： （2）的值 30. 在中.. （1）求和； （2）求AC边上的高. 31. 已知直线和直线的交点为P. （1）求过点P且与直线垂直的直线方程： （2）求以P为圆心且过点的圆的方程. 32. 已知数列的前n项和. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前10项和. 33. 如图，棱长为2的正方体中，求： （1）三棱锥的体积； （2）点C到平面的距离； （3）二面角的平面角的余弦值. 34. 已知抛物线与椭圆有共同的焦点，并且两曲线交于P，Q两点（P在x轴上方），是椭圆的另一个焦点，求； （1）m的值； （2）P点坐标及的面积. 35. 2022年北京冬奥会的召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动. （1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米．求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $