第3章 习题课3 波的图像和多解问题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册（教科版2019）

习题课三　波的图像和多解问题 [学业要求与核心素养] 科学思维 1．能根据某一时刻波的图像和波的传播方向，画出下一时刻和前一时刻波的图像。 2．会用公式v＝λf解答实际的波动问题。 3．掌握波在传播过程中的周期性和双向性。 探究点一　波的图像的理解和画法 1．波的图像是机械波中的一个重要内容，以机械波的图像为载体，考查波动这一“群体效应”与振动这一“个体运动”的内在联系的试题，常是高考命题的热点之一。常见问题一般包含如下几种类型：根据波的传播方向确定各质点振动方向；画出经过t时间后的波形；利用波动图像的周期性解决波的问题。 2．在解决关于波的图像问题时，应注意以下几点： (1)波的传播方向的双向性：在题目未给出传播方向时，要考虑到波沿x轴的正方向和沿x轴的负方向传播的两种可能性。 (2)波的图像的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，也就是说，每经过一个周期波形重复出现一次。从而使题目的解答出现多解的可能，即存在系列解。 　图甲中的O点为某波源的位置，该波源从t＝0时刻开始振动的振动图像如图乙所示，产生的横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，已知波速v＝2 m/s。 (1)求该横波的波长； (2)写出波源的振动方程； (3)请在图甲中画出t＝1.5 s时的波动图像。 [解析]　(1)由图像得：横波的周期为T＝2 s，波长λ＝vT，解得λ＝4 m。 (2)由于ω＝＝πrad/s，波源的振动方程为y＝4sin πt(cm)。 (3)经1.5 s，波向前传播3 m，开始起振的方向为向上，则波形图如图： [答案]　(1)λ＝4 m　(2)y＝4sin πt cm　(3)见解析图 ●核心素养·思维升华 根据某时刻的波形，画出另一时刻的波形的方法 (1)波形平移法：当波传播距离x＝nλ＋Δx时，波形平移Δx即可。 (2)特殊质点振动法：当波传播时间t＝nT＋Δt时，根据振动方向判断相邻特殊点(波峰处质点，波谷处质点，平衡位置处质点)振动Δt后的位置进而确定波形。应用波形平移法时一定要注意平移的是波的形状而不是质点的位置，每个质点都是在各自的平衡位置附近上下振动，并不随波形迁移。从这个角度说，用特殊质点振动法更能体现各个质点的振动和所有质点波动的关系。 1．一列横波t＝0时刻的波形如图甲所示，Q点是x轴正方向上离原点5 m处的质点(图中未画)。图乙表示介质中P质点此后一段时间内的振动图像，求： (1)此横波的波速多大？ (2)假设t＝0时刻此横波刚传到P点，从该时刻开始计时经过时间t＝8 s，试确定质点Q所通过的路程大小。 (3)试画出t＝8 s时刻的波形图。 解析　(1)根据图像可知，横波的周期以及波长分别为T＝4 s，λ＝2 m，则横波的波速为v＝，解得v＝0.5 m/s。 (2)因为波是匀速传播，所以此横波从该时刻传到Q点经历的时间t＝＝ s＝6 s，Q质点振动2 s，即半个周期，所以Q质点的路程为s＝2A＝8 cm。 (3)t＝8 s时刻的波形图如图所示 答案　(1)0.5 m/s　(2)8 cm　(3)见解析图 2．一列简谐波沿x轴正方向传播，t＝0时波形如图甲所示，已知在0.6 s末，A点恰第四次(图中为第一次)出现波峰，求： (1)该简谐波的波长、波速分别为多少？ (2)经过多长时间x＝5 m处的质点P第一次出现波峰？ (3)如果以该机械波传到质点P开始计时，请在图乙中画出P点的振动图像，并标明必要的横、纵坐标值，至少画出一个周期的图像。 解析　(1)由题图可知λ＝2 m，T＝ s＝0.2 s， v＝＝10 m/s。 (2)波峰传到P点，t＝＝ s＝0.45 s。 (3)由题图甲可知，质点起振的方向为经平衡位置在向下振动，振动图像如图所示。 答案　见解析 探究点二　波的多解问题 1．造成波的多解的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。 ②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 2．波动问题的几种可能性 (1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 (2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能。 (3)只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能。 (4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。 　一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上相距0.5 m的两质点，如图甲所示。两质点的振动图像分别如图乙、丙所示。 (1)若波速为2.5 m/s，求该波的波长λ； (2)若该波的波长λ满足关系0.2 m<λ′<0.3 m，求可能的波速v。 [解析]　(1)由题意可知周期T＝0.8 s，根据v＝可得该波的波长λ＝vT＝2.5×0.8 m＝2 m。(2)若波由a向b方向传播，则有λ＝0.5(n＝0、1、2、3…)可得λ＝(n＝0、1、2、3…)，当n＝1时，可得波长为λ1＝ m，满足0.2 m<λ1＝ m<0.3 m，此时的传播速度为v1＝＝ m/s；若波由b向a方向传播，应满足λ＝0.5(n＝0、1、2、3…)可得λ＝(n＝0、1、2、3…)，当n＝2时λ2＝ m，满足0.2 m< m<0.3 m，此时的传播速度为v2＝＝ m/s。 [答案]　(1)2 m　(2)波由a向b方向传播速度为 m/s，波由b向a方向传播速度为 m/s [变式]　在例题中： (1)请写出b点的振动方程； (2)若该波在该介质中传播的速度为5 m/s，求该波的波长； (3)若该波的波长大于0.3 m，求可能的波速。 解析　(1)由图丙可知，周期与振幅分别为0.8 s和10 cm，b点在t＝0时位移为－10 cm，则振动方程为y＝10sin cm。 (2)由图像得周期T＝0.8 s，波速v＝5 m/s，波长为λ＝vT＝5×0.8 m＝4 m。 (3)该波的波长大于0.3 m。若波由a向b方向传播，有λ1＝0.5 m，v1＝，解得v1＝ m/s，若波由b向a方向传播＝0.5 m，v2＝，解得v2＝2.5 m/s或者λ3＝0.5 m，v3＝，解得v3＝0.5 m/s。 答案　(1)y＝10sin cm　(2)4 m　(3) m/s,2.5 m/s,0.5 m/s ●核心素养·思维升华 解决波的多解问题的方法 (1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。 (2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。 3．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是(　　) A．7 m/s　　　　　　 B．2 m/s C．1.2 m/s D．1 m/s 解析　若波沿x轴正向传播，则λ＋nλ＝6 m，故λ＝ m(n＝0.1,2…)，由振动图像可知波的周期T＝4 s，故波速v＝m/s(n＝0,1，2…)，当n＝1时，v＝1.2 m/s，当n＝0时，v＝6 m/s。 若波沿x轴负向传播，则λ＋nλ＝6 m，故λ＝ m(n＝0,1,2…)，则波速v＝m/s(n＝0,1,2…)，当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v＝m/s，故选项B、C正确。 答案　BC 4. 如图，在均匀介质中有一个处于同一水平面上的直角三角形ABC，θ＝37°，AB＝9 m。其中波源位于A点作上下振动，振幅为8 cm，其产生的波在此水平面上传播。某一时刻(记为t0＝0)时B处质点正处在波峰，而C处质点此刻位移为＋4 cm且向下振动，经t1＝0.01 s，B处质点位移第一次到＋4 cm。cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，求： (1)波源振动周期T； (2)机械波传播的速度。 解析　(1)t0＝0时，B质点处于波峰，故设B质点的振动方程为y＝8sin 经t1＝0.01 s，B处质点位移第一次到y1＝4 cm，代入上述方程，可解得T＝0.06 s。 (2)如图所示，根据几何关系，可知在AC连线上距离A点9 m的B′点的振动情况与B相同，则t0＝0时B′处质点也正处在波峰。质点B从波峰到达＋4 cm处用时0.01 s，则C质点从＋4 cm向下运动到第一次回到波峰用时为t2＝0.05 s，即质点C落后B的时间为Δt＝t2＋nT＝T＋nT(n＝0,1,2，3，…)，故有B′C＝vΔt＝v(T＋nT)＝AC－AB′＝－AB＝6 m(n＝0,1,2,3，…)，又因为波速为v＝，即λ＋nλ＝6 m(n＝0,1,2，3，…)，解得v＝ m/s(n＝0,1,2,3，…)。 答案　(1)0.06 s　(2) m/s(n＝0,1,2,3，…) 1．(多选)(波的图像及振动图像)图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图像。从该时刻起(　　) A．经过0.35 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离 B．经过0.25 s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度 C．经过0.15 s时，波沿x轴的正方向传播了3 m D．经过0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向 答案　AC 2. (多选)(波的多解性)如图所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方与a点相距0.15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是(　　) A．0.6 m　　　　　 B．0.3 m C．0.2 m D．0.1 m 解析　由题意可知，a、b间的距离为半波长的奇数倍，即：xab＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，解得：λ＝＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝0时，λ＝0.3 m，选项B正确；当n＝1时，λ＝0.1 m，选项D正确；波长不可能等于0.6 m和0.2 m，选项A、C错误。 答案　BD 3．(多选)(波的多解性)如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线是这列波在t＝0.2 s时刻的波形图。则(　　) A．这列波的周期可能是1.2 s B．这列波的波长为12 m C．这列波可能向左传播4 m D．这列波的波速可能是40 m/s 解析　由题图可知，该波的波长为λ＝12 m，设波的周期为T。若波向右传播，则有：t＝T1，得T1＝＝s(n＝0,1，2…)，波速为v＝＝20(3n＋2)m/s(n＝0,1,2…)，当n＝0时，波速v＝40 m/s；若波向左传播， 则t＝T2，得T2＝s(n＝0,1,2…)，波速为v＝20(3n＋1)(n＝0,1,2…)。由以上公式可知，周期不可能为1.2 s，波速可能为40 m/s，故A错误，B、D正确；根据波形的平移法可知，这列波可能向左传播4 m，故C正确。 答案　BCD 4．(波的图像及波的传播)图甲为某一列简谐波t＝t0时的波形，图乙是这列波上P点从这一时刻起的振动图像。 (1)求波的传播方向及传播速度； (2)画出经2.3 s后波的图像，并求P质点的位移和P质点运动的路程。 解析　(1)由图像可知t＝t0时刻P质点由平衡位置向下运动。由此可确定波沿x轴正方向传播。由图像可知λ＝2 m，T＝0.4 s，v＝＝5.0 m/s； (2)T＝0.4 s，Δt＝2.3 s＝T，经2.3 s后的波形如图所示。 P质点的位移为10 cm，路程s＝5×4A＋3A＝2.3 m。 答案　(1)沿x轴正方向传播　5.0 m/s (2)见解析图　10 cm　2.3 m 学科网（北京）股份有限公司 $$