4.2.1.2 等差数列的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa L.已知等差数列{au}的通项公式为an=3一2n B.若a,b,c成等差数列，则log2a,logb,logc (n∈N”),则它的公差d为 ( 成等差数列 A.2 B.3 C.-2 D.-3 C.若a,b,c成等差数列，则a十2，b十2，c十2成 2.已知在△ABC中，三个内角A,B,C成等差数 等差数列 列，则B= ( D.若a,b,c成等差数列，则2,2,2成等差 数列 A.30 B.60° C.90° D.120° 4.已知3十1与3一1的等差中项为a,等差数列 3.(选)下列命题中正确的是 ( {an}的通项公式为an=3n+1(n∈N·),公差 A.若a,b,c成等差数列，则2a,2b,2c成等差 为d,则a十d 数列 提示完成P,课时作业（三） 第2课时 等差数列的性质 [学习目标]1.掌握等差数列的有关性质，提开数学抽象的核心素养（重点），2.能灵活运用等差数列的性质解 决间题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养（难点），3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决 相应的问题，提升数学建模和数学运算的核心素养（重点） 必备知识基础落实 答素见Pa 要点一等差数列的常用性质 常数)，{c·au}是公差为cd的等差数列(d 1.等差数列通项公式的变形及推广 为任一常数)，{an十a+}是公差为 的 (1)a.=dn十(a1一d)(n∈N),其几何意义是 等差数列(k为常数，k∈N),{pa.十gb}是以 点(n,an)均在直线y=dx十(a1一d)上. pd十gd:为公差的等差数列(p,q为常数). (2)an=am十 (m,n∈N”),用这个公 5.若{an}是以d为公差的等差数列，则a,a+m, 式可以通过任一项及公差直接得到通项公式， a+m,…(k,m∈N)组成公差为 的等 不必求a. 差数列. (3)d=a,a(m,n∈N,且m≠n),即为直线 n-m 要点二 由函数的图象可得等差数列的单调性 的斜率公式k=业二出，可用来由等差数列任 当d>0时，数列{an}为 (如图1)： x-T 当d<0时，数列{aw}为 (如图2)： 两项求公差 2.若{a.}是等差数列，且k十1=m十n=2p(k,1, 当d=0时，数列{an}为 (如图3). m,n,p∈N”),则ae十a=am十an=2ap 3.若{an}是等差数列，则2am=an-1十am1,a1十 2 aw=d2十ar-1=ds十n2=… -101234 -2-10234 2-101234 4.若{an},{h}分别是以di,d2为公差的等差数 列，则{c十an}是公差为d,的等差数列(c为任 图1 图2 图3 ·14… 第四章数列 >思考：已知数列{an}是等差数列，当ap十a= 辨析 2am时，是否也一定有p十q=2m成立？ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)若{aw}是等差数列，则{|a.I}也是等差 数列 () (2)若{|am}是等差数列，则{an}也是等差 数列 () (3)等差数列{a.的单调性与公差d有关() (4)数列{au}的通项公式为aw=3n十5，则数 列{a.}的公差与函数y=3.x十5的图象的斜率 相等。 () 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 等差数列性质的应用 【变式1】(1)已知{a.}为等差数列，且a十a:十 a十a6+a,-450,则a2十as 规律总结 (2)设数列{an},(bn}都是等差数列，若a十 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵 b1=7,aa十b=21,则a6十b= 活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项 公式，转化为等差数列的首项与公差进行求 解，属于通用方法：或者兼而有之，这些方法 都运用了整体代换与方程思想. 【例题1】(1)已知在等差数列{an}中，a十a,=6, 则a1十a2十aa十aa十a5= A.30 B.15 探究二 灵活设元解等差数列 C.5w6 D.106 (2)设{an},{bn}都是等差数列，且a1=25, 规律总结 b1=75,a2十b2=100,则a知十b= 等差数列的设项方法与技巧 A.0 B.37 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内 C.100 D.-37 容时，可直接设首项为a1,公差为d山，利用已知 条件建立方程求出a和d,即可确定数列. (2)当已知数列有2n项时，可设为a一(2n 1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+ (2n一1)d,此时公差为2d. (3)当已知数列有2n十1项时，可设为a nd,a-(n-1)d,,a-d,a,a十d,…,a十 (n一1)d,a十md,此时公差为d. 15 数学选择性必修第二册课堂学案 【例题2】已知递减等差数列{a.}的前三项和为 【例题3】某公司2023年生产一种数码产品，获 18,前三项的乘积为66，求数列的通项公式， 利200万元，从2024年起，预计其利润每年 并判断一34是否为该数列的项。 比上一年减少20万元，按照这一规律，如果 该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试 计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出 现亏损？ 【变式2】已知5个数成等差数列，它们的和为5， 平方和为曾求这5个数。 【变式3】《周牌算经》中有这样一个问题：冬至、 小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日 起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日 影长为10.5尺，立夏当日日影长为4.5尺， 探究三等差数列的实际应用 则春分当日日影长为 A.4.5尺 B.5尺 规律总结 C.5.5尺 D.7.5尺 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学（数列）问题： (2)构造等差数列模型（明确首项和公差）： (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题. 随堂检测学以致用 答案见P 1.在等差数列{an}中，a1=2,a十as=10,则a,= 3.在等差数列{a.}中，a,au是方程x2一3x一5= 0的两个根，则as十as= A.5 B.8 C.10 D.14 4.在等差数列{an}中，已知am=n,an=m,m,n∈ 2.在等差数列{a.}中，a1十us=10,则as的值为 N,则am+w的值为 是示完成P,课时作业（四） A.5 B.6 C.8 D.10 ·16·[例题2]析方法一 设该等差数列的前三项为a一d,a,a十 2 d.则(a-d)+a十(a+d)-3a-18,解得a-6.又前三项的 3+3. 秉积为66,所以6×(6十d)(6-d)-66,解得d-士5.由于 智3十3 该数列为递减数列,所以d-一5,且首项为11,所以通项公 第2课时 等差数列的性质 式为a=11+(-1)x(-5)--5n+16.令-5n+16--34 必备知识·基础落实 解得n-10.所以一34是数列(a。的第10项。 a十a:+a-18.即 要点一 方法二 根据所给已知条件可得 1.(2)(n-m)d la·a:·a-66. 3a+3d-18. 4.2di [a-11, /a=I, 解得 或 --5 a.(+d)·(a+2d)-66. 5.nd -5. 要点二 因为数列a.)是递减等差数列,所以d<0.故a-11,d- 递增数列 递减数列 常数列 -5,所以a.-11+(n-1)x×(-5)=-5n+16,即等差数列 [思考]不一定,设公差为d,当a;十a。=2a.。时,因为a,十 (a)的通项公式为a.=-5n+16.令a.=-34,即-5n+ =a+(p-1)d]+[a+(q-l)d]=2a+(+q-2)d, 16--34,解得n-10.所以一34是数列{a)的第10项. 而2a -2a +2(m-1)d,所以2a+(+q-2)d-2a + [变式2]设第3个数为a,公差为d,则这5个数分别为 $(m-1)d,即(p+q-2)d-2(m-1)d,显然当d-0时,当 a-2d,a-d,a,a十d,a+2d.由已知条件可以得到 且仅当2(m-1)=+q-2时,(+q-2)d-2(m-1)d成 (a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)-5. 立,即此时必有b十q-2m;而当d-0时,则对于任意的 . (a-2d)”十(a-d)*+a十(a十d)”十(a+2):-85. 9' q,m都有(p+q-2)d-2(m-1)d成立,此时不一定有 + -2m,即对常数列,当a.+a-2a.时,p+q=2m不一定 5a-5. 成立。 理得 [辨析]解(1)错误.如一2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对 值不是等差数列. 5个数分别是-1,,1.,:当-时,这5个数# (2)错误,如数列一1,2,-3,4,一5的绝对值为等差数列, 分别是7,,1..综上,这5个数分别是一 但其本身不是等差数列. (3)正确,当d0时,为递增数列;当d一0时,为常数列;当 #### d~0时,为递减数列. (4)正确,a.-3n+5的公差d-3,而直线y-3x+5的斜率 [例题3]期记2023年为第1年,由题设可知第1年获利200 也是3. 万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,.....则 答(1)× (2)X (③) (4) 该公司每年获得的利润构成等差数列a。),且当a.0时, 关键能力·素养提升 该公司生产此产品将出现亏损,设第n年的利润为a。,因为 [例题1]解(1)因为数列(a.)为等差数列,a十a一6,所以 a-200,公差d--20,所以a.=a+(n-1)d-220 a+a:+a+a+a=(a+as)十(a十a)+a= 20n.由题意知数列a.为递减数列,令a。<0,可得220- 20n~0,解得”11,所以从第12年起,即从2034年开始, a)-x6-15.故选B项. 该公司生产此产品将出现亏损. (2)设c.一a。十b,由于{a},b都是等差数列,则c]也 [变式3]D 解设十二节气自冬至日起的日影长构成的等 是等差数列,且c=a+b-25+75-100,c=a+b= 差数列为(a。),则立春当日日影长为a一10.5,立夏当日日 100,所以c。)的公差d-c-c-0,所以c-l00,即a-+ 影长为a。一4.5,所以春分当日日影长为a= b-100.故选C项. 答案(1)B(2)C a)-7.5.故选D项 [变式1](1)因为a十a.十a+a十a-450,由等差数列 随堂检测·学以致用 的性质知a+a-a+a-2a,所以5a-450,所以a= 1. B 解桐由a+a=a+a-可得a=l0-2-8.故选B项 . 90.所以a+a-2a-180. 2.A 解由等差数列的性质,得a,十a。一2a,又因为a (2)方法一 设数列a。),{b.)的公差分别为d,d:,因为 a-10,即2a;-10,所以a-5.故选A项. a+b=(a +2d )+(b+2d)-(a +b)+2(d+d)= 3.由根与系数的关系得a十a一3,又a。)是等差数列, 7+2(d,+d)-21,所以d+d-7,所以a:+b.-(a+ 所以a+a=as+a。-3. b)+2(d+d)-21+2x7-35. 3 方法二 因为数列a。),b。)都是等差数列,所以数列a。十 4.设等差数列的公差为d,则d-二n--1,从 b.也构成等差数列,所以2(a十b)一(aì十b)十(as十 m-nn-n b),所以2×21-7+a+b,所以a+b-35. 而a.=a。+(m+n-m)d-n+n.(-1)-0. 答案(1)180(2)35 0 ·136.