4.2.1.1 等差数列的概念及简单表示-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4.2等差数列 m）=20十16=36，所以m十n=12,所以m”=6,即m和n 2 的等差中项是6. 4.2.1等差数列的概念 答率6 第1课时等差数列的概念及简单表示 (2运明：因为，。，是等差就列：所以号-日十日即 a'b'c 必备知识·基础落实 2ac=b(a十c).因为c+a+b=ch++aa+) 要点一 a ac 1.2常数公差 d2+2+b(a+e2-d+2+2c=2a+c2=2a+e,所 ac b(a-c) b 要点二 A 2A 以什，十，a十也也是等差数列. ab 要点三 [变式2]解析由五=3，得2p十q=3.由x4=2p+4g,x= a1+(n-1)d 2p+5g,且1+=2.t1,得3+2p+5g=2p+84,即g [思考]提示还可以用累加法，过程如下：因为ag一a=d,a一 1.将g=1代入2p+q=3,得p=1.故p=1,g=1. ag=d,a:-a=d,…,am一a。-1=d(n>2),将上述(n-1) [例题3别团翻方法一周为61= 1 个式子相加得an一a,=(n一1)d(n≥2)，所以am=a,+ a1-2（4-）-2 (n-1)d(n≥2)，当n=1时，a1=a1+(1一1)d,符合上式， 1 所以an=a+(n-l)d(n∈N"）. dn-2 2a2,所以1-6=2a.2a.—22d.-2) [辨析]解析(1)错误.若这些常数都相等，则这个数列是等差 数列：若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列. 之∈N)为常数又6=2之所以截到6是省 (2)正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N都有 项为2，公差为7的等差数列。 2au+1=am十ag+g成立. (3)正确.若a,b,c满足2b=a十c,即b-a=c-b,故a,b,c 方法二依题意，因为6，=1 a.-2所以61=。1 a1-2 是等差数列， (4)错误.由等羞数列的定义知，该数列从第二项起才是等 2(a。-2 差数列 答案(1)×(2)√(3)√(4)× 44 .所以十 关键能力·素养提升 所以61=2a1-224-1-2）a- [例题1]解扬(1)因为am=a:十(n-1)d,所以-1十3(1-1)= 2024,解得n=676.故选D项。 64-2012+2号-2×20②=0所以么十 (2)因为首项1=40，公差d=一3，所以a,=40一3(n-1)= b+2=2b+1(n∈N),所以数列{bn}是等差数列. 43-3L令a,=格-3<0，解得n>经因为nEN,所以 [变式3]照霸(1数列侵}是等差数列，里由知下：因为山 n≥15，即第一个负数项是第15项.故选C项」 2@,2所以14十22+所以1 2a (3)设首项为41，公差为d,则 a+2=12,解得 a=2, la+5d-27. 故 d=5, 是-N),所以}是项-公盖=的 a.=2+5(n-1)-5n-3. 等差数列. 答系(1)D(2)C(3)a.=5m-3 (2)由1)可知=十(n-1Dd=受，所以a,=员 [变式1]解扬()由a,=a十6d,得8=a1+6×(-子人，解 4w41 随堂检测·学以致用 得a1=10. 1.C解析由等差数列的定义，得d=a2一4=一1一1=一2. (2)设公差为d,由@+a=8 2a1+2d=8, 即 得 a1=2, 故选C项 a=8, la1+3d=8, d=2. 2.B解析因为A,B,C成等差效列，所以B是A,C的等差中 从而am=2+(n-1)X2=2n1,所以44=2×6=12. 项，则有A十C=2B,又因为A十B+C=180°，所以3B= aw=+9d 180°，从而B=60°.故选B项. (3)由题意可得 解得<dK品故此等 3.AC解析A项中，因为a,b,c成等差数列，所以2b=a十c, a=25+81 所以2·(2b)=2a十2c,所以2a,2b,2c成等差数列，故A项 差载到的公差山的取值范国是（号，房] 正确：C项中，因为a,,c成等差数列，所以2b=a十c,所以 2(6+2)=(a+2)+(c+2),所以a+2,b+2,c+2成等差数 m+2n=8×2=16, 列，故C项正确：B,D项中，由2b=a十c不能得到2l0gb= [例题2]解析(1D由题意得 所以3(m十 2m+n=10×2=20, l0ga十log2c与2×2=2十2，故B,D项不正确.故选AC项. ·135· 4.解损由题意可得a=B+13-1-5d=3.所以4十d [例题2]解析方法一设该等差数列的前三项为a一d,a,a十 2 d,则(a-d0十a+(a十d)=3a=18,解得a=6.又前三项的 3+3 乘积为66，所以6×(6十d)(6-d)=66,解得d=士5.由于 答系3十√3 该数列为递减数列，所以d=一5，且首项为11，所以通项公 第2课时等差数列的性质 式为a,=11+(n-1)×(-5)=-5十16.令-5m+16=-34, 必备知识·基础落实 解得n=10.所以一34是数列{an}的第10项. 要点一 方法二根据所给已知条件可得@十a十a=18·即 1.(2)(n-m)d a1·a·a=66, 4.2d1 3a1+3d=18. 5.md a·（@十D.a十20=6.解得-. d=-5 （dl=5. 要点二 因为数列{an}是递减等差数列，所以d<0.故a1=1l,d 递增数列递减数列常数列 一5，所以4m=11十(n一1)×（一5）=一5n十16，即等差数列 [思考]提园不一定.设公差为d,当an十ag=2aw时，因为a十 {am}的通项公式为am=-5n十16.令au=-34,即-5n十 a,=[a+(p-1)d]+[a+(q1)d]=2a+(p+g-2)d, 16=-34,解得n=10.所以一34是数列{aw}的第10项. 而2am=2a1+2(m-1)d,所以2a1+(p+q-2)d=2a+ [变式2]解析设第3个数为a,公差为d,则这5个数分别为 2(m-1)d,即(p十q-2)d=2(m一1)d,显然当d≠0时，当 a-2l,a-d,a,a十d,a十2d.由已知条件可以得到 且仅当2(m-1)=p十g-2时，(p十q-2)d=2(m-1)d成 r(a-2d)+(a-d0+a+(a+d0+(a+2d0=5, 立，即此时必有p十g=2:而当d=0时，则对于任意的p, g,m都有(p+g一2)d=2(m一1)d成立，此时不一定有p十 a-2u*+(a-0+a+(a+0+(a+2=5,整 q=2m,即对常数列，当ap十ag=2aw时，p十q=2m不一定 /5a=5, 成立 理得 d+10=5,解得a=l,d=士导当d=号时，这 [辨析]解析(1)错误.如一2，一1,0,1,2是等差数列，但其绝对 9 值不是等差数列. 5个戴分别是一寻，分1，号，子：当d=一号时，这5个数 11 5.7 (2)错误.如数列一1,2，一3,4，一5的绝对值为等差数列， 但其本身不是等差数列. 分别美号号1，分合：蜂上，这5个放分别是-合 (3)正确.当d>0时，为递增数列：当d=0时，为常数列：当 d0时，为道减数列。 (4)正确.a,=3m十5的公差d=3,而直线y-3x+5的斜率 [例题3]解析记2023年为第1年，由题设可知第1年获利200 也是3 万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…则 答率(1)×(2)×(3)√(4)/ 该公司每年获得的利润构成等差数列{a.},且当an<0时， 关键能力·素养提升 该公司生产此产品将出现亏损.设第n年的利润为。，因为 [例题1门解析(1)因为数列(a.}为等差数列，aa十a1=6,所以 a1=200,公差d=-20,所以a.=a1+(n-1)d=220 2十a,+a4+as=(a+as)+(ae十a)十a,=号} 20m.由题意知数列{an}为递减数列，令an<0,可得220 20<0,解得n>11,所以从第12年起，即从2034年开始， a)=号×6=15.故选B项. 该公司生产此产品将出现亏损。 (2)设cw=am十bn,由于{aa},{bn}都是等差数列，则{cw)也 [变式3]D解析设十二节气自冬至日起的日影长构成的等 是等差数列，且1=a1十=25+75=100，c2=a:十，= 差数列为(am},则立春当日日影长为a4=10.5,立夏当日日 100,所以{cn}的公差d=ca一=0，所以cr=100,即am十 影长为ao=4.5,所以春分当日日影长为a,=豆(a,十 b1=100.故选C项. am)=7,5.故选D项. 答案(1)B(2)C [变式1]解析(1)因为a+a,十as十a+a,=450,由等差数列 随堂检测·学以致用 的性质知a1十a?=a十as=2a,所以5=450，所以a5= 1.B解析由a十a=a1十a可得a:=10-2=8.故选B项. 90.所以a2十ag=2as=180. 2.A解析由等差数列的性质.得a1十a=2a,又因为a1十 (2)方法一设数列{am},{b,}的公差分别为d,d,因为 am=10,即245=10，所以a5=5.故选A项. aa+b=(a1+2d)+(b1+2d2)=(a1+b)+2(d1+d2)= 3.解析由极与系数的关系得a1十ao-3,又{aw}是等差数列， 7+2(d1十k)=21,所以山1+d=7,所以a+6=(a十 所以a5十ag=as十a1o=3. )+2(d1+d)=21+2×7=35. 答率3 方法二因为数列(an},{b}都是等差数列，所以数列{an十 }也构成等差数列，所以2(a1十b)=(a+h)十(a十 4.解析设等差数列的公益为山，则d=二0=”一m=一1，从 加一nn一n 6),所以2×21=7十a:十6，所以a十G=35. 而ar+m=a十(m十n-m)d=n十n·(-1)=0. 答率(1)180(2)35 答率0 ·136·第四章数列 4.2等差数列 4.2.1等差数列的概念 第1课时等差数列的概念及简单表示 「学习目标]1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，发展数学抽象的核心素养（重难 点).2.体会等差数列与一元一次函数的关系，增强逻辑推理的核心素养，3.掌握等差数列的判定方法，增强逻 辑推理和数学运算的核心素养（重点）」 必备知识基础落实 答案见P 要点一 等差数列的概念 要点四 等差数列与一次函数的联系与区别 1.文字语言 等差数列 一次函数 一般地，如果一个数列从第 项起，每一 解析 a,=dn+(a-d) f(x)=dx+(a 项与它的前一项的差都等于同一个 式 (n∈N) d)(d≠0，x∈R) 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 当d≠0时，解析式是 相同 解析式是关于自变 等差数列的 ,公差通常用字母d表 关于自变量n的一次 点 量x的一次形式 形式 示，可正可负可为零 (1)其中的d是数列 2.符号语言 的公差，没有限定 (1)其中d是直线的 au1一a。=d(d为常数，n∈N). d≠0，当d=0时表 斜率，限定了d≠0： 示的是常数列： 要点二等差中项 不同 (2)定义域为R: 点 (2)定义域为N或其 (3)图象是一条不能 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是 有限子集； 与x轴平行或重合 最简单的等差数列.这时， 叫做a (3)图象是一条直线 的直线 上均匀分布的一系列 与b的等差中项，这三个数满足关系式a十b= 孤立的点 辨析 要点三等差数列的通项公式 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么 (1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前 它的通项公式是an= 一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. >思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了 () 不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ (2)若{a.}是等差数列，则对任意n∈N都有 2a+1=an十an+z成立. () (3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一 定是等差数列. () (4)数列{a的通项公式为4，=小=， 。则 n+1,n2 {an}是等差数列. () 11 数学选择性必修第二册课堂学案 关键能力素养提升 答案见P 探究一 等差数列的通项公式及其应用 【变式1】在等差数列{an}中，求解下列各题. 规律总结 1已知公差d=-号a,=8,求a (2)已知a1十a:=a4=8,求a6: 等差数列通项公式的应用 1 (1)等差数列{an}的通项公式a=a1十(n-1)d (3)已知a1=2方，公差d>0,且从第10项开 中含有四个量，即an,a1,n,d,如果知道了其 始，每一项都大于1，求此等差数列的公差d 中的任意三个量，就可以由通项公式求出第 的取值范围. 四个量，这一求未知量的过程我们通常称之 为“知三求一” (2)从函数的角度看等差数列的通项公式.由 等差数列的通项公式a=a十(n一1)d可得 an=dn十(a1一d),当d≠0时，an是关于n的 一次函数 (3)由两点确定一条直线的性质可以得出，等 差数列的任意两项可以确定这个等差数列 若已知等差数列的通项公式，则可以写出数 列中的任意一项。 【例题1】(1)在等差数列{an}中，首项a1=一1， 公差d=3,则当an=2024时，n= ( A.673 B.674 C.675 D.676 (2)在等差数列40,37,34，…中，第一个负数 探究二 等差中项及其应用 项是 ( A.第13项 B.第14项 解题技巧 C.第15项 D.第16项 (I)求两个数x,y的等差中项A,即根据等差 (3)在等差数列{an}中，若a=12,a6=27,则 中项的定义得A=十y 其通项公式为 2 (2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两 边两项的等差中项即可，即若a,b,c成等差 数列，则有a十c=2b:反之，若a十c=2b,则 a,b,c成等差数列. 【例题2】(1)已知m和2n的等差中项是8,2m和 n的等差中项是10，则m和n的等差中项是 12· 第四章数列 (2已知口方是等差数列，求证：由， 【例题3】已知数列{a,)满足a=4,a,=4-4 dn-1 a十c,a十b也是等差数列. 1 bc (n>1),记b.= ,一2求证：数列{6，是等差 数列。 【变式2】已知数列{x.}的首项x=3,通项xn= 2"p十g(n∈N”,p,q为常数)，且1，x4 成等差数列，求p,q的值. 【变式3】已知数列{a},满足a=2,au+1 aw十2 1)数列品}是否为等差数列？说明理由： (2)求am. 探究三等差数列的判定与证明 规律总结 判断等差数列的方法 (1)定义法：a+1-an=d(n∈N)或an-a.-1 d(n2,n∈N)白数列{an}是等差数列. (2)等差中项法：2aa+1=an十am+2(n∈N)曰 数列{am}为等差数列. ·13· 数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pa L.已知等差数列{au}的通项公式为an=3一2n B.若a,b,c成等差数列，则log2a,logb,logc (n∈N”),则它的公差d为 ( 成等差数列 A.2 B.3 C.-2 D.-3 C.若a,b,c成等差数列，则a十2，b十2，c十2成 2.已知在△ABC中，三个内角A,B,C成等差数 等差数列 列，则B= ( D.若a,b,c成等差数列，则2,2,2成等差 数列 A.30 B.60° C.90° D.120° 4.已知3十1与3一1的等差中项为a,等差数列 3.(选)下列命题中正确的是 ( {an}的通项公式为an=3n+1(n∈N·),公差 A.若a,b,c成等差数列，则2a,2b,2c成等差 为d,则a十d 数列 提示完成P,课时作业（三） 第2课时 等差数列的性质 [学习目标]1.掌握等差数列的有关性质，提开数学抽象的核心素养（重点），2.能灵活运用等差数列的性质解 决间题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养（难点），3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决 相应的问题，提升数学建模和数学运算的核心素养（重点） 必备知识基础落实 答素见Pa 要点一等差数列的常用性质 常数)，{c·au}是公差为cd的等差数列(d 1.等差数列通项公式的变形及推广 为任一常数)，{an十a+}是公差为 的 (1)a.=dn十(a1一d)(n∈N),其几何意义是 等差数列(k为常数，k∈N),{pa.十gb}是以 点(n,an)均在直线y=dx十(a1一d)上. pd十gd:为公差的等差数列(p,q为常数). (2)an=am十 (m,n∈N”),用这个公 5.若{an}是以d为公差的等差数列，则a,a+m, 式可以通过任一项及公差直接得到通项公式， a+m,…(k,m∈N)组成公差为 的等 不必求a. 差数列. (3)d=a,a(m,n∈N,且m≠n),即为直线 n-m 要点二 由函数的图象可得等差数列的单调性 的斜率公式k=业二出，可用来由等差数列任 当d>0时，数列{an}为 (如图1)： x-T 当d<0时，数列{aw}为 (如图2)： 两项求公差 2.若{a.}是等差数列，且k十1=m十n=2p(k,1, 当d=0时，数列{an}为 (如图3). m,n,p∈N”),则ae十a=am十an=2ap 3.若{an}是等差数列，则2am=an-1十am1,a1十 2 aw=d2十ar-1=ds十n2=… -101234 -2-10234 2-101234 4.若{an},{h}分别是以di,d2为公差的等差数 列，则{c十an}是公差为d,的等差数列(c为任 图1 图2 图3 ·14…