1.2 矩形的性质与判定（2） 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

1.2 矩形的性质与判定（2） 北师大版九年级上册数学 第一章 特殊平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等且互相平分. 对边平行且相等. 四个角都是直角. 边： 对角线： 角： 1.定义： 对称性: 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 相信你能回忆 矩形的定义与性质 2.性质： 3.直角三角形斜边上中线的性质 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 情境引入 思考：矩形是特殊的平行四边形， A B C D 平行四边形ABCD A D C B 矩形ABCD 会变成矩形？ 当平行四边形满足什么条件时， └ 归纳 定义法: 几何语言： 矩形的判定方法一： A D C B 你还有其他的判定方法吗？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形. ∴ 四边形ABCD是矩形 ∠B=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 └ 新知探究 猜想： D A C B O C A A C AC＜BD AC＜BD AC=BD 对角线相等的平行四边形是矩形 如图，AC与BD是平行四边形的两条对角线，改变AC的长度，观察平行四边形的变化。 探究 已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB，求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明对角线相等的平行四边形是矩形 □ABCD 定义 一个直角 ∵□ABCD ∴∠ADC+∠BCD= 180°, 只需证明∠ADC=∠BCD 分析： A B C D 证明： ∴∠ABC=∠DCB. ∴ △ABC≌△DCB , 又∵ BC=CB, ∴ AB=DC, ∵四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD AC=DB, ∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠DCB= ∴∠ABC=90°, ∴□ABCD是矩形 （矩形的定义）. 180°, 探究 已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线, AC=DB，求证：□ABCD是矩形. 证明对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 定理： 几何语言： ∵在□ ABCD中 AC=BD ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 矩形的判定方法二 对角线相等的平行四边形是矩形. 新知探究 判断：对角线相等的四边形一定是矩形吗？ AC=BD A C B D 等腰梯形ABCD A C B D AC=BD 任意四边形ABCD 新知探究 矩形的四个角都是直角， 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 这个四边形就是矩形呢？ 反过来，一个四边形至少有几个角是直角时， C A B D ∟ C A B D ∟ ∟ ∟ C A B D ∟ ∟ 新知探究 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 证明有三个角是直角的四边形是矩形. 四边形ABCD是矩形. ∟ A B D C ∟ ∟ 已知： 求证： 请你完成这个定理的证明 3分钟•倒计时 3:00 2:59 2:58 2:57 2:56 2:55 2:54 2:53 2:52 2:51 2:50 2:49 2:48 2:47 2:46 2:45 2:44 2:43 2:42 2:41 2:40 2:39 2:38 2:37 2:36 2:35 2:34 2:33 2:32 2:31 2:30 2:29 2:28 2:27 2:26 2:25 2:24 2:23 2:22 2:21 2:20 2:19 2:18 2:17 2:16 2:15 2:14 2:13 2:12 2:11 2:10 2:09 2:08 2:07 2:06 2:05 2:04 2:03 2:02 2:01 2:00 1:59 1:58 1:57 1:56 1:55 1:54 1:53 1:52 1:51 1:50 1:49 1:48 1:47 1:46 1:45 1:44 1:43 1:42 1:41 1:40 1:39 1:38 1:37 1:36 1:35 1:34 1:33 1:32 1:31 1:30 1:29 1:28 1:27 1:26 1:25 1:24 1:23 1:22 1:21 1:20 1:19 1:18 1:17 1:16 1:15 1:14 1:13 1:12 1:11 1:10 1:09 1:08 1:07 1:06 1:05 1:04 1:03 1:02 1:01 1:00 0:59 0:58 0:57 0:56 0:55 0:54 0:53 0:52 0:51 0:50 0:49 0:48 0:47 0:46 0:45 0:44 0:43 0:42 0:41 0:40 0:39 0:38 0:37 0:36 0:35 0:34 0:33 0:32 0:31 0:30 0:29 0:28 0:27 0:26 0:25 0:24 0:23 0:22 0:21 0:20 0:19 0:18 0:17 0:16 0:15 0:14 0:13 0:12 0:11 0:10 0:09 0:08 0:07 0:06 0:05 0:04 0:03 0:02 0:01 0:00 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形. ∠B+∠C=180°， AB∥CD. 新知探究 定理： 几何语言： ∵在四边形ABCD中 ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 矩形的判定方法三 有三个角是直角的四边形是矩形. ∟ A B D C ∟ ∟ 归纳 矩形的判定方法 定义法: 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理1: 对角线相等的平行四边形是矩形 定理2: 有三个角是直角的四边形是矩形 背诵 例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.求□ABCD的面积. A B C D O 解： ∴AC=BD ∴OA=OB=AB 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA=OC, ∵四边形ABCD是平行四边形, OB=OD. =4, ∵AC=2AO, BD=2BO, =8. ∴□ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° 在Rt△ABC中, 由勾股定理,得 ∴BC= ∴S□ABCD= AB·BC =4× 练一练 1.下列说法正确的是（ ）． A.有一个角是直角的四边形一定是矩形 B.有一组对角是直角的四边形一定是矩形 C.有三个角相等的四边形一定是矩形 D.对角互补的平行四边形是矩形 D 2.工人师傅为了检验两组对边相等的平行四边形窗框是否成矩形，他去量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 理由为： 3.一个木匠要制作矩形踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板． 有三个角是直角的四边形是矩形. 理由是： 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点E,F分别是AO,AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长____cm. 9 6 8 5 5 2.5 2.5 4 5.如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE， DE交BC于点O. (1)求证：△ABD≌△BEC； (2)探究：当∠BOD与∠A之间满足怎样 的数量关系时，四边形BECD为矩形？为什么？ □ABCD AB∥CD，AB=CD， AB=BE BE=CD BE∥CD 四边形BECD 是平行四边形 AD∥BC ∠A =∠OBE ∠BOD =∠OBE+∠BEO 则∠OBE=∠BEO 若∠BOD=2∠OBE ∴OB=OE 而BC=2OB， DE=2OE， ∴BC=DE (2)分析： 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边 形是矩形. 有三个角是直角的四边 形是矩形. 矩形的判定 定义法： 定理： 定理1： 定理2： 作业： 1.完成 课本及练习册对应习题 2. 预习课本P14~15页：1.2 矩形的性质与判定(3) 写完要用红笔校对答案！！ 已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点， 且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 【选自教材P16 随堂练习】 巩固练习，深化提高 证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点， ∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°， ∴∠A =∠D = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. $$