2.1 等式性质与不等式性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学 必修 第一册 课堂学案 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 [学习目标]1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,培养数学抽象的核心素养,2.掌握不等式的性质,发展逻 辑推理和数学运算的核心素养(重虚). 必备知识基础落实 答案见P 要点一:不等关系与不等式 2.不等式的基本性质 __ __ 1.用数学符号“ (1)对称性,一 ”连接两个数或两个代数式,以表示它们 (2)传递性:a>b.b(→ 之间的不等关系. (③)可加性,a> 2.含有 的式子,叫做不等式 (4)可乘性:a>b.c>0→ ;a 3.a二即为 ;a即为 0→ ()加法法则:a.d一 要点二 实数的大小比较 (6)乘法法则:a>>0,c>d0→ 实数的大小比较常用作差法,其理论依据是 (7)乘方法则:a0→ -60 -ab:a-b-0 析 要点三 等式和不等式的基本性质 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 1.等式的基本性质 (1)两个同向不等式可以同向相加,所以两个 . (1)如果a-b.那么一a. 同向不等式能够同向相减 ) (2)如果a-b,b-c,那么a-c. (2)在利用不等式的性质时,一定要注意性质 (③)如果a-b,那么a士c-b士c. 的前提条件是否具备 ) (4)如果a-b,那么ac-bc. (3)若ab,bc,则ac. (5)如果a-).c-0,那么. (4)若ab,则acbc. 关键能力素养提升 答案见P 探究一 用不等式(组)表示不等关系 (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 规律总结 文字大于、高小于、低大于等于。 小千等于、 语言于、超过于、少于至少、不低于至多、不超过 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意,找准不等式所联系的量; 符号 ②用适当的不等号连接 语言 ③多个不等关系用不等式组表示 .22. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 探究二 用作差法比较大小 (3)利用不等式表示不等关系时应注意的两点 ①必须是具有相同性质、可以比较大小的两 规律总结 个量才可用不等式来表示,没有可比性的两 个量之间不能用不等式来表示, 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步:作差并变形,其目标应是容易判断差 ②在用不等式表示实际问题时,一定要注意 单位统一: 的符号,变形有两种情形:①将差式进行因式 分解转化为几个因式相乘;②将差式通过配 【例题1】下列说法正确的是 ) 方转化为几个非负数之和,然后判断。 A.某人月收人:不高于2000元可表示为 第二步:判断差值与零的大小关系. “x<2000” 第三步,得出结论 B.某变量v不超过a可表示为“v<a” 【例题2】已知x -1,比较x+1与-2x*-2 C.某变量:至少为a可表示为“xa” 的大小. D.小明的身高为xcm,小华的身高为ycm 则小明比小华矮可表示为“x>y” 【变式1】有粮食和石油两种物资,可用轮船和飞 机两种方式运输,每天每艘轮船可运输粮食 300t.石油250t.每架飞机可运输粮食150t 石油100t.现在要在一天内至少运输2000t 粮食和1500t石油,写出安排轮船艘数和飞 【变式2】已知xR,mER,比较r十-+1与 机架数所满足的所有不等关系的不等式组 -2n*士2mx的大小 数学 必修 第一册 课堂学案 探究三 利用不等式的性质证明简单不等式 【变式3】判断下列命题是否成立,若不成立,适 当增加条件使下列命题成立. 误区防错 (1)若a>b.则acbc; (2)若ac{>b,则a>; 利用不等式的性质证明简单不等式 的方法及注意点 (3)若a>6c→>d,则#. (1)简单不等式的证明可直接由已知条件,利 用不等式的性质,通过对不等式变形得证 (2)对干不等号两边式子都比较复杂的情况。 直接利用不等式的性质不易得证,可考虑将 不等式的两边作差,然后进行变形,根据条件 确定每一个因式(式子)的符号,利用符号法 则判断最终的符号,完成证明。 (3)注意点:①记准、记熟不等式的基本性质 ②注意不等式成立的条件,切不可省略条件或 跳步推导,更不能随意构造性质与法则;③为 了说明关干不等式的结论不成立,特殊值法 也是非常有效的方法. 【例题3】判断下列命题是否正确,并说明理由。 【例题4】若a>6>0,c<d<0,e<0,求证 (1)若ac{}>bc^{},则a>b; (a一c) (-d){ (3)若a→b.c<d.cd0,则 .24. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 【变式4】已知a>b>0,e>f,c0,求证:f一 【例题5】设f(x)=ax*+bx,且-1<f(-1) ac<e-bc. 3.1<f(1) 5,求f(-2)的取值范围 【变式5】设2<a<3,-4<b<-3,求a+b,ab. 探究四 利用不等式的性质求取值范围 规律总结 利用不等式的性质求取值范围是一类常见的 问题,对于这类问题要注意同向(异向)不等 式的两边可以相加(相减),这种转化不是等 价变形,如果在解题过程中多次使用这种转 化,就有可能扩大其取值范围,所以我们在解 题时务必小心谨慎,先建立待求范围的整体 与已知范围的整体的等量关系,再利用不等 式的性质进行运算,求得待求的范围,这是避 免错误的一个有效途径 .25. 数学 必修 第一册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pl 3.(参选)若a>b>0,c<d<0,则一定有( 1.雷电的温度大约是28000C,比太阳表面温度 ~ 的4.5倍还要高,设太阳表面温度为/C,那么 A.ac<bd B. ac>bd ( 1应满足的关系式是 ) #.## ### A.4.5t28000 B.128000 C.4.5t28000 D./28000 $.已知实数a>b,M-a^{}-ab,N-ba-b,则M ~ 与N的大小关系是 a一的取值范围是 A.MN B.M<N 2 C.M-N D.无法确定 l提示 完成P课时作业(七) 2.2 基本不等式 体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题,发展逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养 (难点). 必备知识 基础落实 答案见P 要点一:基本不等式 >思考:使用基本不等式求最值时需要注意的三 1.重要不等式:对于任意实数a,b,都有a^{②}十万 个条件是什么? 2ab,当且仅当 时,等号成立, 2.基本不等式:对于任意 a,,都有 ,当且仅当 时,等号成立. 3.几何平均数与算术平均数:对于两个正数a,b ab叫做a与的几何平均数,叫做a与 2 析 b的算术平均数 判断正误,正确的画“、/”,错误的画“×” (1)基本不等式中的a,5可以是任意值为正数 的代数式. (2)两个正数的积为定值,它们的和一定有最 要点二 应用基本不等式求最值 小值. 如果七,y都是正数,那么 (3)在重要不等式中,“当且仅当a一时,等号 (1)如果积xy等于定值P,那么当 成立”的含义是“a一6”是等号成立的等价 时,和x十y有 条件。 。 ) (2)如果和x十等于定值S,那么当 (4)多次使用基本不等式时,等号一定可以 时,积xy有 取到. ) .26.(2)不等式m-f(x)>0,可化为m>f(x),若至少存在一个 并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”，所以“小迪是巴布亚企 实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>fx)m: 鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.故选B项 又f(x)=(x-1)2十4，所以f(x)m=4.所以m>4. 答索(1)B(2)B 所以所求实数m的取值范围为{mm>4. [真题4]ACD留析命题“Hx∈R,使得x2>3”中含有“H”, [变式3]解析易知全称量词命题“对于任意x∈R,x十ax+ 所以是全称量词命题，故A项正确，B项错误：方程2x 1>0”的否定形式为“存在x∈R,x2十a.x十1<0”. 5x一2的解是x=7或x=2,故C项正确：命题的否定既要 由“命题真，其否定假：命题假，其否定真”可知，这个否定形 式的命题是真命题. 改变量词“”和“3”，又要否定结论≥x,故D项正确.故 选ACD项. 由于函数f(x)=x2十ax十1的图象开口向上，借助二次函 数的图象（图略）易知，△=a一4>0，解得a<-2或a>2. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 所以实数a的取值范围是{aa<-2或a>2. 随堂检测·学以致用 2.1等式性质与不等式性质 1,D解析由于所给的等式对任意a,b∈R均成立，所以D项 必备知识·基础落实 正确.故选D项 要点一 2.C解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故C项正确， L.≠> <≥≤ 故选C项. 2.不等号 3.D解析A项中对量词处理不当，且没有否定结论：B项中没 3.a>b或a=ba<b或a=b 有否定结论：C项中对量词处理不当：D项正确.故选D项， 要点二 4.BD解折A项中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称 a>h a-<o a=h 量词命题：B项中，x=0时，x=0,所以B项既是存在量词命 要点三 题又是真命题：C项中，因为3+（一3）=0，所以C项是假 2.(1)b<a (2)a>c (3)a+o>b+c (4)ac>bc uc<bc 争题：D项中，当=号时，士-3>2，所以D项既是存在量 (5)a+c>b+d(6)ac>lbd(7)a">r>0(n∈N.n≥2) [辨析]提员(1)×(2)√(3)×(4)× 词命题又是真命题.故选BD项. 关键能力·素养提升 章末复习方案 [例题1B解析对于A项，某人月收入x不高于2000元可 表示为x≤2000，错误：对于B项，某变量y不超过a可表 [真题1门解析(1)由题意可得M=(2,4,5},对比选项知，A项 示为y≤，正确：对于C项，某变量x至少为a可表示为x 正确，B.C,D项错误.故选A项. a,错误：对于D项，小明的身高为xcm,小华的身高为ycm, (2)由题意可得MUN={xx<2,则C(MUN)={xx 小明比小华矮可表示为x<y,错误.故选B项 2},故A项正确：CM={xx≥1}，则NU(CM)={xx> [变式1门解析设需安排x艘轮船和y架飞机， -1,故B项错误：MnN={x-1<x1},则u(M∩N)= (300.x+150y≥2000， 6x+3y≥40， (x≤-1或x>1},故C项错误：CN={xx≤一1或x> 250.r+100y≥1500，即 5.x+2y>30. 则 2,则MU(CN)={x<或x≥2，故D项错误.故选A项. r>0,x∈N, x≥0，x∈EN, (3)因为整数集Z={xx=3k,k∈ZU{xx=3k+1,k∈ZU y0,y∈N, y≥0，yEN. {xx=3k+2,k∈Z,U=Z,所以C(MUN0={xx=3k,k∈ [例题2]解析x2+1-(-2.x°-2x)=x2+2x+2x+1 .故选A项. =(x2+x2)+(x2+2x+1)=(x+1)(x2+.x+1) (4)由A二B可得，若a一2=0，解得a=2,此时A=(0,一2}， B=(1,0,2},不符合题意；若2a-2=0,解得a=1,此时A= =+[(e+)+] {0,一1}，B={1,一1,0}，符合题意.故a=1.故选B项. 因为x<一1，所以x十1<0. 答(1)A(2)A(3)A(4)B 又因为(+2)广'+>0， [真题2]解析(1)由题设得A☒B={0.1,2},故1∈A☒B,且共 有3个元素，故子集有8个，故A,D项正确，C项错误：A☒ 所以+D[(+)广+]<0， A={-1,0,1},则(A⑧A)⑧B={-2,一1,0}，而A☒(A⑧☒ 所以x2+1<-2x2-2.x. B)={一2，一1,1,2,3}，显然(A☒A)B≠A☒(A☒B),B项 [变式2]解析因为x2+x十1一(-2m2+2m.x) 错误，故选AD项 =x2-(2m一1)x+2m2+1 (2)结合差集的定义，由集合A={4,5,6,7,9},B={3,5,6, 8,9},得B一A={3,8),故A项错误：集合A={rx<一1 -(x-2n号）广-2mr-1+2m+1 2 或x>3},B={x一2≤x<4},则AB={xx<一2或x 4},故B项正确：若ACB,则对于任意x∈A,都有x∈B,所 =(e-m+号)广++m+ 以{xx∈A且x任B}=⑦，即A一B=☑，故C项正确：由题 设中全集U、集合A,B的关系图可知，根据集合的新定义， =(-+)+(m+号)广+号>0… 集合A一B所表示的区域即为集合A∩(CB)表示的区城， 所以x2+x十1>-2m+2m.x. 即A一B=A∩(CB),故D项正确.故选BCD项， [例题3]解析(1)正确.因为ac2>bc2,所以2≠0且2>0，所 答察(1)AD(2)BCD 以a>b. [真题3]解折(1)由d=,得a=士b,当a=一b≠0时，a+= (2)错误.因为a<b<0.即-a>一b>0,所以- 2ab不成立，充分性不成立：由a2+=2ab,得(a一b)=0, -a>-b2>0, 即a=b.显然a=?成立，必要性成立，所以“a=?”是“a十 0.由 =2ab”的必要不充分条件.故选B项. >-1>0可得>名 b (2)会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小 迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳” (3)错误.若a>>0,c<0,>0,显然有4<白 d ·290· ①正确.周为a<<0,所以a6>0,所以品>0， 吾所以-<-是<所以-晋<<登又 所以品所以即> 1 所以0，所以-吾<0 2 [变式3]解析(1)不成立.原命题改为“若a>b且c≤0，则 a≤c”,即增加条件“c≤0” 22 2 (2)不成立.由a2>2可得a>b,但只有b≥0时，才有 >仔，即增加条件“b≥0” 2.2基本不等式 (3)不成立，号>2成立的条件有多种（知a>0>0,>D 必备知识·基础落实 0),因此可增加条件“b>0,>0” 要点一 [例题4们证朋因为c<<0,所以一c>一d>0, 1.≥a=b 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, 2.正数 Vai<ab a=h 所以(a-c)>(b-d)>0, 1 4.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 将上式两边同乘以a-ch-d,得a-c少<h-d 要点二 又因为e<0,所以a-)>b一d) (1)x=y最小值2P [变式4]证明因为a>b,c>0,所以ac>c,即一ac<一bc,又 (2)x=y最大值号 e>f,即f<e,所以f-ac<e-. [思考]提显1)一正：符合基本不等武“>√品成立的前提 [例题5]解析方法一f(-1)=a一b, 21 f(1)=a+b,f(-2)=4a-2h, 条件，即a>0,b>0. 设f(-2)=mf(-1)+nf(1), (2)二定：化不等式的一边为定值 则4a-2h=m(a-b)十n(a十b)=(m十n)a-(m一n)b, (3)三相等：必须存在“=”成立的条件. [辨析]提示(1)√(2)×(3)√(4)× 千于是：解释则-》=-+， 关键能力·索养提升 因为-1≤f(-1)≤3，所以-3≤3f(-1)≤9. [例题1门国翻周为a,b为正数a十b=1,所以ab≤（色空艺） 又因为1≤f1)≤5，所以-2≤3f(-1)+f(1)≤14. 故∫(-2)的取值范围为一2≤f(一2)≤14. 于是品>≥4品>≥8：所以(1+)1+7)=1+日+ 方法三由女” [a-KD+f(-D 2 名+品1+出+品=1+品≥1+8=9，当且仅当a K(D-f(-D 2 b=2时，等号成立. 则f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). [变式1]证朋明因为a,b,c为正实数，且a十b+c=1, 因为-1≤f(-1)≤3，所以-3≤3f(-1)≤9， 又图为1≤f(1)≤5，所以-2≤3f(-1)+f(1)≤14. 所以-1=14=什≥2瓜>0， aa 故-2≤f(一2)≤14. 所以（一2）的取值范围为一2≤f(一2)≤14. 同理，名-1>2>0，-1>2瓜>0 b [变式5]解标因为2<a<3,一4<b-3,所以-2<a十b<0. 由-4<<-3，知3<一b<4,所以6<a(一b)<12,所以 所以（日-）（合-）（日-1）≥2酒..2 -12<abK-6由3<-6<4，知9<(-by<16,又号< 8,当且仅当a=6=c=}时，等号成立， <,所以3<任<8 [例题2]解析因为a'+b≥2ab,所以2(d+F)≥(a+b), a a 综上，a十b的取值范国为一2a十b<0,ab的取值范围为 所以，G于≥号a+b, -12<a-6,岳的取值范调为3<仁<8 同理，v+号6叶o.v于7≥号e+a. 随堂检测·学以致用 1,A解析因为雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度 所以v++v历T+PTT≥号a++叶+ 的4.5倍还要高，所以4.51<28000.故选A项. 2.A解析图为M-N=(a-ab)-(a-)=(a一b),又a> (c+a)]=2(a+b+c). b,所以(a—b)>0,即M>N.故选A项. 故√a++√+e+√+a≥√2(a+b+e),当且仅 a.AD霸由<d0得-子>->0d>0.又a>b0, 当a=b=c时，等号成立. [变式2服研周为a>0,6>0,所以“生>√瓜，当且仅当a=b 故由不等式性质，得一日>-名>0，所以号<名所以号 时，等号成立 b<0,即aL<0.所以ac-d<0,即ac<d.故选 周为A-B=12 (a+b_ 2 4 AD项. a十a++正 a +b +2ab 1 4 N 4 且a2+6≥2ab>0,所以A-B≥0， 号<子两式相加得一吾<空<受又周为-普<号 所以V≥学，当且仪当a=6时，等号成立. ·291·