专题02 特殊三角形期中总复习（8题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题02 特殊三角形期中总复习 轴对称与将军饮马 1．（2023秋•浙江期中）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•鄞州区期中）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．（摘自百度百科）下列剪纸图片中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•金东区期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为 　 　． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B'C′； （2）在直线l上找一点P，使得△BPC的周长最小； （3）求△A'B'C′的面积． 5．（2023秋•浙江期中）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． （1）燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． （2）若测得A，B两镇的距离为13km，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为5.5km和10.5km，求所铺设管道的最短长度． 等腰三角形的性质与判定 1．（2023秋•滨江区校级期中）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 2．（2023秋•金东区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．50° 3．（2023秋•浙江期中）如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 4．（2023秋•温州期中）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠AOD的度数为（　　） A．92° B．90° C．88° D．84° 5．（2023秋•金东区期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为　 　． 6．（2023秋•苍南县期中）如图，正方形网格中每一个小格的顶点叫做格点，在4×4方格中以AB为一边作△ABC，要求点C在格点上，分别按下列要求在图中标出点C的位置并画出三角形． （1）在图1中，画一个锐角等腰三角形； （2）在图2中，画一个钝角等腰三角形； （3）在图3中，画一个等腰直角三角形． 7．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 等边三角形的性质与判定 1．（2023秋•杭州期中）如图，C为线段AE上一点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，连结AD，交BC交于点P；连结BE，交CD交于点Q，AD与BE交于点O．下列结论： ①AD＝BE； ②PQ∥AE； ③AP＝BQ； ④∠AOB＝60°． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（2023秋•苍南县期中）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连结DE． （1）求证：BD＝DE； （2）求DE的长． 3．（2023秋•浙江期中）如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AB的中点，AE⊥EB，连接DE，DC，且CD＝EB． （1）求证：△BDC≌△AEB； （2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由． 4．（2023秋•鹿城区期中）如图，将等边△DEF放在含有30°角的直角三角板ABC上（∠A＝90°，∠C＝30°），使EF落在线段AC上，DE与DF分别交边BC于点H、G，其中FG＝2． （1）证明：GF＝FC； （2）求CG的长． 等腰三角形分类讨论 1．（2023秋•浙江期中）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为　 　． 2．（2023秋•西湖区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（　　） A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35° 3．（2023秋•浙江期中）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．15 B．20 C．25或20 D．25 4．（2023秋•西湖区校级期中）如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　 　． 5．（2023秋•浙江期中）已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝　 　． 6．（2023秋•西湖区校级期中）如图，直线a，b交于点O，∠α＝60°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝　 　°． 直角三角形的性质与判定 1．（2023秋•浙江期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　 　，它是 　 　（填真/假）命题． 2．（2023秋•浙江期中）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．12 3．（2023秋•拱墅区期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为（　　）度． A．29 B．32 C．45 D．64 4．（2023秋•浙江期中）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若DB＝12cm，则AC＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 6．（2023秋•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F，点P为边AB上的动点，若BC＝6，则PF的取值范围是（　　） A．2≤PF≤3 B．1≤PF≤2 C．2≤PF≤4 D．3≤PF≤5 直角三角形全等的判定——HL 1．（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等； ②斜边和一直角边对应相等； ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等． 能使这两个直角三角形全等的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 2．（2023秋•浙江期中）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由． 勾股定理及其应用 1．（2023秋•浙江期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　　） A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5 2．（2023秋•苍南县期中）某房屋示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则点A到地面的距离为（　　） A．5.5m B．6m C．6.5m D．7m 3．（2023秋•浙江期中）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　 　． 4．（2023秋•鹿城区期中）如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，P为AD上任一点，则PC2﹣PB2等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2023秋•浙江期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1＝2，S2＝8，S4＝3，则S3的值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（2023秋•金东区期中）下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②5，12，13；③32，42，52；④1，2，，其中可以构成直角三角形的有（　　） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 7．（2023秋•浙江期中）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 8．（2023秋•金东区期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为 　 　cm． 9．（2023秋•浙江期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 　 　m． 10．（2023秋•温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝16．求： （1）BC边上的中线AD的长； （2）△ABC的面积． 11．（2023秋•北仑区期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，使点C落在线段BD上C′处，求DE的长． 12．（2023秋•杭州期中）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）求喷泉B到小路AC的最短距离． 特殊三角形的综合简答题 1．（2023秋•浙江期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（　　） A． B． C．4 D． 2．（2023秋•苍南县期中）如图，将一张边长为6分米的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开铺平后在CD上找一点G，将该纸片沿着BG折叠，使点C恰好落在EF上，记为点C'，则FC'的长为（　　） A．5.5分米 B．分米 C．分米 D．分米 3．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连接AC′，当△ADC′是以AD为腰的等腰三角形时，则BD＝　 　． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（　　） A．6 B．12 C．9 D．6 5．（2023秋•浙江期中）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究： 已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：　 　． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE． 1．（2023秋•西湖区校级期中）下列条件中，三角形不是直角三角形的是（　　） A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为32：42：52 D．三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A 2．（2023秋•浙江期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 3．（2023秋•杭州期中）如图，一根长度为250cm的木棒AB斜靠在直角墙上，木棒低端到墙的距离BC为70cm，如果木棒顶端A沿墙下滑40cm至A′，那么木棒低端B将向外滑动 　 　cm． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 5．（2023秋•浙江期中）如图已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为 　 　． 6．（2023秋•滨江区校级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1所示）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF＝25，则S1+S2+S3＝　 　. 7．（2023秋•杭州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是（　　） A．13 B．28 C．48 D．52 8．（2023秋•西湖区校级期中）如图，△ABC，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连结且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝　 　． 9．（2023秋•苍南县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，O为BC的中点，∠AOC＝60°，P是射线AO上的一个动点，当△PBC为直角三角形时，则BP的长为 　 　． 10．（2023秋•下城区期中）在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积． 11．（2023秋•金东区期中）如图1，在2×4的方格纸ABCD中，每个小正方形的边长均为1，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． （1）已知格点E，F，在图1中画一个等腰三角形EFG，使腰长为，再画出该三角形关于直线MN成轴对称的图形． （2）如图2，已知格点P，Q，在图2中画一个 Rt△PQR． 12．（2023秋•台州期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1，请在下列每个方格纸上按要求画图形． （1）在图①中画△ABC与关于直线AB对称的△ABC′； （2）在图②中画△DEC，使得△DEC≌△ABC，要求与△ABC有一个公共角C； （3）在图③中以AB为边画一个等腰△ABD． 13．（2023秋•浙江期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F． （1）求证：△AEF≌△CDF； （2）若AB＝4，BC＝8，求DF的长． 14．（2023秋•萧山区期中）如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边ED上，连接BD． （1）求证：BD＝AE； （2）求证：AE2+AD2＝2AC2． 15．（2023秋•西湖区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6，在直线BC上有一点D，连接AD，以A为直角顶点向AD右侧作等腰直角△ADE，连接ED、EC． （1）如图1，点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE． （2）如图2，点D在线段BC延长线上，当EC平分∠AED时，求CD的长． （3）如图3，点D在线段CB延长线上，AE与BC相交于点F，且CF＝1，在直线CE上有一点G，求AG+FG的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊三角形期中总复习 轴对称与将军饮马 1．（2023秋•浙江期中）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：A、图形是轴对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．（2023秋•鄞州区期中）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．（摘自百度百科）下列剪纸图片中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：B，C，D选项中的剪纸图都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的剪纸图能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 3．（2023秋•金东区期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为 　　． 【分析】连接EC，FC，过C点作CH⊥AB交AB于H，可得BE+EF的最小值为CH的长，求出CH的长即可． 【解答】解：连接EC，FC，过C点作CH⊥AB交AB于H，如图， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴AD所在直线是等边三角形ABC的对称轴， ∴BE＝CE， ∴BE+EF＝CE+EF≥CF≥CH， ∴BE+EF的最小值为CH的长， ∵BC＝6，AB＝6， ∴BH＝3， ∴CH＝＝＝， ∴BE+EF的最小值为， 故答案为：． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B'C′； （2）在直线l上找一点P，使得△BPC的周长最小； （3）求△A'B'C′的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （2）连接B′C交直线l一点P，即可使得△BPC的周长最小； （3）根据网格利用割补法即可求△A'B'C'的面积． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）如图，点P即为所求； （3）△A'B'C'的面积＝3×4﹣1×2﹣3×2﹣4×2＝4． 5．（2023秋•浙江期中）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． （1）燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． （2）若测得A，B两镇的距离为13km，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为5.5km和10.5km，求所铺设管道的最短长度． 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，则点P即为所求，即可得出答案． （2）设AA'交直线l于点E，过点B作直线l的垂线BM，交直线l于点F，过点A'作A'C⊥BM于点C，过点A作AD⊥BM于点D，则四边形AA'CD为矩形，四边形AEFD为矩形，根据勾股定理求出AD的长，即可得A'C的长，再利用勾股定理求出A'B的长即可． 【解答】解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段AP，PB铺设管道，管道总长度最短． （2）设AA'交直线l于点E，过点B作直线l的垂线BM，交直线l于点F，过点A'作A'C⊥BM于点C，过点A作AD⊥BM于点D， ∴四边形AA'CD为矩形，四边形AEFD为矩形， ∴AE＝DF＝5.5km， ∴BD＝BF﹣DF＝10.5﹣5.5＝5（km）， ∵AB＝13km， ∴AD＝＝12km， ∴A'C＝12km， ∵CF＝A'E＝AE＝5.5km， ∴BC＝BF+CF＝16km， ∴A'B＝＝20km， ∴所铺设管道的最短长度为20km． 等腰三角形的性质与判定 1．（2023秋•滨江区校级期中）如图，点B、D在AM上，点C、E在AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，若∠A＝20°，则∠MDE的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】根据AB＝BC＝CD＝DE，利用等腰三角形的性质即可找出各角的度数，再根据三角形外角的性质即可求出结论． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE，且∠A＝20°， ∴∠ACB＝∠A＝20°，∠CBD＝∠CDB＝2∠A＝40°，∠DCE＝∠DEC＝∠A+∠BDC＝3∠A＝60°， ∴∠MDE＝∠A+∠DEC＝4∠A＝80°． 故选：C． 2．（2023秋•金东区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝25°，则∠BAC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．50° 【分析】由等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，即可得到∠BAC＝2∠BAD＝50°． 【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2×25°＝50°． 故选：D． 3．（2023秋•浙江期中）如图，∠AOB＝30°，以点O为圆心，任意长为半径作弧分别交OB，OA于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，过E点作EF∥OB，EG⊥OB于点G，若OF＝2，则EG的长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【分析】过点E作EH⊥OA于点H，结合角平分线的定义以及平行线的性质可得∠EOF＝∠OEF＝15°，进而可得∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2，则EH＝EF＝1，根据角平分线的性质可得EG＝EH，即可得出答案． 【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H， 由题意可知，OE为∠AOB的角平分线， ∴∠BOE＝∠AOE＝∠AOB＝15°，EG＝EH， ∵EF∥OB， ∴∠BOE＝∠FEO， ∴∠EOF＝∠OEF＝15°， ∴∠EFH＝∠EOF+∠OEF＝30°，OF＝EF＝2， 在Rt△EFH中，∠EFH＝30°， 则EH＝EF＝1， ∴EG＝1． 故选：D． 4．（2023秋•温州期中）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠AOD的度数为（　　） A．92° B．90° C．88° D．84° 【分析】由“SAS”可证△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE＝28°，由平行线的性质可求∠B＝60°，可证△ADE是等边三角形，即可求解． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠B＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE＝28°， ∵CE∥AB， ∴∠B+∠BCE＝180°， ∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠AOD＝60°+28°＝88°， 故选：C． 5．（2023秋•金东区期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为　10　． 【分析】根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠CBD，等量代换得到∠EBD＝∠EDB，求得BE＝DE，于是得到结论． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∵△AED的周长为16， ∴AB+AD＝16， ∵AD＝6， ∴AB＝10， 故答案为：10． 6．（2023秋•苍南县期中）如图，正方形网格中每一个小格的顶点叫做格点，在4×4方格中以AB为一边作△ABC，要求点C在格点上，分别按下列要求在图中标出点C的位置并画出三角形． （1）在图1中，画一个锐角等腰三角形； （2）在图2中，画一个钝角等腰三角形； （3）在图3中，画一个等腰直角三角形． 【分析】（1）根据网格线的特点和等腰三角形的定义求解； （2）根据网格线的特点和等腰三角形的定义求解； （3）根据网格线的特点和等腰三角形的定义求解． 【解答】解：（1）如图1所示：△ABC即为所求； （2）如图2所示：△ABD即为所求； （3）如图3所示：△ABE即为所求． 7．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）解：∵△BDE≌△CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， ∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE， ∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°， ∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°， ∴∠B＝∠DEF， ∵∠A＝50°，AB＝AC， ∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°， ∴∠DEF＝65°． 等边三角形的性质与判定 1．（2023秋•杭州期中）如图，C为线段AE上一点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，连结AD，交BC交于点P；连结BE，交CD交于点Q，AD与BE交于点O．下列结论： ①AD＝BE； ②PQ∥AE； ③AP＝BQ； ④∠AOB＝60°． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE； ③由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BQ；故③正确； ②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE＝∠DEO，于是∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，可知④正确． 【解答】解：①∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； 故①正确； ③∵△ACD≌△BCE（已证）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证）， ∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°， ∴∠ACB＝∠BCQ＝60°， 在△ACP与△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ； 故③正确； ②∵△ACP≌△BCQ， ∴PC＝QC， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝60°， ∴∠ACB＝∠CPQ， ∴PQ∥AE； 故②正确； ④∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∵△DCE是等边三角形， ∠EDC＝60°＝∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE＝∠DEO， ∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°． 故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④． 故选：D． 2．（2023秋•苍南县期中）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连结DE． （1）求证：BD＝DE； （2）求DE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD＝DE； （2）求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∵BD为中线， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB， ∴∠E＝30°＝∠DBC， ∴BD＝DE， （2）解：∵BD是AC中线，CD＝1， ∴AD＝DC＝1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC， ∵BD是中线， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝， 即DE＝BD＝． 3．（2023秋•浙江期中）如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AB的中点，AE⊥EB，连接DE，DC，且CD＝EB． （1）求证：△BDC≌△AEB； （2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由． 【分析】（1）易证∠ABE＝∠BCD，BC＝AB，即可证明△BDC≌△AEB，即可解题； （2）根据（1）中结论可得AE＝BD，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质可得DE＝AD，即可解题． 【解答】证明：（1）∵D是AB中点，BA＝BC＝AC， ∴CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠AEB＝90° 在Rt△BDC和Rt△AEB中， ∴Rt△BDC≌Rt△AEB（HL）； （2）结论：△ADE是等边三角形． 理由：∵△BDC≌△BEA， ∴AE＝BD＝AD，∠BAE＝∠CBD＝60° ∴△ADE是等边三角形 4．（2023秋•鹿城区期中）如图，将等边△DEF放在含有30°角的直角三角板ABC上（∠A＝90°，∠C＝30°），使EF落在线段AC上，DE与DF分别交边BC于点H、G，其中FG＝2． （1）证明：GF＝FC； （2）求CG的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形外角性质解答即可； （2）过点F作FM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质和解答即可． 【解答】（1）证明：∵△DEF 为等边三角形， ∴∠DFE＝60°， ∵∠C＝30， ∴∠CGF＝60﹣30＝30°＝∠C， ∴GF＝FC； （2）解：过点F作FM⊥BC于M， ∵FG＝2，∠C＝30°， ∴FM＝FG＝1， ∴， ∵GF＝FC ∴由三线合一得：． ∴． 等腰三角形分类讨论 1．（2023秋•浙江期中）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为　80°或50°　． 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解答】解：当该角为顶角时，顶角为50°； 当该角为底角时，顶角为80°． 故其顶角为50°或80°． 故填50°或80°． 2．（2023秋•西湖区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它的底角为（　　） A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35° 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，注意分类讨论思想的运用． 【解答】解：分两种情况： ①如图1， ∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC， ∴∠A＝70°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°； ②如图2， ∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC， ∴∠BAC＝20°+90°＝110°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°． ∴它的底角为55°或35°， 故选：C． 3．（2023秋•浙江期中）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．15 B．20 C．25或20 D．25 【分析】根据腰为5或10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立； 当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25． 故选：D． 4．（2023秋•西湖区校级期中）如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　10°，80°，140°或20°　． 【分析】先利用三角形内角和定理可得：∠BAC＝20°，然后分三种情况：当AP＝AB时；当AP＝AB时；当BA＝BP时；从而分别进行计算，即可解答， 【解答】解：∵∠B＝130°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°， 分三种情况： 当AP＝AB时，点P在CA的延长线上，如图： ∵∠BAC是ABP的一个外角， ∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°， ∵AB＝AP， ∴∠APB＝∠ABP＝10°； 当AP＝AB时，点P在AC上，如图： ∵AB＝AP，∠BAP＝20°， ∴∠ABP＝∠APB＝＝80°； 当BA＝BP时，如图： ∵BA＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA＝20°， ∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°； 当PA＝PB时，如图： ∵PA＝PB， ∴∠BAP＝∠ABP＝20°； 综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°， 故答案为：10°，80°，140°或20°． 5．（2023秋•浙江期中）已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝　90°或45°　． 【分析】分30°是底角和30°的角是顶角两种情况讨论，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：∠B＝30°是底角，如图1： ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠C＝30°， ∵AB边上的中垂线交直线BC于点D， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠ADC＝30°+30°＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°； ∠BAC＝30°的角是顶角，如图2： ∵AB＝AC，∠BAC＝30°， ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∵AB边上的中垂线交直线BC于点D， ∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ADC＝15°+15°＝30°， ∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°． 故∠DAC＝90°或45°． 故答案为：90°或45°． 6．（2023秋•西湖区校级期中）如图，直线a，b交于点O，∠α＝60°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝　60或30　°． 【分析】根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推出△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【解答】解：如图，当点B在OA上方时， 根据题意得，∠AOB＝60°， ∵△OAB是等腰三角形， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°； 如图，当点B在OA下方时，OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵∠OBA+∠OAB＝∠α＝60°， ∴∠OAB＝30°， 故答案为：60或30． 直角三角形的性质与判定 1．（2023秋•浙江期中）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 　如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形　，它是 　真　（填真/假）命题． 【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可． 【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形． 因为符合三角形内角和定理，故是真命题． 故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真． 2．（2023秋•浙江期中）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．12 【分析】根据勾股定理列式求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别是5和12， ∴斜边＝＝13， ∴第三边上的中线长为×13＝6.5． 故选：C． 3．（2023秋•拱墅区期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为（　　）度． A．29 B．32 C．45 D．64 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝116°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE＝AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上， ∵∠BAD＝58°， ∴∠DEB＝116°， ∵DE＝BE＝AC， ∴∠EBD＝∠EDB＝32°， 故选：B． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F，已知BC＝16，则BF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由等边三角形的性质推出∠C＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝BC＝16，由含30°角的直角三角形的性质推出BF＝AB，而AB＝BC＝16，即可求出BF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝BC＝16， ∵DE⊥AC， ∴∠CDE＝90°﹣∠C＝30°， ∴CE＝CD， ∵CD＝BC， ∴CE＝BC＝AC， ∴AE＝AC， ∵EF⊥AB于点F， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝30°， ∴AF＝AE＝AC＝AB， ∴BF＝AB＝×16＝10． 故选：D． 5．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若DB＝12cm，则AC＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】根据垂直平分线的性质得出DA＝DB＝12cm，根据等边对等角得出∠ADC＝30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【解答】解：如图，连接AD， ∵DE是AB的垂直平分线，DB＝12cm， ∴DA＝DB＝12cm， ∵∠B＝15°， ∴∠DAB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°， 在△ACD中，∠C＝90°， ∴． 故选：C． 6．（2023秋•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点C，D为圆心，适当的长度为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC边于点F，点P为边AB上的动点，若BC＝6，则PF的取值范围是（　　） A．2≤PF≤3 B．1≤PF≤2 C．2≤PF≤4 D．3≤PF≤5 【分析】由题意知：AE平分∠CAB，求出∠CAF＝∠BAF＝∠CAB＝30°，得到∠B＝∠FAB，因此FA＝FB，由含30°角的直角三角形的性质推出CF＝BF，求出CF＝BC＝2，BF＝BC＝4，当FP⊥AB时，FP的长最小，由角平分线的性质得到PF＝FC＝2，当P与A或B重合时，PF的长最大是4，即可得到PF长的取值范围． 【解答】解：由题意知：AE平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF＝∠CAB， ∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠CAF＝∠BAF＝30°， ∴∠B＝∠FAB， ∴FA＝FB， ∵∠C＝90°，∠CAF＝30°， ∴CF＝AF， ∴CF＝BF， ∵BC＝6， ∴CF＝BC＝2，BF＝BC＝4， 当FP⊥AB时，FP的长最小， ∵FA平分∠ACB，FC⊥AC， ∴PF＝FC＝2， 当P与A或B重合时，PF的长最大， ∴PF＝FB＝4， ∴PF的取值范围是2≤PF≤4． 故选：C． 直角三角形全等的判定——HL 1．（2023秋•柯桥区期中）两个直角三角形中： ①一锐角和斜边对应相等； ②斜边和一直角边对应相等； ③有两条边相等； ④两个锐角对应相等． 能使这两个直角三角形全等的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可． 【解答】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①符合题意； ②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②符合题意； ③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③不符合题意； ④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④不符合题意； 综上分析可知①②正确，故A符合题意． 故选：A． 2．（2023秋•浙江期中）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由． 【分析】由DA⊥AC，DB⊥BC，得到∠A和∠B都为直角，在直角三角形ACD和BCD中，由已知的边AC＝BD，再加上公共边DC，利用HL可得三角形ACD与三角形BCD全等，根据全等三角形的对应角相等，可得∠BDC＝∠ACD，最后根据等角对等边可得证． 【解答】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知）， ∴∠A＝∠B＝90°（垂直定义）， 在Rt△ADC和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）， ∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等）， ∴OD＝OC（等角对等边）． 勾股定理及其应用 1．（2023秋•浙江期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　　） A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5 【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．由勾股定理，求得AB＝5．由，求得CD＝2.4． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D． 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴． 又∵． ∴． ∴CD＝2.4． 故选：B． 2．（2023秋•苍南县期中）某房屋示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则点A到地面的距离为（　　） A．5.5m B．6m C．6.5m D．7m 【分析】过A作AD⊥BC于点D，交地面于点E，由等腰三角形的性质得AD＝CD＝4m，再由勾股定理求出AD＝3m，即可解决问题． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D，交地面于点E， 由轴对称图形可知，BC＝7+2×0.5＝8（m），AB＝AC＝5m，DE＝3m， ∵AD⊥BC， ∴AD＝CD＝BC＝×8＝4（m）， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝＝＝3（m）， ∴AE＝AD+DE＝3+3＝6（m）， 即点A到地面的距离为6m， 故选：B． 3．（2023秋•浙江期中）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　5或　． 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：＝； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：＝5； 综上，第三边的长为：5或． 故答案为：5或． 4．（2023秋•鹿城区期中）如图，已知△ABC中，AB＝2，AC＝3，AD⊥BC于D，P为AD上任一点，则PC2﹣PB2等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDP及Rt△CDP中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BP2和PC2，然后作差即可得出结果． 【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BDP和Rt△CDP中， BP2＝BD2+PD2＝AB2﹣AD2+PD2，PC2＝CD2+PD2＝AC2﹣AD2+PD2， ∴PC2﹣PB2＝（AC2﹣AD2+PD2）﹣（AB2﹣AD2+PD2） ＝AC2﹣AB2 ＝32﹣22 ＝5． 故选：A． 5．（2023秋•浙江期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1＝2，S2＝8，S4＝3，则S3的值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】连接AC，构造直角△ABC和直角△ADC，然后在△ABC中利用勾股定理算出AC2的值，再在△ADC中利用勾股定理算出AD2的值，从而得到S3的值． 【解答】解：连接AC， 在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即AC2＝S1+S2＝2+8＝10． 在直角△ADC中，AC2＝AD2+DC2，即AC2＝S4+S3＝S3+3． 所以S3+3＝10． 所以S3＝7． 故选：B． 6．（2023秋•金东区期中）下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②5，12，13；③32，42，52；④1，2，，其中可以构成直角三角形的有（　　） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2＝c2时，它是直角三角形，由此可解出本题． 【解答】解：①92+122＝152，故可以构成直角三角形； ②52+122＝132，故可以构成直角三角形； ③（32）2+（42）2≠（52）2，故不可以构成直角三角形； ④12+（）2＝22，故可以构成直角三角形； 综上，符合题意的有3组， 故选：B． 7．（2023秋•苍南县期中）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即水深12尺，芦苇长13尺． 故选：D． 8．（2023秋•金东区期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为 　5或6.5　cm． 【分析】分已知边5cm是腰长或底边两种情况讨论求解． 【解答】解：5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8（cm）， ∵5+5＞8， ∴5cm、5cm、8cm能组成三角形； 5cm是底边时，腰长为（18﹣5）＝6.5cm， 5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为5cm或6.5cm． 故答案为：5cm或6.5cm． 9．（2023秋•浙江期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD长为 　2.5　m． 【分析】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝22+（x﹣1）2． 【解答】解：在Rt△ACB中， AC2+BC2＝AB2， 设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x﹣1）m， 故x2＝22+（x﹣1）2， 解得：x＝2.5， 答：绳索AD的长度是2.5m． 故答案为：2.5． 10．（2023秋•温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝17，BC＝16．求： （1）BC边上的中线AD的长； （2）△ABC的面积． 【分析】（1）求出BD＝8，由勾股定理可求出答案； （2）由三角形面积可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC＝×16＝8， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝＝＝15； （2）∵BC＝16，AD＝15， ∴△ABC的面积＝＝120． 11．（2023秋•北仑区期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，使点C落在线段BD上C′处，求DE的长． 【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠C＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8，根据勾股定理得到BD＝＝10．由折叠的性质得到BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，设DE＝x，则C′E＝CE＝6﹣x．根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8， ∴BD＝＝10． 由折叠可得BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°， ∴C′D＝10﹣8＝2，∠DC′E＝90°， 设DE＝x，则C′E＝CE＝6﹣x． 在Rt△C′DE中， x2＝（6﹣x）2+22， 解得x＝， ∴DE的长为． 12．（2023秋•杭州期中）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）求喷泉B到小路AC的最短距离． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m）， ∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m）， 在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m）， ∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）； （2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m， ∴AB2＝BM2+AM2， ∴△ABM是直角三角形， ∴BM⊥AC， ∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m． 特殊三角形的综合简答题 1．（2023秋•浙江期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据翻折的性质可知角ECF为45度，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解． 【解答】解：根据两次翻折可知： ∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠DCF，CE⊥AD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝∠ECD+∠FCD＝∠ACB＝45°， ∴∠EFC＝45°， ∴EF＝CE， ∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE， ∴5CE＝3×4，CE＝． ∴EF＝． 故选：B． 2．（2023秋•苍南县期中）如图，将一张边长为6分米的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开铺平后在CD上找一点G，将该纸片沿着BG折叠，使点C恰好落在EF上，记为点C'，则FC'的长为（　　） A．5.5分米 B．分米 C．分米 D．分米 【分析】连接CC′，因为四边形ABCD是边长为6分米的正方形，所以AB＝BC＝6分米，由折叠得EF垂直平分BC，BG垂直平分CC′，则∠BFC′＝90°，BF＝CF＝BC＝3分米，BC′＝BC＝6分米，由勾股定理得FC′＝＝3分米，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CC′， ∵四边形ABCD是边长为6分米的正方形， ∴AB＝BC＝6分米， 由折叠得点B与点C关于直线EF对称，点C′与点C关于直线BG对称， ∴EF垂直平分BC，BG垂直平分CC′， ∴∠BFC′＝90°，BF＝CF＝BC＝3分米，BC′＝BC＝6分米， ∴FC′＝＝＝3（分米）， ∴FC'的长为3分米， 故选：C． 3．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连接AC′，当△ADC′是以AD为腰的等腰三角形时，则BD＝　或　． 【分析】根据AD＝DC'和AD＝AC'两种情况展开讨论，当AD＝DC'，设BD＝x可得DC＝4﹣x，根据折叠的性质得AD＝DC＝4﹣x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD＝AC'，可得B'是DC'的中点，设BD＝x，DC＝4﹣x，可得，根据折叠的性质得BD＝DB'，建立方程解方程即可得到答案． 【解答】解：当AD＝DC'时，设BD＝x， 得DC＝4﹣x， ∵DC'＝DC， ∴AD＝DC＝4﹣x， 在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2， ∴9+x2＝（4﹣x）2， ∴x＝； 当AD＝AC'时， ∵AB'⊥DC'， ∴B'是DC'的中点， ∵DC'＝DC， ∴DB′＝0.5DC， 设BD＝x，则DC＝4﹣x， ∴， ∵BD＝DB'， ∴， ∴x＝， ∴当BD＝或BD＝时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（　　） A．6 B．12 C．9 D．6 【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9． 【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB． ∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC， ∴DM＝AB＝，DN＝AC＝． ∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2， ∴△ADH面积＝×DN＝AH2， 在Rt△ABC中， ∵BC＝6 ∴AB2+AC2＝BC2＝36， ∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9． 故选：C． 5．（2023秋•浙江期中）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究： 已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：　AD＝BE　． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连接AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA＝BE． 【分析】（1）直接写出答案即可． （2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB＝∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题． （3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形， ∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠ECB； 在△ACD与△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（SAS）， ∴AD＝BE， 故答案为AD＝BE． （2）AD＝BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°． 证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形 ∴EC＝AC，BC＝DC， ∠ACE＝∠BCD＝60°， ∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD； 在△ECB和△ACD中， ∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴∠CEB＝∠CAD； 设BE与AC交于Q， 又∵∠AQP＝∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ＝∠EQC+∠CEQ+∠ECQ＝180° ∴∠APQ＝∠ECQ＝60°，即∠APE＝60°． （3）由（2）同理可得∠CPE＝∠EAC＝60°；在PE上截取PH＝PC，连接HC， 则△PCH为等边三角形， ∴HC＝PC，∠CHP＝60°， ∴∠CHE＝120°； 又∵∠APE＝∠CPE＝60°， ∴∠CPA＝120°， ∴∠CPA＝∠CHE； 在△CPA和△CHE中， ， ∴△CPA≌△CHE（AAS）， ∴AP＝EH， ∴PB+PC+PA＝PB+PH+EH＝BE． 1．（2023秋•西湖区校级期中）下列条件中，三角形不是直角三角形的是（　　） A．三个角的比为1：2：3 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2 C．三条边的比为32：42：52 D．三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：A．三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，不符合题意； B．因为三条边满足关系a2＝b2﹣c2，能组成直角三角形，不符合题意； C．322+422≠522，故不能构成直角三角形，符合题意； D．因为三个角满足关系∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，由三角形内角和定理知∠C＝90°，故能构直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2．（2023秋•浙江期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【分析】交换命题的题设与结论，写出逆命题即可． 【解答】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 故选：C． 3．（2023秋•杭州期中）如图，一根长度为250cm的木棒AB斜靠在直角墙上，木棒低端到墙的距离BC为70cm，如果木棒顶端A沿墙下滑40cm至A′，那么木棒低端B将向外滑动 　80　cm． 【分析】根据勾股定理求出AC的长即可得出A'C的长，再根据勾股定理求出B'C的长即可得出BB'的长，即可得出结果． 【解答】解：由勾股定理得，AC＝＝240（cm）， ∴A'C＝AC﹣AA'＝240﹣40＝200（cm）， ∴B'C＝＝150（cm）， ∴B'B＝B'C﹣BC＝150﹣70＝80（cm）， ∴木棒低端B将向外滑动80cm， 故答案为：80． 4．（2023秋•浙江期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　6　． 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案． 【解答】解：∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6， 故答案为：6． 5．（2023秋•浙江期中）如图已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为 　3cm　． 【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF＝10cm，EF＝DE＝8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即：（8﹣x）2＝x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm， 根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE， ∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE， 设CE＝x cm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2， 即82+BF2＝102， ∴BF＝6cm， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm）， 在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2， 即（8﹣x）2＝x2+42， ∴64﹣16x+x2＝x2+16， ∴x＝3（cm）， 即CE＝3cm． 故答案为：3cm． 6．（2023秋•滨江区校级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1所示）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF＝25，则S1+S2+S3＝　1875　. 【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据 ，，，，求出3EF2的值即可． 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG＝KG，CF＝DG＝KF， ∴＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG， ， ， ∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝3EF2＝1875， 故答案为：1875． 7．（2023秋•杭州期中）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个直角三角形，当EF＝7，DE＝12时，则正方形ABCD的边长是（　　） A．13 B．28 C．48 D．52 【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理进行解答即可． 【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝12，EF＝FG＝7， ∴BF＝BG﹣FG＝5， 直角△ABF中，利用勾股定理得： AB＝＝＝13， 则正方形ABCD的边长为13． 故选：A． 8．（2023秋•西湖区校级期中）如图，△ABC，延长CB至点D使得BD＝BC，过点D作DF∥AC，点F与AB上一点E连结且∠BEF＝∠A，若AC＝8，DF＝2，则EF＝　6　． 【分析】延长AB，交DF的延长线于点G，利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到EF＝FG，再利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：延长AB，交DF的延长线于点G，如图， ∵DF∥AC， ∴∠D＝∠C，∠G＝∠A． ∵∠BEF＝∠A， ∴∠BEF＝∠G， ∴EF＝FG． 在△DBG和△CBA中， ， ∴△DBG≌△CBA（ASA）， ∴DG＝AC＝8． ∵DF＝2， ∴FG＝DG﹣DF＝6， ∴EF＝FG＝6． 故答案为：6． 9．（2023秋•苍南县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，O为BC的中点，∠AOC＝60°，P是射线AO上的一个动点，当△PBC为直角三角形时，则BP的长为 　3或3或6　． 【分析】利用分类讨论，当∠CBP＝90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的长；当∠CPB＝90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO＝BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得CP的长；易得BP；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论． 【解答】解：当∠CPB＝90°时（如图1）， ∵CO＝BO， ∴PO＝BO， ∵∠AOC＝60°， ∴∠BOP＝60°， ∴△BOP为等边三角形， ∴OB＝BP， ∴BC＝2BP， ∵AB＝BC＝6， ∴PB＝3， 当∠ABP＝90°时（如图2）， ∵∠AOC＝∠BOP＝60°， ∴∠BPO＝30°， ∴PO＝2OB＝6， ∴BP＝， 如图3，∵CO＝BO，∠CPB＝90°， ∴PO＝CO， ∵∠AOC＝60°， ∴△COP为等边三角形， ∴CP＝CO＝3， ∴PB＝6， 故答案为：3或3或6． 10．（2023秋•下城区期中）在边长为3cm和4cm的长方形中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出3种满足上述条件的等腰三角形（全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积． 【分析】分别作BC、AB的中垂线，由中垂线的性质可得等腰三角形，或以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F，也可得等腰三角形，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：如图1，作BC边的中垂线，交AD于P， ∴PB＝PC，即△PBC为等腰三角形， S△PBC＝BC×h＝BC•AB＝×4×3＝6； 如图2， 作AB边的中垂线，交CD于E， ∴EA＝EB，即△EAB为等腰三角形， S△EBC＝AB×h＝AB•BC＝×4×3＝6； 如图3，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点F， ∴BA＝BF，即△ABF为等腰三角形， S△ABF＝×AB×BF＝×3×3＝4.5． 11．（2023秋•金东区期中）如图1，在2×4的方格纸ABCD中，每个小正方形的边长均为1，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． （1）已知格点E，F，在图1中画一个等腰三角形EFG，使腰长为，再画出该三角形关于直线MN成轴对称的图形． （2）如图2，已知格点P，Q，在图2中画一个 Rt△PQR． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，轴对称变换的性质作出图形即可； （2）画一个等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）如图，△EFG，△GPQ即为所求； （2）如图，△PQR即为所求． 12．（2023秋•浙江期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1，请在下列每个方格纸上按要求画图形． （1）在图①中画△ABC与关于直线AB对称的△ABC′； （2）在图②中画△DEC，使得△DEC≌△ABC，要求与△ABC有一个公共角C； （3）在图③中以AB为边画一个等腰△ABD． 【分析】（1）作点C关于直线AB的对称点，再与点A、B首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形的特点，结合网格作图即可． 【解答】解：（1）如图①所示，△ABC'即为所求． （2）如图②所示，△DEC即为所求． （3）如图③所示，△ABD即为所求． ∵AB＝＝＝5，DB＝5， ∴△ABD是等腰三角形． 13．（2023秋•浙江期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F． （1）求证：△AEF≌△CDF； （2）若AB＝4，BC＝8，求DF的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠E＝∠B，AB＝AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF＝CF，EF＝DF，根据勾股定理得到DF＝3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°， ∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处， ∴∠E＝∠B，AB＝AE， ∴AE＝CD，∠E＝∠D， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）； （2）解：∵AB＝4，BC＝8， ∴CE＝BC＝8，AE＝CD＝AB＝4， ∵△AEF≌△CDF， ∴AF＝CF，EF＝DF， 在Rt△CDF中，DF2+CD2＝CF2，即DF2+42＝（8﹣DF）2， 解得DF＝3， 14．（2023秋•萧山区期中）如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边ED上，连接BD． （1）求证：BD＝AE； （2）求证：AE2+AD2＝2AC2． 【分析】（1）连接BD，由等腰直角三角形的性质得出∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出2AC2＝AB2．由SAS证明△AEC≌△BDC，得出AE＝BD， （2）由（1）得∠E＝∠BDC＝45°，证出∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，在Rt△ADB中．由勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图所示： ∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2， ∴2AC2＝AB2，∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△AEC和△BDC中， ， ∴△AEC≌△BDC（SAS）． ∴AE＝BD， （2）∵△AEC≌△BDC（SAS）． ∴∠E＝∠BDC． ∴∠BDC＝45°， ∴∠BDC+∠ADC＝90°， 即∠ADB＝90°． ∴AD2+BD2＝AB2， ∴AD2+AE2＝2AC2． 15．（2023秋•西湖区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6，在直线BC上有一点D，连接AD，以A为直角顶点向AD右侧作等腰直角△ADE，连接ED、EC． （1）如图1，点D在线段BC上时，求证：△ABD≌△ACE． （2）如图2，点D在线段BC延长线上，当EC平分∠AED时，求CD的长． （3）如图3，点D在线段CB延长线上，AE与BC相交于点F，且CF＝1，在直线CE上有一点G，求AG+FG的最小值． 【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△ACE； （2）证出∠AEC＝∠AED＝22.5°，由（1）可知，△ABD≌△ACE，得出∠ADC＝∠AEC＝22.5°，证出CD＝AC＝3； （3）过点A作AH⊥BC于点H，作点F关于直线CE的对称点M，连接AM交直线CE于点G，则CF＝CM＝1，FG＝GM，由勾股定理可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6， ∴AC＝BC＝3， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴∠ACB＝45°，∠AED＝45°， ∵EC平分∠AED， ∴∠AEC＝∠AED＝22.5°， 由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADC＝∠AEC＝22.5°， ∴∠CAD＝∠ACB﹣∠ADC＝22.5°， ∴∠ADC＝∠CAD， ∴CD＝AC＝3； （3）解：过点A作AH⊥BC于点H，作点F关于直线CE的对称点M，连接AM交直线CE于点G，则CF＝CM＝1，FG＝GM， ∴AG+FG的最小值为AG+GM＝AM， ∵BC＝6，AH⊥BC， ∴AH＝CH＝BC＝3， ∴HM＝HC＝CM＝4， ∴AM＝＝＝5． ∴AG+FG的最小值为5． 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