11.2第2课时 完全平方公式（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版2024）

11.2 第2课时 完全平方公式 知识点一 完全平方公式的概念 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，即 知识点二 完全平方公式 ★1. 完全平方公式的推导 注意：的符号取决于左边二项式中两项的符号. ★2. 完全平方公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. ★3. 完全平方公式的特征 （1）文字语言: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍. （2）符号语言: ★4. 公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的平方的形式，二者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同; （3）公式中的可以是数，也可以是单项式或多项式. 归纳: 完全平方公式的应用一般有下面几种变形: 知识点三 完全平方公式的几何意义 一般地，可以通过从不同角度求几何图形的面积来验证完全平方公式 （1）验证 如图所示，一方面大正方形的面积为(a+b),另一方面大正方形的面积可看成四个部分的面积之和，则： （2）验证，同理，易得： 题型一 运用完全平方公式进行运算 解题技巧提炼 用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可. 1．用完全平方公式计算 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 题型二 通过对完全平方公式变形求值 解题技巧提炼 运用公式巧配方，整体代入更简便 解决此类求值问题的常用方法是将待求值的式子利用乘法公式灵活变形，将已知条件整体代入求值.完全平方二级公式参考知识归纳知识点二. 5．（23-24七年级上·上海宝山·期末）已知，，那么 ．（用含、的代数式表示） 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知：，则 ． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 8．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知，求（1）的值；（2）的值． 题型三 求完全平方式中的字母系数 解题技巧提炼 完全平方公式分为和的完全平方公式与差的完全平方公式，因此，一次项字母系数一定要注意有两个，不要漏解.而常数项本身是平方项，结果为一种.解题时要看清参数在一次项系数位置还是常数项位置. 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）【参数在一次项位置】若是完全平方式，则k的值为 ． 10．已知是完全平方式，则实数m的值为（    ） A．3 B．3或 C．8 D．8或 11．（23-24七年级上·上海普陀·期中）若是完全平方式，则 ． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若多项式是一个完全平方式，则 ． 13．（22-23七年级上·上海·期末）【参数在常数项位置】如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 题型四 整式的混合运算 解题技巧提炼 解答化简求值类问题时，先认真观察式子的结构特征，灵活选用乘法公式进行化简，再代入求值可以起到事半功倍的作用. 15．（21-22七年级上·上海宝山·期末）计算： 16．计算：. 17．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： 18．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知，求的值 19．（22-23七年级上·上海·期中）解方程：． 20．（22-23七年级上·上海宝山·期中）先化简再求值：，其中，． 21．（22-23七年级上·上海静安·期中）我们规定一种运算：．例如，．按照这个规定，当取何值时． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 解题技巧提炼 1. 几何图形是将平方差公式几何化，平方对应面积，加减法对应长度或面积的和差. 22．（22-23七年级上·上海静安·期末）如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和． 23．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为 ． 24．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 25．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 26．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为 ． 27．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知（如图）用四块大小一样，两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，有    (1) （用a、b表示）； (2) （用c表示）； (3)由（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为： ． 28．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 第2课时 完全平方公式 知识点一 完全平方公式的概念 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，即 知识点二 完全平方公式 ★1. 完全平方公式的推导 注意：的符号取决于左边二项式中两项的符号. ★2. 完全平方公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. ★3. 完全平方公式的特征 （1）文字语言: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍. （2）符号语言: ★4. 公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的平方的形式，二者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同; （3）公式中的可以是数，也可以是单项式或多项式. 归纳: 完全平方公式的应用一般有下面几种变形: 知识点三 完全平方公式的几何意义 一般地，可以通过从不同角度求几何图形的面积来验证完全平方公式 （1）验证 如图所示，一方面大正方形的面积为(a+b),另一方面大正方形的面积可看成四个部分的面积之和，则： （2）验证，同理，易得： 题型一 运用完全平方公式进行运算 解题技巧提炼 用完全平方公式计算时，首先要确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，然后根据选择的“和”或“差”确定公式中的“a”和“b”,最后选择对应的公式计算即可. 1．用完全平方公式计算 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．利用完全平方公式直接求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式计算求解判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D.，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可得，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】原式， ， ， ． 故答案为： 题型二 通过对完全平方公式变形求值 解题技巧提炼 运用公式巧配方，整体代入更简便 解决此类求值问题的常用方法是将待求值的式子利用乘法公式灵活变形，将已知条件整体代入求值.完全平方二级公式参考知识归纳知识点二. 5．（23-24七年级上·上海宝山·期末）已知，，那么 ．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键；先根据条件，再根据，即可求解． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为： 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握的应用，对式子构造完全平方公式，再把，代入，即可． 【详解】∵ ， ∴当，时，． 故答案为：． 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】12543 【分析】本题考查了多项式乘多项式，乘法公式，求代数式的值，利用整体代入法是解本题关键． 由结合配方法求得的值，然后将式子转化成含已知条件的式子，再用整体代入法即可求解． 【详解】解：，， ， ． 8．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知，求（1）的值；（2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形公式的应用，求解代数式的值； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）先根据求解，再整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴ ， ∴． 题型三 求完全平方式中的字母系数 解题技巧提炼 完全平方公式分为和的完全平方公式与差的完全平方公式，因此，一次项字母系数一定要注意有两个，不要漏解.而常数项本身是平方项，结果为一种.解题时要看清参数在一次项系数位置还是常数项位置. 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）【参数在一次项位置】若是完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据完全平方公式求解未知数，理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去和3的积的2倍， ， 故答案为：． 10．已知是完全平方式，则实数m的值为（    ） A．3 B．3或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】本题考查的是求解完全平方式中的字母系数，由积的2倍项的特点可得或，再解方程即可． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式， ∴或 ∴或． 故选：D． 11．（23-24七年级上·上海普陀·期中）若是完全平方式，则 ． 【答案】或/或8 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查求完全平方公式中的字母系数．掌握公式特点是解题关键． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 这里首末两项是和8这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和8积的2倍，依此求出m的值． 【详解】多项式是一个完全平方式 这两个数是和8 故答案为：． 13．（22-23七年级上·上海·期末）【参数在常数项位置】如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式：即可得出结论． 【详解】解：因为关于x的多项式是一个完全平方式， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方式；熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，解题的关键是熟练掌握公式的应用． 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 题型四 整式的混合运算 解题技巧提炼 解答化简求值类问题时，先认真观察式子的结构特征，灵活选用乘法公式进行化简，再代入求值可以起到事半功倍的作用. 15．（21-22七年级上·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】先分别利用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键． 16．计算：. 【答案】5x2+5y2-12xy. 【分析】分别运用完全平方公式和平方差公式展开即可. 【详解】解：原式=4x2+9y2-12xy+x2-(2y)2 =5x2+9y2-4y2-12xy =5x2+5y2-12xy. 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，牢记公式的形式是解题关键. 17．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后合并同类项即可．解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 【详解】 ． 18．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知，求的值 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，然后将整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 19．（22-23七年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 20．（22-23七年级上·上海宝山·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与多项式的乘法法则进行化简计算，然后合并同类项，再把和的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式、合并同类项等知识，解题关键是熟练掌握相关运算法则及乘法公式． 21．（22-23七年级上·上海静安·期中）我们规定一种运算：．例如，．按照这个规定，当取何值时． 【答案】当时． 【分析】根据题目中的新定义的运算将所求式子化为普通方程，整理后求出的值即可． 【详解】解：根据规定的运算，可得 ， 整理，可得， 解得． 【点睛】此题主要考查了新定义下整式的混合运算、解一元一次方程等知识，弄清题目中的新定义的运算是解本题的关键． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 解题技巧提炼 1. 几何图形是将平方差公式几何化，平方对应面积，加减法对应长度或面积的和差. 22．（22-23七年级上·上海静安·期末）如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和． 【答案】正方形和的面积之和为． 【分析】先根据题意列出长方形关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， ∵长方形的周长为，面积为， ∴， 正方形和的面积之和为， ∵． ∴正方形和的面积之和为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键． 23．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为 ． 【答案】 【详解】试题分析： 24．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．    (1)用含a、b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)用a、b的代数式表示，并当时，求出图③中阴影部分的面积． 【答案】(1), =； (2)=77； (3)=18. 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是边长为a、b的正方形的面积差，图②中阴影部分的面积是边长为b的正方形面积减去边长为b和的矩形面积的差； （2）由（1）用a、b表示出，然后将其配方后把，代入即可得解； （3）由图形中面积之间的关系可以用含有a、b的代数式表示，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： , = =； （2）由（1）可得： = = =, ∴当，时，； （3）由题意可得： =， 当时，， ∴. 【点睛】本题考查整式运算在面积计算中的应用，熟练掌握整式的运算法则及完全平方公式的应用是解题关键． 25．数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①的值为；② 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用； （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； （2）解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：； （3）解：，，， ， ，即的值为； 令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． ． 26．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】用大正方形的面积减去两个空白三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：依题意， 把，代入， 得， 故答案为：8 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，难度适中，需要熟练掌握完全平方公式及其变式． 27．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知（如图）用四块大小一样，两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，有    (1) （用a、b表示）； (2) （用c表示）； (3)由（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大正方形面积减去4个全等小正方形的面积求解即可； （2）直接利用正方形面积公式求解即可． （3）结合（1）和（2）即可得出等式． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解：由（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为：， 整理，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式．利用数形结合的思想是解题关键． 28．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）观察图形，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积，即可作答； （2）运用（1）中的数量关系，代入进行化简，即可作答； （3）因为四边形是正方形，所以，因为，，所以，，则，把，代入即可得；结合，得，即得． 【详解】（1）解：依题意，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积， 则； （2）解：因为（1）中的数量关系， 所以， 因为 所以， 则； （3）解：依题意，因为四边形是正方形 所以， 因为，， 所以， 则 因为，， 所以， 即； 因为， 所以 因为，且 所以，即，得或 因为和为边长， 所以舍去 则． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用以及平方差公式与几何图形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$