2023-2024学年九年级上学期数学人教版第二十二章单元检测卷

2024年人教版九年上学期数学第二十二章单元检测卷 (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A．y＝－2x B．y＝x2＋ C．y＝(x＋3)2－9 D．y＝＋1 2．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( ) A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4) 3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列说法正确的是(　　) A．该函数的图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点坐标为(0，5) C．当x＝1时，y有最大值为5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 4．如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，若AB＝16，OC＝5，则此抛物线的解析式为(　　) A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝－x2 D．y＝－x2 5．抛物线y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的抛物线必定经过点(　 　) A．(－2，2) B．(－1，1) C．(0，6) D．(1，－3) 6．若A(1，y1)，B(3，y2)，C(－1，y3)是抛物线y＝－x2＋3x－1＋k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 7．若二次函数y＝x2－4x＋m在－1≤x≤3的范围内有最大值7，则m的值为(　　) A．－5 B．－2 C．2 D．5 8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是(　　) 　　　　　　　　　 9．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，1)，若抛物线y＝x2＋c与线段AB有公共点，则c的取值范围是(　　) A.－1≤c≤0 B．－1≤c≤ C．－1≤c≤ D．0≤c≤ 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝－，下列结论：①abc＜0；②a＝b；③a＋b＋c＜0；④b＋2c＞0；⑤a－2b＋4c＞0.其中正确的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 　　　　　　　　　 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11．若抛物线y＝x2－6x＋k与x轴没有交点，则实数k的值可以是__________(写出一个即可). 12．若一抛物线的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则该抛物线的函数解析式为__________. 13．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x＝－2，若y≥5，则x的取值范围是为__________． 14．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形状，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m，则支柱MN的长度为__________ m. 15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上的一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为__________． 三、解答题(共9小题，共75分) 16．(6分)将二次函数y＝－2x2＋8x－5化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出它的图象的顶点坐标、对称轴及当x取何值时y随x的增大而减小． 17．(6分)已知抛物线y＝x2－2x＋c如图所示． (1)求c的值； (2)将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点O，请写出平移的方法． 18．(6分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数解； (2)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围； (3)当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围． 19．(8分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－2，0)，B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1. (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接AC，将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与该抛物线有唯一交点，求a的取值范围． 20．(8分)如图，在足够大的空地上，张叔叔利用直角墙角(两边足够长)和30 m长的篱笆围成了一个中间隔开的矩形花园ABCD(图中虚线为篱笆)，设AB＝x m，矩形花园ABCD的面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式； (2)求矩形花园ABCD面积的最大值． 21．(8分)某书店销售一本畅销的小说，每本的进价为20元，根据以往的经验，当销售单价是25元/本时，每天的销售量是250本；销售单价每本每上涨1元，每天的销售量就减少10本． (1)求书店销售该小说每天的销售量y(本)与销售单价x(元/本)之间的函数关系式； (2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说的售价应为多少元？最大利润是多少？ 22．(10分)某班数学兴趣小组对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … 3 m －1 0 －1 0 3 … 　 其中，m＝__________； (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象，写出两条函数的性质； (4)进一步探究函数图象发现： Ⅰ函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有__________个不相等的实数根； Ⅱ方程x2－2|x|＝2有__________个不相等的实数根； Ⅲ关于x的方程x2－2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________． 23．(11分)如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝－x2＋x＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡．某运动员从点O正上方4 m处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝－x2＋bx＋c运动．当运动员运动到离A处的水平距离为4 m时，离水平线的高度为8 m. (1)求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时运动员与小山坡的竖直距离最大？最大为多少米？ 24．(12分)如图，已知直线y＝－x＋2与两坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于点C，抛物线与x轴的另一个交点为D. (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值； (3)在直线AB上是否存在点P，使得以O，A，P，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年人教版九年上学期数学第二十二章单元检测卷（答案） (时间：120分钟　　满分：120分) 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 1．下列函数中，属于二次函数的是( C ) A．y＝－2x B．y＝x2＋ C．y＝(x＋3)2－9 D．y＝＋1 2．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( A ) A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4) 3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列说法正确的是(　C　) A．该函数的图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点坐标为(0，5) C．当x＝1时，y有最大值为5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 4．如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，若AB＝16，OC＝5，则此抛物线的解析式为(　B　) A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝－x2 D．y＝－x2 5．抛物线y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的抛物线必定经过点(　B　) A．(－2，2) B．(－1，1) C．(0，6) D．(1，－3) 6．若A(1，y1)，B(3，y2)，C(－1，y3)是抛物线y＝－x2＋3x－1＋k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　A　) A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 7．若二次函数y＝x2－4x＋m在－1≤x≤3的范围内有最大值7，则m的值为(　C　) A．－5 B．－2 C．2 D．5 8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是(　C　) 　　　　　　　　　 9．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，1)，若抛物线y＝x2＋c与线段AB有公共点，则c的取值范围是(　C　) A.－1≤c≤0 B．－1≤c≤ C．－1≤c≤ D．0≤c≤ 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝－，下列结论：①abc＜0；②a＝b；③a＋b＋c＜0；④b＋2c＞0；⑤a－2b＋4c＞0.其中正确的个数为(　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 　　　　　　　　　 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 11．若抛物线y＝x2－6x＋k与x轴没有交点，则实数k的值可以是__10(答案不唯一)__(写出一个即可). 12．若一抛物线的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则该抛物线的函数解析式为__y＝－x2＋4x－3__. 13．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交y轴于点(0，5)，对称轴为直线x＝－2，若y≥5，则x的取值范围是为__－4≤x≤0__． 14．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形状，拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m，则支柱MN的长度为__5.5__ m. 15．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上的一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为____． 三、解答题(共9小题，共75分) 16．(6分)将二次函数y＝－2x2＋8x－5化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出它的图象的顶点坐标、对称轴及当x取何值时y随x的增大而减小． 解：∵y＝－2x2＋8x－5＝－2(x－2)2＋3，∴该二次函数的图象的顶点坐标为(2，3)，对称轴为直线x＝2，∴当x≥2时，y随x的增大而减小 17．(6分)已知抛物线y＝x2－2x＋c如图所示． (1)求c的值； (2)将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点O，请写出平移的方法． 解：(1)将点(4，5)代入y＝x2－2x＋c，得42－2×4＋c＝5，解得c＝－3 (2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴可设平移后所得的抛物线的解析式为y＝(x－1＋a)2－4.将点(0，0)代入y＝(x－1＋a)2－4，得(0－1＋a)2－4＝0，解得a1＝3，a2＝－1，∴将该抛物线向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度 18．(6分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数解； (2)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围； (3)当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围． 解：(1)由图象可得，当y＝0时，x＝－1或x＝3，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数解是x1＝－1，x2＝3 (2)由图象可知，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是y＝－4， ∴若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围是k＞－4 (3)由图象可知，当0＜x＜3时，函数值y的取值范围为－4≤y＜0 19．(8分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(－2，0)，B，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1. (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接AC，将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与该抛物线有唯一交点，求a的取值范围． 解：(1)∵根据题意可知点A(－2，0)与点B关于直线x＝1对称，∴点B(4，0)，∴该抛物线的函数解析式y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x2＋x＋4 (2)当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，∴点C(0，4).而点C(0，4)关于直线x＝1的对称点为点(2，4)，∴a的取值范围为2≤a≤6 20．(8分)如图，在足够大的空地上，张叔叔利用直角墙角(两边足够长)和30 m长的篱笆围成了一个中间隔开的矩形花园ABCD(图中虚线为篱笆)，设AB＝x m，矩形花园ABCD的面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式； (2)求矩形花园ABCD面积的最大值． 解：(1)S＝x(30－2x)＝－2x2＋30x(0＜x＜15) (2)∵S＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，∴当x＝7.5时，S最大值＝112.5，∴矩形花园ABCD面积的最大值为112.5 m2 21．(8分)某书店销售一本畅销的小说，每本的进价为20元，根据以往的经验，当销售单价是25元/本时，每天的销售量是250本；销售单价每本每上涨1元，每天的销售量就减少10本． (1)求书店销售该小说每天的销售量y(本)与销售单价x(元/本)之间的函数关系式； (2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说的售价应为多少元？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意，得y＝250－10(x－25)＝－10x＋500 (2)设每天扣除捐赠后可获得的利润为w元，则w＝(x－20－2)y＝(x－20－2)(－10x＋500)＝－10x2＋720x－11 000＝－10(x－36)2＋1 960，∴当x＝36时，w最大值＝1 960，∴每本该小说的售价应为36元，最大利润是1 960元 22．(10分)某班数学兴趣小组对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … 3 m －1 0 －1 0 3 … 　 其中，m＝__0__； (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象，写出两条函数的性质； (4)进一步探究函数图象发现： Ⅰ函数图象与x轴有__3__个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有__3__个不相等的实数根； Ⅱ方程x2－2|x|＝2有__2__个不相等的实数根； Ⅲ关于x的方程x2－2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__－1＜a＜0__． 解：(2)如图所示 (3)答案不唯一，如：①函数y＝x2－2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大 23．(11分)如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝－x2＋x＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡．某运动员从点O正上方4 m处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝－x2＋bx＋c运动．当运动员运动到离A处的水平距离为4 m时，离水平线的高度为8 m. (1)求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时运动员与小山坡的竖直距离最大？最大为多少米？ 解：(1)由题意可知抛物线C2：y＝－x2＋bx＋c过点(0，4)和点(4，8)，∴解得∴抛物线C2的函数解析式为y＝－x2＋x＋4 (2)设运动员与小山坡的竖直距离为h m，则h＝－x2＋x＋4－(－x2＋x＋1)＝－x2＋x＋3＝－(x－4)2＋，∴当x＝4时，h最大值＝，∴运动员运动的水平距离为4 m时运动员与小山坡的竖直距离最大，最大为 m 24．(12分)如图，已知直线y＝－x＋2与两坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于点C，抛物线与x轴的另一个交点为D. (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值； (3)在直线AB上是否存在点P，使得以O，A，P，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵直线y＝－x＋2与两坐标轴分别交于A，B两点，∴点A(0，2)，点B(4，0).又∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，∴解得∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋x＋2 (2)设点C(x，－x2＋x＋2)，且0≤x≤4，∵CP∥y轴，∴点P(x，－x＋2)，∴PC＝－x2＋x＋2－(－x＋2)＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2，∴当x＝2时，线段PC的长度最大，且最大值为2 (3)存在，理由如下：假设存在，设点P(m，－m＋2)，则点C(m，－m2＋m＋2).∵OA∥PC，∴只要OA＝PC，即|－m＋2－(－m2＋m＋2)|＝2时，以点O，A，P，C为顶点的四边形就是平行四边形，解得m＝2或2±2，∴点P的坐标为(2，1)或(2＋2，1－)或(2－2，1＋).综上所述，在直线AB上存在点P(2，1)或(2＋2，1－)或(2－2，1＋)，使得以O，A，P，C为顶点的四边形是平行四边形 学科网（北京）股份有限公司 $$