2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新授课 2.4.1 圆的标准方程 第二章 直线和圆的方程 2 1 0 d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 温故知新 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧. 归纳总结 x y O A B d r (1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边. (3)代数法（弦长公式法）：不算出两交点，设而不求 由垂径定理，得 (2)代数法：计算出两交点 1个 2个 1个 0个 0个 1个 2个 0个 1个 外离 外切 相交 内切 内含 思考 观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？ 知识点1、圆与圆的位置关系 1、几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： r1＋r2 r1＋r2 |r1－r2| r1＋r2 |r1－r2| |r1－r2| 5 思考 类比直线和圆的方程，是否可以利用圆的方程，判断圆与圆的位置关系? (1)把两圆的方程联立成方程组 ； (2)消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程； 2. 代数法： (3)求出△； (4)判断△的符号，得出结论： ①若△<0，则两圆内含或外离； ②若△=0，则两圆内切或外切； ③若△>0，则两圆相交． 优点：能求出两圆的交点 缺点：当△<0或△=0，不能判断出两圆的确切的位置关系 例题讲解 例1、 例1、 解法1: 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组 ①-②，得 联立①③，消去y，可得 方程④的根的判别式△>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2. 把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2. 因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交. y x A B C2 C1 解法2: 把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得 ∴圆C1与圆C2相交. y x A B C2 C1 例2．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？ [解析]　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 思考：已知圆C1： x2＋y2＋2x＋8y－8 ＝0，圆C2： x2＋y2－4x－4y－2＝0 ． 1.画出两圆的图象和方程x＋2y－1=0表示的直线的图象； 2.用两圆方程相减，你发现了什么？ 当两圆相交时，两圆方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程. 12 知识点2、公共弦方程 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 1. 若两圆相交，则过交点的圆系方程为 2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为 注意：① λ为参数, 圆系中不包括圆C2; ② 当λ＝－1时, 方程两圆的公共弦所在直线方程, 即 (也就是两圆方程相减所得) 知识点3、圆系方程 例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 例4、已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程 【典例】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (1) 直线PA、PB的方程； (2) 过点P与⊙C相切的切线长； (3) ∠APB的余弦； (4) 以PC为直径的圆的方程； (5) 直线AB的方程. x y O P A B C (2) 2 (3) (4) x2＋y2－3x－y=0 (5) x－3x ＋ 3=0 x y O P A B C 【典例】已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求:(5) 直线AB的方程. 解3： x y O P(2,－1) A B C 知识推广 1. 过圆外一点P(x0,y0)引圆x2+y2=r2的两条切线, 则过两切点的直线方程为： x O P A B y 2.过圆外一点P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线, 则过两切点的直线方程为 注意：此方程与过圆上一点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程是一样的. 例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程. 变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值. 巩固练习 1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（ ） Ａ.相离　Ｂ.外切　Ｃ.相交　Ｄ.内切 2.若圆x2+y2-2ax+a2=4和x2+y2-2by+b2=1外离，则a,b满足的条件是________. 3.两圆x2+y2 -2x=0与x2+y2-4y=0的公共弦所在直线的方程__________. B x-2y=0 4. 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程 6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹. $$