第1章 直线与方程章末检测卷-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A 2．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 3．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 因为直线与垂直，所以， 所以，得， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：C 4．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 5．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为. 故选：A. 7．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线．如果对任意的，点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点到直线的距离公式可得点A到直线l的距离为．由于对任意的，点A到直线l的距离均为定值，所以，即，所以直线l的方程为．设点B关于直线l的对称点的坐标为，故解得所以点B关于直线l的对称点的坐标为． 故选:B． 8．在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   建立直角坐标系如图所示，，，，则直线 由题光线从点出发，沿光线路径依次为其中分别为光线与对应边交点， 设，点关于直线对称点为，设点关于直线对称点为，根据对称则有， 因为光线与所成角为的方向发射，即，令，k即为直线斜率， 则直线方程为，则与联立， 由光线反射的性质与光路可逆性知四点共线， 则直线方程为， 令得， 所以的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每对一个得2分。 9．对于直线：，下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在 C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为 【答案】BC 【详解】直线，令，则，所以直线恒过定点，故A正确； 当时，直线斜率不存在，故B不正确； 当时直线，即，则直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故C不正确； 当时直线，令，解得，即直线在轴上的截距为，故D正确； 故选：BC． 10．已知，，直线：，：，且，则（    ） A．的最小值是1 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】BC 【详解】由直线，，且，得，即，又， 对于A，，即，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，， 当且仅当时取等号，因此的最小值是，B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D错误. 故选：BC 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确； 对于B选项，设，则，从而，故B错误； 对于C选项，作轴，交直线于，过作，垂足为. 由曼哈顿距离的定义可知. 当不与重合时，因为直线的斜率为，所以，所以； 当与重合时，. 综上，，则.故C正确. 对于D选项，若，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为 故答案为：. 13．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 【答案】（答案不唯一，或任写一个即可） 【详解】设该点为，则， 即， 即，即 且，化简计算得. 又，，所以该点为或. 故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可） 14．平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为． 当最大时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】先求符合的轨迹：设动点，则由题意，， 即，如图，按区域①-④去绝对值讨论： ①区域中，，化为，； ②区域中，且，化为，； ③区域中，，化为，； ④区域中，且，化为，； 如图，轨迹为一个正方形，即点的运动轨迹为如图正方形的四条边． 当最大时，有， （为中点）， 所以的最小值的等价于最小时， 显然当正方形①或④中的边时，， 所以. 故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 【答案】(1) (2) (3)不能用点斜式， (4) 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. （4）过点的直线的斜率， 又因为直线过点， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为． 16．（15分）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【详解】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； （2）若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 17．（15分）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线l：可化为. 解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接 易知， 当时，原点到直线l的距离取得最大值. （2）易知 令，由可得，. 令，由可得，. 且，所以， 所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，直线l的方程，即. 18．（17分）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2). 【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上， 于是，解得，即点， 设关于直线的对称点为，则有，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点， 所以直线的方程为，点C的坐标为.    （2）由（1）得，点到直线的距离， 所以的面积. 19．（17分）一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）关于轴的对称点，， 由 ，则此时， 所以光所走过的路程即． （2）对于线段，令其端点， 则， 所以反射光斜率的取值范围是． （3）若反射光与直线垂直，则由． ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离， 所以路程． ②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中， 所以． 综上：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 4．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 7．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，直线．如果对任意的，点A到直线l的距离均为定值，则点B关于直线l的对称点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 8．在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有三个正确选项，每对一个得2分。 9．对于直线：，下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在 C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为 10．已知，，直线：，：，且，则（    ） A．的最小值是1 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是4 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是3 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为 ． 13．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 14．平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为． 当最大时，的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴； (4)过两点． 16．（15分）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17．（15分）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 18．（17分）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为. (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 19．（17分）一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． (1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程； (2)若，求反射光的斜率的取值范围； (3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$