精品解析：陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

八年级上学期开学收心作业数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数、、、、（相邻两个1之间2的数逐次加1）中，无理数有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵是有理数，是有理数，是有理数， ∴，（相邻两个1之间2的数逐次加1）是无理数，共2个； 故选C． 2. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中可判定，故此选项不合题意； B中可判定，故此选项不合题意； C中可判定，故此选项符合题意； D中是错误的描述，不能判定直线平行，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3. 如果一个正数x的平方根是和，那么x的值是（　　） A. B. 7 C. D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】依据平方根的性质列出关于a的方程可求得a的值，然后依据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个正数的x的平方根是和， ∴， 解得． ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，求得a的值是解题的关键． 4. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ） A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式，立方根，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵错误， 故A不合题意． ∵，正确， ∴B合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，错误， ∴D不合题意． 故选：B． 6. 已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可解答. 【详解】解：A、设， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴不是直角三角形； B、设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴不是直角三角形； C、设， ∵， ∴不是直角三角形； D、， ∴是直角三角形， 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 7. 下列说法正确的有（ ）个． ①任何数都有算术平方根； ②三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高线交于一点； ③立方根等于它本身的数只有1和0； ④两条边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形一定全等； ⑤实数和数轴上的点是一一对应的． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据所学的知识，综合判断解答即可． 【详解】解：负数没有算术平方根，故①错误； 三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高线交于一点； 故②正确； 立方根等于它本身的数，1和0； 故③错误； 两条边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； 故④错误； 实数和数轴上的点是一一对应的， 故⑤正确． 故选C． 8. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴确定，结合，化简计算即可． 本题考查了数轴，绝对值，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选D． 9. 如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 则蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，掌握两点之间线段最短，找到起点和终点是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于点M，于点N，，则的长是（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，设，则，于是，结合，，利用勾股定理，三角形面积不变性解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形面积的不变性，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，继而得到，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握无理数大小比较，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 12. 的算术平方根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 13. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据题意，得是大正方形大的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． 故答案为：13． 14. 等腰三角形的顶角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角为_____. 【答案】25° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数. 【详解】解：如图：△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高. ∵∠A＝70°，且AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝(180°﹣50°)÷2＝65°； 在Rt△BDC中， ∠BDC＝90°，∠C＝65°； ∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°. 故答案为25° 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决． 15. 如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到地面DE的距离是______m． 【答案】1 【解析】 【分析】过点作于点G，根据题意，先证明四边形是正方形，然后接着证明得到，计算，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型是解题的关键． 【详解】解：过点作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形，, ∵, ∴四边形是正方形， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是等边的边上的高，点E是上的一个动点（点E不与点A重合），连接，以为边构造等边．若，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据等边三角形的性质，证明，利用等边三角形的性质，三角形不等式，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，正切函数，三角形不等式的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是等边三角形，是等边的边上的高，， 等边． ∴，，， ，， ∴, ∵， ∴， ∴． ∵， 故当三点共线时，取得最小值， 故取得最小值， ∴ 故， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共52分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据有理数乘方，负整数指数幂，算术平方根，绝对值化简，计算即可； （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可； （3）利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， 或， 解得，． 【点睛】本题考查了有理数乘方，负整数指数幂，算术平方根，绝对值化简，积的乘方，同底数幂的乘法，直接开平方法解方程，熟练掌握公式和解方程的方法是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，原式利用完全平方公式及平方差公式，以及多项式乘除单项式法则计算化简，再代入即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 20. 如图，现有一个转盘被均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，则这15次中转出数字“5”的频率是______； （2）小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，见解析 【解析】 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种，故小明获胜的概率为，转出的数字是3的倍数的可能性有2种，故小亮获胜．解得即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”， 则这15次中转出数字“5”的频率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种， 故小明获胜的概率为， 转出的数字是3的倍数的可能性有2种， 故小亮获胜． ， 故游戏不公平． 21. 如图，点C在线段上，，，， F是的中点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据线平行得到内错角相等，再根据边角边判定即可得到证明； （2）由（1）得，根据等腰三角形底边上三线合一即可得到证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， 在和中， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∵F是的中点， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形边角边判定及等腰三角形底边三线合一，解题的关键是通过线平行找到夹角相等． 22. 如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从A，B两地向C地（A，B，C在同一直线上）行驶过程中离B地的距离S（千米）与行驶时间t（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题： （1）甲在行驶过程中的速度为______千米/小时；乙在行驶过程中的速度为______千米/小时； （2）求出在乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值． 【答案】（1）10,40 （2）或 【解析】 【分析】：（1）根据图象信息，利用路程除以时间求出速度； （2）分相遇前和相遇后两种情况列方程解答． 此题考查了函数图象的识别，一元一次方程的应用，正确理解函数图象得到相关信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲用6小时行驶，乙用小时行驶， ∴甲在行驶过程中的速度为； 乙在行驶过程中的速度为； 故答案为：10，40． 【小问2详解】 解：设甲出发后，甲乙两人相距， 当甲在乙的前方时，根据题意，得， 解得； 当甲在乙的后方时，根据题意，得， 解得； 当乙已经到达C点，甲离C点还剩，根据题意，得， 解得； 故乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值为或． 23. 阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： （1）=______； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）仿照题目给定的方法解答即可； （2）设，结合，解答即可． 本题考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， 解得． 故． 24. 【操作判断】如图1，四边形中，，，点E为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点F，连接，请补全图形．猜想与的数量关系为______，线段，，的数量关系为______． 【问题解决】为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，某校准备规划一块四边形的生物基地，如图2，，，E为上一点，F为上一点，，，将基地划分为四块，分别种植四种农作物，并且要求．连接交于M，交于点N．若，，请直接写出以，，为三边的三角形的面积______（用含a，b的式子表示）． 【迁移探究】如图3，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接，．当点P在边上移动时，周长是否发生变化，并证明你的结论． 【答案】[操作判断]补图见解析；；；[问题解决] ；[迁移探究] 【解析】 【分析】[操作判断] 用尺规作出的平分线即可补图；根据折叠得出，，，，，，，，即可证明；根据，求出，证明、M、F三点共线，得出； [问题解决] 延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，根据，得出，证明，得出，，，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，，根据，根据以，，为三边的三角形，与以，、为三边的三角形全等，最后求出结果即可； [迁移探究] 由折叠的性质可得，，可得，即可证，作，通过证明和，可得，，，即可求的周长等于8是定值． 【详解】解：[操作判断] 如图，即为所求； 根据折叠可知，，，，，，，，， ∴， 即； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴、M、F三点共线， ∴； 故答案：；； [问题解决] 延长，在延长线上截取，在上截取，连接，，，，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴以，，为三边的三角形与以，、为三边的三角形全等， ∴以，，为三边的三角形面积为：． 故答案为：； [迁移探究] 当点P在上移动时，周长不发生变化． 证明：如图，作，垂足为Q， 在正方形中，∵， ∴， ∵四边形由四边形折叠而成， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长固定不变，等于8 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，尺规作一个角的平分线，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 四．附加题（本题满分10分） 25. 已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造如下：设，，，，则，过点D作，交的延长线于点H，结合题目方法解得即可．本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设，，，，则， 则， 根据， 当三点共线时，取得最小值， 过点D作，交的延长线于点H， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ． 26. 如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据角平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，解答即可． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴； 故②正确； ∵， ∴，无法得到， 故③错误； 过点D作于点M， 根据，， 得， ∴， 故④正确； ∵， ∴，，， ∵ ∴ ∴； ∴， 故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期开学收心作业数学学科 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数、、、、（相邻两个1之间2的数逐次加1）中，无理数有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A. B. C. D. 3. 如果一个正数x的平方根是和，那么x的值是（　　） A. B. 7 C. D. 49 4. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ） A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 5. 下列运算正确的是（ ）． A B. C. D. 6. 已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的有（ ）个． ①任何数都有算术平方根； ②三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高线交于一点； ③立方根等于它本身数只有1和0； ④两条边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形一定全等； ⑤实数和数轴上的点是一一对应的． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）． A. B. C. D. 2 9. 如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于点M，于点N，，则的长是（ ）． A. B. C. 4 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：______． 12. 的算术平方根为_______． 13. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为______． 14. 等腰三角形的顶角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角为_____. 15. 如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到地面DE的距离是______m． 16. 如图，是等边的边上的高，点E是上的一个动点（点E不与点A重合），连接，以为边构造等边．若，则线段长度的最小值是______． 三、解答题（共8小题，共52分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 随着新能源共享汽车普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20. 如图，现有一个转盘被均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． （1）随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，则这15次中转出数字“5”的频率是______； （2）小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 21. 如图，点C在线段上，，，， F是中点．求证： （1）； （2）． 22. 如图是甲骑自行车与乙骑摩托车，分别从A，B两地向C地（A，B，C在同一直线上）行驶过程中离B地的距离S（千米）与行驶时间t（小时）的关系图，请你根据图中给出的信息解答下列问题： （1）甲在行驶过程中的速度为______千米/小时；乙在行驶过程中的速度为______千米/小时； （2）求出在乙到达C地前，甲乙两人相距10千米时t的值． 23. 阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： （1）=______； （2）已知，求的值． 24. 【操作判断】如图1，四边形中，，，点E为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点F，连接，请补全图形．猜想与数量关系为______，线段，，的数量关系为______． 【问题解决】为了开展劳动实践教育，培养学生科学素养，某校准备规划一块四边形的生物基地，如图2，，，E为上一点，F为上一点，，，将基地划分为四块，分别种植四种农作物，并且要求．连接交于M，交于点N．若，，请直接写出以，，为三边的三角形的面积______（用含a，b的式子表示）． 【迁移探究】如图3，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接，．当点P在边上移动时，周长是否发生变化，并证明你的结论． 四．附加题（本题满分10分） 25. 已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为______． 26. 如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$