第1单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

第1单元圆讲义-数学六年级上册北师大版 知识梳理 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 圆周长=π×直径 圆周长=π×半径×2 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r。 圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。 14．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²　或者S=π（d÷2）² 或者S=π（C÷2π）² 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．） 19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 半圆的周长公式： Ｃ＝πd÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r 圆周长的一半=πr 20．半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ²÷2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 典例分析 1．2023中国癸卯兔年金银纪念币中，金质纪念币重10公斤，圆形精制金质纪念币的直径为180毫米，它的正面面积是多少平方厘米？ 【答案】254.34平方厘米 【分析】根据圆的特征，半径等于直径的一半，求出圆的半径，再利用圆的面积公式：，代入数据计算，还要注意把单位毫米转化为厘米。据此解答即可。 【详解】180毫米18厘米 （平方厘米） 答：它的正面面积是254.34平方厘米。 2．王奶奶用篱笆围了一个半圆形的羊圈。 （1）篱笆长多少米？ （2）羊圈的面积是多少平方米？ （3）若羊圈的直径增加2米，羊圈的面积增加多少平方米？ 【答案】（1）10.28米 （2）6.28平方米 （3）7.85平方米 【分析】（1）篱笆的长度＝圆周长的一半＋一条直径，根据公式：圆的周长＝直径×圆周率，代入数据计算，求出圆的周长，用圆的周长除以2再加上一条直径，即可求出篱笆的长度。 （2）先求出半圆形的半径，再根据公式：圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出圆的面积，然后除以2，即可求出羊圈的面积是多少平方米。 （3）先算出羊圈增加后的半径，再根据公式：圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出增加后羊圈的面积，然后用现在羊圈的面积减去原来羊圈的面积，即可解答。 【详解】（1）4×3.14÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（米） 答：篱笆长10.28米。 （2）（4÷2）2×3.14÷2 ＝22×3.14÷2 ＝4×3.14÷2 ＝6.28（平方米） 答：羊圈的面积是6.28平方米。 （3）4＋2＝6（米） （6÷2）2×3.14÷2 ＝32×3.14÷2 ＝9×3.14÷2 ＝14.13（平方米） 14.13－6.28＝7.85（平方米） 答：羊圈的面积增加7.85平方米。 3．如图，正方形的面积是12平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】正方形的面积是12平方厘米，根据公式：正方形的面积＝边长×边长，则有边长的平方＝12平方厘米；由图可知，正方形的边长和圆的半径相等，则半径的平方＝边长的平方＝12平方厘米，根据公式：圆的面积＝圆周率×半径的平方，代入数据计算，即可求出圆的面积；而阴影部分的面积是圆的面积的，用乘法计算，即可求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】3.14×12×＝28.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。 精选好题 一、选择题 1．下面是推导圆的面积的方法，哪种推导过程中有错误信息（    ）。 A． B． C． D． 2．一个圆和一个正方形的周长都是12.56分米，它们的面积比较。（    ） A．一样大 B．正方形大 C．圆面积大 D．不能比较 3．如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是( )。 A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 4．如果一个圆的直径扩大3倍，则它的周长和面积各扩大(　　)。 A．3倍和3倍 B．3倍和6倍 C．6倍和9倍 D．3倍和9倍 5．r＝2.5厘米，圆的面积是（    ） A．62.8平方厘米 B．1256平方厘米 C．19.625平方厘米 D．200.96平方厘米 6．要剪一个面积是的圆形纸片，至少需要面积是（    ）的正方形纸片（取3.14）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．淘气用一根长125.6分米的绳子把一棵大树正好绕了10圈，这棵大树树干的直径是( )分米。 8．如图所示，AB的长为20cm，一只蚂蚁从A点到B点沿着四个半圆爬行，蚂蚁爬行了( )cm。    9．一个钟表的分针长5厘米，走一圈针尖走过的路程是( )厘米。 10．在一个边长为8分米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )分米，面积是( )平方分米。 11．将一个圆平均分成20个完全相同的小扇形，拼成的近似长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 12．在一个长32 cm、宽16 cm的长方形内画半径是4 cm的圆（不重合且不交叉），这样的圆最多能画( )个，这些圆的面积和是( )． 三、判断题 13．一个半圆，直径是d，它的周长是πd。( ) 14．大圆的半径相当于小圆的直径，则大圆的周长是小圆周长的4倍。( ) 15．小圆的圆周率一定比大圆的圆周率小。( ) 16．半径是20cm的圆的周长和面积一定相等。( ) 17．要在一个直径是80厘米的圆形桌面上铺一块大小完全相同的软玻璃桌垫，这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。( ) 四、计算题 18．求阴影部分的周长。 19．计算图阴影部分的面积。（单位：m） 五、解答题 20．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是20厘米，要骑过15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 21．彤彤家的小区有一个中心广场（如图），彤彤饭后绕中心广场走了一圈，她所走的路程是多少米？ 22．常见的自行车车轮的直径如下表， 22自行车 24自行车 26自行车 28自行车 车轮直径 559毫米 （22英寸） 610毫米 （24英寸） 660毫米 （26英寸） 711毫米 （28英寸） 每种自行车车轮滚动1圈经过的距离分别是多少？ 23．如图，王大爷用长的篱笆靠墙围了一个半圆形的养鸡场，你能求出这个半圆形养鸡场的面积吗？ 24．如图，大圆的半径是6厘米，小圆的的半径是2厘米。现在让小圆沿着大圆滚动一周，求： （1）小圆的圆心走过的路程是多少厘米？ （2）小圆滚过的面（即图中阴影部分）的面积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A D C C 1．C 【分析】由于四个选项是把圆拼成近似的长方形，平行四边形，三角形；则这些图形和圆的面积相同，根据长方形的面积公式：长×宽；三角形的面积公式：底×高÷2，平行四边形的面积公式：底×高，据此逐项分析即可。 【详解】A．三角形的底是2πr，高是r，它的面积：πr2，即圆的面积是πr2； B．长方形的长是πr，宽是r，它的面积是：πr2，即圆的面积是πr2； C．三角形的底是πr，高是r，则它的面积：πr2÷2，不是圆的面积； D．平行四边形的底是πr，高是r，它的面积是：πr2，即圆的面积是πr2； 由此可知，推导过程中有错误信息的是第三个图形。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程，以及圆面积公式的应用。 2．C 【解析】略 3．A 【解析】略 4．D 【解析】略 5．C 【分析】根据圆的面积公式，把数据代入公式进行解答。 【详解】3.14×2.5×2.5＝19.625（平方厘米） 故答案为：C 【点睛】此题是圆面积公式的实际应用。 6．C 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，已知圆的面积可以求出半径的平方，根据正方形内接圆的特征，在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据正方形的面积公式：边长×边长，即正方形的面积＝2r×2r＝4r2，把数据代入公式解答。 【详解】4×（12.56÷3.14） ＝4×4 ＝16（cm2） 故答案为：C 【点睛】此题主要考查圆的面积公式、正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．4 【分析】用绳子的长度÷绕树的圈数＝树干的周长，用树干的周长除以π即可。 【详解】125.6÷10÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（分米） 树干的直径是4分米。 【点睛】此题考查了圆的周长的相关应用，明确圆的周长C＝πd，并能灵活运用。 8．31.4 【分析】由题意可知，蚂蚁的行程是4个圆周长一半的和，4个圆的直径和为20厘米，据此可以求得蚂蚁的行程距离。 【详解】3.14 ×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 则蚂蚁的行程是31.4cm。 【点睛】解答此题的关键是明确：蚂蚁的行程相等于以直径为20厘米的圆周长的一半。 9．31.4 【分析】一小时分针正好转了1圈，又因分针长5厘米，即分针所经过的圆的半径是5厘米，利用圆的周长公式即可求出分针走过的路程；据此解答。 【详解】2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（厘米） 分针转一圈针尖走过的路程是31.4厘米。 【点睛】此题考查了圆的周长公式的灵活运用。 10． 4 50.24 【分析】在正方形内画一个最大的圆，圆的半径等于正方形边长的一半；根据圆面积＝求出面积即可。 【详解】（1）8÷2＝4（分米） 这个圆的半径是4分米； （2）3.14×4×4＝50.24（平方分米） 圆的面积是50.24平方分米。 【点睛】此题主要考查学生对圆的认识以及圆面积公式的应用。 11． 78.5 31.4 【分析】拼成的近似长方形的周长比原来圆周长多的是两个半径的长度，据此可求出圆的半径，根据圆的面积S＝πr2，圆的周长C＝πd，代入数据计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 3.14×5×2 ＝3.14×10 ＝31.4（厘米） 这个圆的面积是78.5平方厘米。周长是31.4厘米。 【点睛】此题考查了圆的周长和面积计算，牢记公式，先求出圆的半径是解题关键。 12． 8 401.92 【解析】略 13．× 【分析】根据圆的周长公式：π×直径，半圆的周长＝π×直径＋直径，代入数据，即可解答。 【详解】×π×d＋d ＝dπ＋d 原题干一个半圆，直径是d，它的周长是πd，说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查半圆的周长的求法，关键是明确半圆的周长是该圆周长的一半再加上直径的长度。 14．× 【分析】根据“大圆的半径相当于小圆的直径”，可以设小圆的直径是1，那么大圆的半径也是1；然后根据圆的周长公式C＝2πr和C＝πd，分别求出大圆、小圆的周长，然后用大圆的周长除以小圆的周长即可判断。 【详解】设小圆的直径是1，则大圆的半径是1。 大圆的周长：2π×1＝2π 小圆的周长：π×1＝π 2π÷π＝2 即大圆的周长是小圆周长的2倍。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查圆的周长公式的运用，利用赋值法，直接计算出大圆、小圆的周长再求解，更直观。 15．× 【分析】圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数。 【详解】任意一个圆的周长都是它的直径的π倍，所以不管是大圆还是小圆，圆周率都相同。 原题干说法错误。 故答案为：× 16．× 【分析】物体表面或封闭图形的大小叫做面积；封闭图形一周的长度就是它的周长。周长和面积表示的意义不同。据此解答。 【详解】周长：20×2×3.14＝125.6（cm） 面积： 202×3.14 ＝400×3.14 ＝1256（cm2） 半径是20cm的圆的周长是125.6cm，面积是1256cm2。周长和面积表示的意义不同，所用的单位也不同，不能比较。原说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】这块软玻璃桌垫的面积就是圆的面积，先求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计算，即可得到这块软玻璃桌垫的面积是多少，据此解答。 【详解】80÷2＝40（平方厘米） 3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 即这块软玻璃桌垫的面积是5024平方厘米。 故答案为：√ 18．24.56cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长等于直径是4cm圆的周长加上两条长方形的长，根据圆的周长公式：π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×4＋6×2 ＝12.56＋12 ＝24.56（cm） 19．6.72m2 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（2×2＋9）×2÷2－3.14×22÷2 ＝（4＋9）×2÷2－3.14×4÷2 ＝13×2÷2－6.28 ＝13－6.28 ＝6.72（m2） 阴影部分的面积是6.72m2。 20．25周 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出独轮车车轮的周长，再用骑过钢丝的长度÷车轮的周长，即可解答。 【详解】20厘米＝0.2米 15.7÷（3.14×0.2） ＝15.7÷0.628 ＝25（周） 答：车轮大约转动25周。 21．714米 【分析】绕中心广场走了一圈，所走的路程是就是这个图形的周长，观察图形可知：这个图形的周长是下面长方形的一条长、2条宽和上面半圆弧的长度和，半圆弧的直径是200米，根据C＝πd，求出圆的周长，再除以2就是半圆弧的长度，再加上1条长和2条宽进行即可求解。 【详解】3.14×200÷2＋200＋100×2 ＝314＋200＋200 ＝714（米） 答：她所走的路程是714米。 【点睛】解决本题根据周长的含义，找出这个图形的周长是由哪几部分组成的，分别求出后再相加。 22．1755.26毫米；1915.4毫米；2072.4毫米；2232.54毫米 【分析】自行车车轮滚动1圈经过的距离即圆的周长，根据圆的周长＝圆周率×直径，分别列式计算即可。 【详解】22自行车：3.14×559＝1755.26（毫米） 24自行车：3.14×610＝1915.4（毫米） 26自行车3.14×660＝2072.4（毫米） 28自行车3.14×711＝2232.54（毫米） 答：每种自行车车轮滚动1圈经过的距离分别是1755.26毫米、1915.4毫米、2072.4毫米、2232.54毫米。 23．25.12平方米 【分析】半圆弧长乘2求出整圆的周长，再根据圆半径＝周长÷，求出圆半径后，代入圆面积公式求出面积，除以2即可解答。（圆面积＝） 【详解】圆半径：12.56×2÷（2×3.14） ＝25.12÷6.28 ＝4（米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 答：半圆形养鸡场的面积是25.12平方米。 【点睛】此题主要考查学生对圆周长和面积公式的灵活应用。 24．（1）50.24厘米； （2）200.96平方厘米 【分析】（1）通过图可知，小圆的圆心走过的路程相当于半径是（6＋2）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式，C＝2πr，把数代入公式即可。 （2）根据图可知，最外层的大圆半径：6＋2×2＝10厘米，阴影部分相当于圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2）把数代入公式即可求解。 【详解】（1）3.14×[（6＋2）×2]   ＝3.14×[8×2] ＝3.14×16 ＝50.24（厘米）   答：小圆的圆心走过的路程是50.24厘米。 （2）3.14×[（6＋2×2）2－62 ] ＝3.14×[100－36] ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：小圆滚过的面的面积是200.96平方厘米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式和圆环的面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$