拓展1-2 直线与方程的六个易错点-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

拓展1-2 直线与方程的六个易错点 一、混淆倾斜角与斜率 四、忽略截距为0 二、忽视斜率不存在 五、忽略两直线平行的条件 三、误解“截距”与“距离” 六、忽视两平行直线的距离公式的条件 一、混淆倾斜角与斜率 易错分析：①事实上,在直线l允许的活动范围内,l的倾斜角连续变化时,直线斜率的变化并不一定连续,当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为)时,直线l的斜率不存在。 ②当直线的倾斜角时,随着的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角时,随着的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大。 例1．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 变式1-1．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 变式1-2．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 变式1-3．经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 二、忽视斜率不存在 易错分析：当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在进行讨论,否则容易犯分类不全的错误。 例2．求适合下列条件的直线的方程： （1）直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为； （2）直线经过点且与点和点的距离之比为. 【答案】（1）答案见解析；（2）或. 【详解】（1）若直线过原点，可设直线的方程为， 由题意可得，解得； 若直线不过原点，可设直线的方程为，即， 由题意可得，解得或. 综上所述，直线的方程为或或或； （2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， 此时，点、到直线的距离分别为、，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由已知条件可得，整理得，解得或. 综上所述，直线的方程为或，即或. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用点到直线的距离求直线方程，需要注意以下两点： （1）求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论； （2）在用截距式时，应先判断截距是否为，若不确定，则需分类讨论. 变式2-1．已知直线，，且直线与垂直. (1)求的值； (2)若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线与垂直，得，即，解得. （2）由（1）得，直线的方程为，即， 解，得，即点坐标为， ①当直线的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为原点到该直线的距离为3，所以，所以， 则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 变式2-2．已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程． 【答案】或 【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为，即． 由题设有：，即，解得，则直线方程． 又所求直线的斜率不存在时，方程为，适合题意．∴所求直线的方程为或． 变式2-3．求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线l的方程． 【答案】直线l的方程为或． 【详解】由，解得，即两直线的交点为. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，显然满足与原点距离为1. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为. 由题意可得，两边平方整理得，即. 即直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 三、误解“截距”与“距离” 易错分析：横截距就是指直线与x轴交点的横坐标，纵截距就是指直线与y轴交点的纵坐标 例3．已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 【答案】D 【详解】对于直线，令，则， 令，则，故，则， 故选：D 变式3-1．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，直线方程为， 令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：C. 变式3-2．下列说法正确的是 . ①直线恒过定点 ②直线在轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为 ④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 【答案】①③ 【详解】对于①，因为，所以，所以直线过定点，故①对； 对于②，令得，所以直线在轴上的截距为，故②错； 对于③，直线可变形为，设其倾斜角为，所以斜率， 因为，所以，故③对； 对于④，当直线的截距为0时，可设， 代入可得，解得，此时直线，即； 当直线的截距不为0时，因为直线在轴上的截距相等，可设， 代入得，解得，此时直线，即，故④错. 故答案：①③ 变式3-3．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 四、忽略截距为0 易错分析：在利用截距式，设方程时，容易忽略截距为零的情况 例4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 变式4-1．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意设与轴的交点为，则其与轴的交点为， 当时，过原点，斜率为，故方程为； 当时，斜率为，故方程为，即； 故选：C. 变式4-2．（多选）若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BD 【详解】依题意，，则直线中当得，当得， 则直线在x轴和y轴上的截距分别为和， 因此，解得或． 故选：BD. 变式4-3．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】当截距为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入得，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 五、忽略两直线平行的条件 易错分析：研究两条直线的平行关系时，要考虑这两条直线重合，故对于直线的一般方程，要用 例5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B 变式5-1．已知直线和互相平行，则实数m只能是（    ） A． 或 B． C． D． 【答案】B 【详解】直线和互相平行, 显然不合题意，则.解得. 故选：B. 变式5-2．已知直线：与：平行，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3或5 D．4或7 【答案】C 【详解】由直线与 平行， ，整理得 ，解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线， ，两直线平行， 所以或. 故选：C 变式5-3．已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 六、忽视两平行直线的距离公式的条件 易错分析：两条平行线之间的距离很容易忽视直线方程系数的统一,从而导致距离计算出错 例6．直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】直线：化为， 又直线：，所以， 所以直线与直线的距离是. 故选：A. 变式6-1．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设所求直线的方程为，由题意可得， 解得或， 故所求直线的方程为或. 故选：BC 变式6-2．已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程. 【答案】或 【详解】解：直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设所求直线方程为，则， 即，解得或， 故所求直线方程为或. 变式6-3．设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 2．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 【答案】 【详解】直线的斜率取值范围为，即，则， 所以倾斜角的范围为. 故答案为： 3．设a为实数，若直线与直线平行，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得，，则， 当时，，两直线重合，舍去； 当时，，，满足两直线平行， ∴． 故选：A． 4．经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为 ． 【答案】或或 【详解】若截距都为0，即直线过原点，则直线方程为； 若截距不为0，令直线为或， 当，则，故直线方程为； 当，则，故直线方程为； 综上，直线方程为或或. 故答案为：或或 5．无论取何值，直线恒经过一个定点，的坐标为 ，经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ． 【答案】 或 【详解】直线，即， 所以直线过定点，即点的坐标. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程, 当截距为0时，直线的方程即：； 当截距不为0时，设截距为，直线方程为：， 点在直线上，所以，解得， 此时直线方程为，即， 故直线方程为：或. 故答案为：；或. 6．求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 7．已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程. (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）易得的中点坐标为，， ∴所求直线斜率为， 故线段垂直平分线所在直线方程为，即. （2）直线过，且，， 当直线斜率不存在时，直线为，显然不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线为即， ∵、到直线距离相等， ∴，解得或， ∴直线为或. 8．（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 9．已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【详解】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； （2）若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 10．若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 【答案】，． 【详解】由直线的一般式方程， 可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距之和为． 直线经过点，得． 因此． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 此时． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-2 直线与方程的六个易错点 一、混淆倾斜角与斜率 四、忽略截距为0 二、忽视斜率不存在 五、忽略两直线平行的条件 三、误解“截距”与“距离” 六、忽视两平行直线的距离公式的条件 一、混淆倾斜角与斜率 易错分析：①事实上,在直线l允许的活动范围内,l的倾斜角连续变化时,直线斜率的变化并不一定连续,当直线l垂直于x轴(直线l的倾斜角为)时,直线l的斜率不存在。 ②当直线的倾斜角时,随着的增大,直线的斜率k为非负值且逐渐变大;当直线的倾斜角时,随着的增大,直线的斜率k为负值且逐渐变大。 例1．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 变式1-3．经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 二、忽视斜率不存在 易错分析：当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在进行讨论,否则容易犯分类不全的错误。 例2．求适合下列条件的直线的方程： （1）直线在两坐标轴上的截距相等，且到直线的距离为； （2）直线经过点且与点和点的距离之比为. 变式2-1．已知直线，，且直线与垂直. (1)求的值； (2)若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 变式2-2．已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程． 变式2-3．求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线l的方程． 三、误解“截距”与“距离” 易错分析：横截距就是指直线与x轴交点的横坐标，纵截距就是指直线与y轴交点的纵坐标 例3．已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 变式3-1．直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．下列说法正确的是 . ①直线恒过定点 ②直线在轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为 ④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 变式3-3．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 四、忽略截距为0 易错分析：在利用截距式，设方程时，容易忽略截距为零的情况 例4．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式4-1．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式4-2．（多选）若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 变式4-3．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ． 五、忽略两直线平行的条件 易错分析：研究两条直线的平行关系时，要考虑这两条直线重合，故对于直线的一般方程，要用 例5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5-1．已知直线和互相平行，则实数m只能是（    ） A． 或 B． C． D． 变式5-2．已知直线：与：平行，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3或5 D．4或7 变式5-3．已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 六、忽视两平行直线的距离公式的条件 易错分析：两条平行线之间的距离很容易忽视直线方程系数的统一,从而导致距离计算出错 例6．直线：与直线：的距离是（    ） A． B． C． D．1 变式6-1．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程. 变式6-3．设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 1．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 3．设a为实数，若直线与直线平行，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为 ． 5．无论取何值，直线恒经过一个定点，的坐标为 ，经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ． 6．求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 7．已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程. (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程. 8．（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 9．已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 10．若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$