第2章 1 生活中的变量关系（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 学业标准 素养目标 1．通过实例，了解生活中具有函数关系的两个变量之间的关系． 2．通过实例了解分段函数的概念． 1．通过生活中的变量关系，培养数学建模核心素养． 2．借助变量间的关系的表示，提升直观想象核心素养． [对应学生用书P52] 导学　生活中的变量关系 　初中我们已经学习过函数的概念，它是如何用函数描述变量之间的依赖关系的呢？ [提示]　在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． ◎结论形成 1．函数的概念(初中)：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 2．具有函数关系的两个变量之间的关系：凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的__每一个值__，变量y都有__唯一__确定的值和它对应”． 3．分段函数 形如y＝的函数叫作分段函数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某商场一天的销售额与客流量之间是函数关系.(　　) (2)家庭买衣服的支出与交手机费之间是依赖关系.(　　) (3)高铁运营里程与年份之间存在依赖关系，但不是函数关系．(　　) (4)圆的面积与半径之间是函数的关系．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则(　　) A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系 C．y是x的函数 D．x是y的函数 解析　小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系． 答案　A 3．(1)球的半径与表面积之间是________关系． (2)家庭收入与支出之间是________关系． 解析　(1)球的表面积随半径的变化而变化，且由半径唯一确定，所以是函数关系． (2)一般情况下，家庭支出随家庭收入的变化而变化，但收入一定时，支出并不唯一确定，所以是依赖关系． 答案　(1)函数　(2)依赖 4．交通路口，通过的汽车的数量与时间是________关系． 答案　依赖 [对应学生用书P53] 题型一　 两变量关系的判断 　下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (2)商品的销售额与广告费之间的关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系． [解析]　(1)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝gt2，其中g是常量，很显然，对于时间t在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数； (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系； (3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系． 综上可知，(1)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量间不存在依赖关系． 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤 (1)对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系． (2)如果两个变量具有依赖关系，且一个变量的确定决定另一个变量的确定，则这两个变量具有函数关系，否则不具有函数关系． [触类旁通] 1．下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)圆的面积和它的直径长； (2)商品的价格与销售量； (3)一个人的身高与体重； (4)某同学的学习时间与其学习成绩． 解析　(1)因为圆的面积S与半径r存在S＝πr2的关系，因此圆的面积与其直径长存在依赖关系，也是函数关系． (2)一般情况下，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关系，不是函数关系． (3)一个人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系． (4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系． 综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)是函数关系． 题型二　变量关系的表示一题多变 　下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题． (1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？ (2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？ (3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？ (4)变量Q是关于变量t的函数吗？ [解析]　观察图象可知： (1)全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到． (2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃. (3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上． (4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数． [母题变式] (变结论)对于本例中的两个变量Q和t，t是关于Q的函数吗？为什么？ 解析　不是．因为对于气温Q的一个值可能有两个时间t和它对应，所以时间t不是气温Q的函数． [素养聚焦]　利用变量关系的表示，把数学建模等核心素养体现在解题过程中． (1)表达两变量关系的常用方法是图象法和表格法． (2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据，充分挖掘图象以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决． [触类旁通] 2．以下是某电视台的广告价格表(单位：元) 试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？ 解析　是函数关系，因为x，y的取值范围分别是A＝{10，15，20，30，40，50，60}，B＝{900，950，1 000，1 500，2 000，2 500，4 000}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系． [缜密思维提能区]　易错案例 判断两变量之间的关系 [典例]　已知变量x，y满足y2＝x，问y是x的函数吗？x是y的函数吗？ [解析]　y不是x的函数，若x＝4时，y＝±2有两个值与之对应；x是y的函数．因为对任意实数y0值，x都有唯一的值y与之对应． [纠错心得]　判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． 知识落实 技法强化 1．两个变量之间的依赖关系，及函数关系． 2．分段函数． 1．函数关系的判定：要充分利用函数定义． 2．分段函数：不仅变量之间是因果关系，而且对于自变量x的不同取值范围对应法则不同，但它是一个函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$