第1章 3.2 第1课时 基本不等式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学业标准 素养目标 1．理解基本不等式的证明过程．(难点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点) 1．借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过利用基本不等式比较大小或证明不等式，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [对应学生用书P32] 导学　基本不等式 　我们把“风车”造型抽象成平面图形，如下图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ [提示]　，a2＋b2，2ab. 　根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ [提示]　a2＋b2＞2ab. 　存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？ [提示]　当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab. ◎结论形成 1．概念：如果a≥0，b≥0，那么__≥__，当且仅当__a＝b__时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中____称为a，b的算术平均值，____称为a，b的几何平均值．因此，基本不等式又称为__均值不等式__． 2．文字叙述：两个非负实数的算术平均值__大于或等于__它们的几何平均值． 3．几何意义：半径__大于或等于__半弦． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2.(　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤.(　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) 解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a＞0，b＞0. (2)基本不等式的变形公式． (3)基本不等式的变形公式． (4)当x＜0时，x＋是负数． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2 解析　因为a2＞0，所以a2＋≥2成立． 答案　C 3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3　　　　　　 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去). 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 解析　xy≤＝2，当且仅当x＝y＝±时取“等号”． 答案　2 [对应学生用书P33] 题型一　对基本不等式的理解 　给出下面几个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2 ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0， ∴＋＝－ ≤－2 ＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　 B．①③　 C．②③　 D．①②③ [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2 ＝4是错误的． ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． [答案]　B 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解． [触类旁通] 1．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　) A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b 解析　a＝＞＞＞ ＝b，因此只有B项正确． 答案　B 题型二　利用基本不等式比较大小 　已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2　　　　　 B．＋≥2 C．≥2 D．≥ [解析]　由≥得a＋b≥2， ∴A成立； ∵＋≥2 ＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． [答案]　D 1．在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意等号成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. [触类旁通] 2．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 解析　∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2ac，a2＋c2＞2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac). 即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac. 答案　p＞q 题型三　利用基本不等式证明不等式一题多变 　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋＞9. [证明]　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2 ＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴＋＋＞9. [母题变式] (变结论)本例条件不变，求证：·＞8. 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＞0，－1＝＞0， －1＝＞0， ∴ ＝·· ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴原不等式成立． [素养聚焦]　由不等式的证明问题，把逻辑推理等核心素养体现在证题过程中． 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． [触类旁通] 3．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明　因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋＋＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以＋＋≥6. [缜密思维提能区]　易错辨析 忽视基本不等式成立的条件致误 [典例]　已知函数y＝x＋，求y的取值范围． [错解]　x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时，“等号”成立， 所以y≥2， 故y的取值范围为[2，＋∞). [正解]　当x>0时，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时，“等号”成立， 所以y≥2； 当x<0时，x＋＝－ ≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时，“等号”成立． 所以y≤－2. 故y的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞). [纠错心得]　(1)由于y＝x＋中x的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故要对x的符号加以讨论，否则不能用基本不等式． (2)在基本不等式≥中，a，b均为非负数，应用该不等式时，一定要符合这一前提条件，先将各项化为正值，再运用基本不等式，最后还应验证“等号”是否成立． 知识落实 技法强化 1．≥(a，b都是正数). 2．利用基本不等式求最值及证明不等式． 1．利用基本不等式证明的过程中，常需要把数式合理地拆分或恒等变形凑成适当的形式以便利用． 2．利用基本不等式求最值的条件是：一正二定三相等，要逐个验证． 学科网（北京）股份有限公司 $$